Je parlais du fait que $A \cup B$ est vide si et seulement si $A$ est vide et $B$ est vide, c’est ça qui ne fonctionne pas en remplaçant l’union par une intersection et le "et" par un "ou".
Ah oui, parce que $A \cap B \neq \emptyset$ n’est pas équivalent à $A \neq \emptyset \text{et} B \neq \emptyset$ (puisque l’on peut avoir A et B non vides mais disjoints), c’est ça?
J’aurais du y penser. Maintenant, si je tombe sur une telle question en examen par exemple, est-il nécessaire de parler de l’intersection? En quoi cela indique sur le niveau de détail de la preuve?
Ah oui, parce que $A \cap B \neq \emptyset$ n’est pas équivalent à $A \neq \emptyset \text{et} B \neq \emptyset$ (puisque l’on peut avoir A et B non vides mais disjoints), c’est ça?
Oui, voilà. On a une implication mais pas une équivalence, et ça a pour conséquence que $f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$ (même si c’est pas la meilleure manière de le voir).
J’aurais du y penser. Maintenant, si je tombe sur une telle question en examen par exemple, est-il nécessaire de parler de l’intersection? En quoi cela indique sur le niveau de détail de la preuve?
Pour les examens je ne sais pas. Pour l’autre question, un indicateur de si tu as fait assez de détail, c’est de comprendre comment l’idée de la preuve est modifiée, si elle fonctionne toujours ou pas, lorsque tu essaie de l’appliquer à autre chose. Par exemple, c’est bien de se demander où sont utilisées les hypothèses des théorèmes que tu prouves, si tu arrives à voir ce qui ne va pas si tu les retires (quelle partie de la preuve bloque, des contre-exemples…).
Et puis tous les détails ne sont pas des détails importants, mais pour ne pas les louper il vaut mieux regarder trop de détails que pas assez.
Après je ne sais pas expliquer, c’est à toi de voir si tu es satisfait ou pas de ta preuve et de ta compréhension.
Tu as mis le sujet en résolu mais en fait je pense que tu devrais détailler encore plus. Tu verras que ça ne va pas rallonger la preuve mais la raccourcir. On devrait arriver à la fin à une version alternative de la preuve de dab (qui à mon avis est un peu tordue).
Comment prouves-tu que $A \cup B$ n’est pas vide si et seulement si $A$ n’est pas vide ou $B$ n’est pas vide ? Reviens à la définition de $A \cup B$ (un objet est élément de $A \cup B$ si et seulement si quoi ?).
Si tu n’as pas envie de chercher, dis-le.
Si tu n’as pas envie de chercher, dis-le.
Non, c’est juste que j’ai beaucoup de choses à faire en maths (par exemple, tu t’en souvient cette preuve avec le quadrilatère? 
) mais en même temps, si je prends le temps de faire des exercices, c’est pour entrer dans les détails.
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