Prouver qu'une suite est monotone et borné

Salut à tous,

comme intitulé d’exercice j’ai :

La suite $(\frac{n}{n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ est-elle monotone ? bornée ?

J’essaye de prouver d’abord la monotonie puisqu’elle assure que la suite est soit minoré soit majoré. Voici mon essaye de preuve.

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = \frac{n}{n+1}$ et $P(n)$ l’assertion suivante :

Nous procédons par récurence :

Initialisation

Soit $n = 0$, on a alors $u_0 = 0 < u_1 = \frac{1}{2}$ donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité

Fixons $n$ et supposons $P(n)$ vraie, nous allons montrer que $P(n+1)$ est vraie. En effet on a :

hors en considérant $k \in \mathbb{N}$ tel que $k = n+1$, on a :

Ainsi par principe de récurrence $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$, i.e., $\forall n \in \mathbb{N}, u_n < u_{n+1} \Leftrightarrow (u_n) \text{est croissante}$.

Est-ce que cette preuve est suffisante et me permet d’avancer pour la suite ?

Merci d’avance pour votre aide.

Je me disait bien que c’était pas top comme truc.

Ah ouais, je n’avais pas pensé à ça, j’y réfléchirais demain.

Utiliser des valeurs absolues ? Pour que cet exercice devienne un peu plus compliqué ?

Merci beaucoup pour vos réponses.

Donc pour la croissance, comme l’a fait remarquer Gabro : $u_n \le u_{n+1} \Leftrightarrow u_n - u_{n+1} \le 0$ , Ainsi :

$(u_n)$ est croissante donc monotone.

Pour les bornes, comme l’a fait remarquer Holosmos $\frac{n}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1}$, si on considère la valeur absolue de la suite $|u|_n = |1-\frac{1}{n+1}|$ alors si $(|u|_n)$ est majorée $(u_n$) est bornée hors $\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{1}{n+1} = 0$ donc $\lim_{n \rightarrow + \infty} |1-\frac{1}{n+1}| = 1$ ainsi $(|u|_n)$ est majorée donc $(u_n)$ est bornée.

La conclusion est peut-être trop hâtive là.

Positif.

Positif.

Et donc que peux tu dire de la quantité $1-x$ si $x$ est positif ?

Pour montrer qu’une suite est bornée, on peut montrer qu’elle est minorée et majorée.

1. minorée ? Elle est croissante, donc elle est minorée, il suffit de choisir comme minorant u(0) , tous les autres termes sont supérieurs ou égaux à u(0).

2. majorée ? Elle s’écrit sous la forme U(n) = 1-1/(n+1), donc, 1 moins un terme positif. Elle est donc majorée par 1.

Je ne suis pas du tout convaincu de l’utilité pédagogique de lui donner la réponse dans ce genre de cas, où le problème est qu’il fait trop compliqué pour pas grand chose.

C’est justement parce qu’il cherchait des complications là où il n’y a pas lieu, que j’ai voulu lui montrer à quel point c’était simple. Un long échange aurait eu d’autres avantages, mais ça l’aurait conforté dans l’idée que c’était compliqué.

Mais tu as peut-être raison. Adri1 est effectivement un bon pédagogue, et j’aurais peut-être dû le laisser mener la discussion.

C’est pas grave, elegance n’a pas cassé ma réflexion, je me suis demandé pourquoi adri1 m’a posé cette question durant mon trajet vers le lycée et du coup c’est effectivement très simple. Vu que $\frac{n}{n+1}$ est positif et que $\frac{n}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1} \le 1$ alors $0 \le \frac{n}{n+1} \le 1$.

Vu que j’ai trouvé ça j’ai réfléchis à une autre question :

La suite $\left ( \frac{n\sin(n!)}{1+n^2} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est-elle bornée ?

On nommera cette suite $u_n$. On peut réécrire l’expression en $\frac{n}{1+n^2} \cdot \sin(n!)$ ainsi comme les images de sinus appartiennent à l’intervalle $[-1;1]$, les termes de $u_n$ appartiennent à l’intervalle $\left[-\frac{n}{1+n^2};\frac{n}{1+n^2}\right]$ donc si la suite $\left ( \frac{n}{1+n^2} \right )_{n \in \mathbb{n}} $ est borné $u_n$ l’est aussi. Hors $n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{n}{1+n^2} \ge 0$ et $n \le 1+n^2 \Leftrightarrow \frac{n}{1+n^2} \le 1$ donc $0 \le \frac{n}{1+n^2} \le 1 \Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}, u_n \in \left[ -\frac{n}{1+n^2}; \frac{n}{1+n^2} \right]$. Conclusion $u_n$ est bornée.

Ah oui c’est plutôt $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \in [-1;1]$.

Ok