Théorème Central Limite et Loi des grands nombres

Les deux théorèmes n’ont pas le même sens. La loi (faible) des grands nombres dit que si l’on répète un grands nombre de fois une même expérience, la moyenne des résultats obtenus est déterministe et est égale à la moyenne théorique (appelée espérance).

À l’inverse, le TCL donne la loi d’une répétition d’expériences — il y a donc bel et bien de l’aléa à la limite. Seulement, grâce au TCL, on connaît la loi de la variable aléatoire limite, et c’est une loi normale.

Ce sont donc deux outils différents, qui ne donnent pas la même information. La loi des grands nombres donne une information sur le comportement moyen des répétitions de l’expérience ; le TCL donne une information sur le comportement limite.

P.-S. — Il est évident que le discours que je viens de tenir est du pur charabia mathématique et qu’il ne s’agit nullement d’énoncés rigoureux et précis. Il s’agit seulement d’élément heuristiques qui peuvent aider à donner du sens à ces deux théorèmes, extrêmement profonds.

Bah, c’est un théorème, donc on ne peut pas faire n’importe quoi avec : il y a des hypothèses précises, qui doivent impérativement être satisfaites, sans quoi l’usage du théorème est illicite.

Les probabilités ne font pas exception à ce principe, mais effectivement on peut lire un nombre assez alarmant d’âneries sur ce genre de sujet en fouillant sur Internet. En fait, il y a des résultats pus avancés que le TCL qui permettent effectivement de calculer, en fonction des paramètres $n$ et $p$ de la loi binomiale étudiée, l’erreur commise en la remplaçant par une gaussienne.

Il est assez facile de montrer que l’erreur est en $o(1/\sqrt n$), où $n$ est le nombre de répétitions de l’expérience. Pour davantage de précisions, tu peux regarder le théorème de Berry-Esseen (difficile). En pratique effectivement, 100 répétitions suffisent pour avoir une précision raisonnable, mais là encore il faut voir en pratique. Quoi qu’il en soit, il y a des moyens pour étudier de manière assez fine l’erreur commise, et ce sont encore des théorème ; il faut dont s’assurer que les hypothèses sont satisfaites pour ne pas raconter n’importe quoi.