Barycentre d'une boule

Bonjour,
Afin de préparer mon partiel de physique qui approche à grand pas, je m’amuse à déterminer les barycentres de formes géométriques. Je bloque sur le dernier, la boule (j’utilise donc un système de coordonnées sphériques). Les formules étant vraiment super longue, je ne vais pas m’amuser à les recopier. Mais à un moment je dois trouver la primitive de $\cos(\theta) \times \sin(\theta)$. D’après mes recherches Google, la primitive ne serait pas définissable selon les fonctions usuelles.

Dois-je en déduire qu’il faut que je passe par un ordinateur pour déterminer le barycentre de ma boule ?

Merci de votre aide !

Si ta boule est homogène, alors son barycentre devrait être son centre pour des raisons de symétrie.

Ah oui pas faux ! Mais du coup sur je le fais sur un quart de boule, je me retrouve encore avec le même problème…

Bah tu devrais écrire les formules super longue car visiblement tu t’es planté.

Comme dit Holosmos c’est le centre, mais cela doit pouvoir également être retrouver par le calcul (et c’est un bon entrainement !).

Tu ne peux pas passer en sphérique directement. Tu dois écrire tes 3 intégrales dans la base orthonormée usuelle. Ensuite tu peux passer en coordonnée sphérique pour faire le calcul. Je suppose que tu confonds base et système de coordonnée !

Pourquoi diable vouloir faire ça ?

En fait c’est pas étonnant que ça soit difficile en toute généralité. On fait quand même assez rarement (voir jamais ?) le calcul explicite, parce que justement c’est impraticable.

La vraie solution exploitable c’est faisant agir le groupe de symétries de sorte à n’obtenir qu’un seul candidat.

Donc je repars du début de mon raisonnement :
Je sais que $\vec{OG} = \frac{\int \vec{r}dm}{\int dm}$, avec :

• $\vec{r} = rsin(\theta)cos(\phi)\vec{u_x} + rsin(\theta)sin(\phi)\vec{u_y} + rcos(\theta)\vec{u_z}$
• $dm = \mu dV$
• $dV = r^2dr sin(\theta)d\theta d\phi$

En remplaçant et en effectuant les calculs, je tombe sur (pour le volume d’un quart de sphère du coup avec $\mu$ constant) :

$$\frac{\int_{0}^{{a} r}{3}dr \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}} sin}{2}(\theta)d\theta \int_{0}^{{\pi} cos(\phi)d\phi \vec{u_x} + \int_{0}}{a} r^{{3}dr \int_{0}}{\frac{\pi}{2}} sin^{{2}(\theta)d\theta \int_{0}}{\pi} sin(\phi)d\phi \vec{u_y} + \int_{0}^{{a} r}{3}dr \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}} sin(\theta)cos(\theta)d\theta \int_{0}}{\pi}d\phi \vec{u_z}}{ \int_{0}^{{a} r}{2}dr \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}} sin(\theta)d\theta \int_{0}}{\pi}d\phi}$$

La formule a l’air de mal s’afficher ici du coup vous pouvez la voir ici également.

Parce que c’est la seule méthode que l’on ai appris pour le moment… Mais je pense que c’est pas tout a fait de mon niveau pour le moment du coup

Afin de préparer mon partiel de physique qui approche à grand pas, je m’amuse à déterminer les barycentres de formes géométriques. Je bloque sur le dernier, la boule (j’utilise donc un système de coordonnées sphériques). Les formules étant vraiment super longue, je ne vais pas m’amuser à les recopier. Mais à un moment je dois trouver la primitive de $\cos(\theta) \times \sin(\theta)$. D’après mes recherches Google, la primitive ne serait pas définissable selon les fonctions usuelles.

Je ne fais pas de physique, mais une primitive de $\cos \times \sin$ c’est bien "définissable avec des fonctions usuelles" (indice : comme toujours, linéariser).

Avec t’es coordonnée le calcul donne bien x=0 y=0 et z=0 :

comme $\phi$ est définis de $0$ à $2\pi$ tu as bien : $\int_0^{2\pi} cos(\phi) d\phi = 0$ donc x = 0

$\int_0^{2\pi} sin(\phi) d\phi = 0$ donc y = 0

et finalement

$\int_0^{pi} cos(\theta) d\theta = 0$ donc z=0

Finalement cos(x)*sin(x) est intégrable … et facilement !

edit : pas besoin de linéariser … juste utiliser les identités trigo.

edit : pas besoin de linéariser … juste utiliser les identités trigo.

Même pas besoin, une primitive triviale de $x\mapsto \cos x\sin x$ est $x\mapsto \frac 12\sin^2x$. Il suffit d’utiliser la dérivée d’une fonction composée avec la fonction carrée…

J’approuve totalement.

Salut,

J’ai quelques cours qui pourraient t’intéresser sur ce sujet, avec des exemples, et des exercices (+corrections).

MP si t’es intéressé !