Réflexion sur les nombres premiers

Bonjour à tous, je suis nouveau ici. Je ferai une présentation plus complète par la suite mais l’idée est là, je n’ai guère envie de la laisser filer.

1) Définissons

Nous sommes tous familiers avec les nombres premiers mais il est bon rappeler leur énoncé : Est premier tout nombre entier qui n’a pas de diviseur hormis 1 et lui-même.

2)Constatons

Nous pouvons à partir de cet énoncé donner la double affirmation suivante : 2 est premier et par conséquent ses multiples ne le sont pas. Tout nombre pair est multiple de 2, aucun nombre pair n’est premier (hormis 2 mais je ne vais pas préciser à chaque fois). Nous pouvons également noter que 5 est premier ainsi ses multiples ne le sont pas.

Nous pouvons alors dire : les nombres finissant par 0, 2, 4, 5, 6 ou 8 ne sont pas premiers.

3) Extrapolons dans l’ensemble des premiers supérieurs à 5

Les nombres premiers ne peuvent se terminer que par 1, 3, 7 ou 9. Ces premiers potentiels sont présents dans l’ensemble des réels dans l’ordre donné. On peut également dire que pour chacun de ces nombres il est également possible de faire partie d’un duo de premiers jumeaux.

4) Inversons

Plutôt que chercher à savoir quels sont les premiers, attelons-nous à savoir lesquels ne le sont pas. Considérons les unités que l’on peut avoir dans les nombres premiers : 1,3,7 et 9. Comme il est possible si un entier se termine par l’un de chiffres qu’il soit premier alors considérons cette règle : Les multiples de tout entier premier se terminant par 1, 3, 7 ou 9 ne sont pas premiers. Bien sûr, de par leur nature les premiers suppriment l’ensemble de leurs multiples de l’ensemble des nombres potentiellement premiers.

Considérons alors les tables de ces nombres et comme eux seuls peuvent être unité d’un nombre premier ne considérons que les produits se terminant par l’un d’eux. Comme nous considérons un ensemble supérieur à 5, nous considérerons 7, 9, 1 et 3.

7 x 1 = 7, 7 x 3 = 21, 7 x 7 = 49, 7 x 9 = 63

9 x 1 = 9, 9 x 3 = 27, 9 x 7 = 63, 9 x 9 = 81

1 x 1 = 1, 1 x 3 = 3, 1 x 7 = 7, 1 x 9 = 9

3 x 1 = 3, 3 x 3 = 9, 3 x 7 = 21, 3 x 9 = 27.

Isolons selon l’ordre de calculs les unités des produits :

7, 1, 9, 3

9, 7, 3, 1

1, 3, 7, 9

3, 9, 1, 7

Dites donc c’est joli ça j’ai fait un sudoku.

5)Supposons

D’après ce petit tableau nous pouvons constater que les nombres multiples des premiers ont un ordre d’apparition des nombres 1,7, 9 et 3.

Reflexion :

-En considérant que les nombres qui peuvent être premiers ont un ordre connu d’apparition dans l’ensemble des réels.

-En considérant le tableau ci-dessus comme règle d’apparition des multiples (ou de disparition de ceux que j’appelle les "premiers potentiels").

-En considérant que ces règles s’appliquent dans des intervalles différents (espaces de 30, 70, 90).

-En considérant les multiples que ces tables partagent entre elles.

-En considérant que la table de 1 ne supprime pas la potentialité.

Alors il doit être possible de noter une formule logarithmique permettant de calculer le nombre de premiers présents dans un intervalle de nombres réels.

6) Conclusion

Vous remarquerez probablement qu’il s’agit plus d’une piste de réflexion que je lance à ceux que le sujet intéresse. En espérant ne pas vexer quelqu’un et sans aucunement chercher à diminuer les efforts et esprits brillants qui s’y sont collés; je vais terminer tout de même en posant directement une question : Pourquoi s’entêter à prouver que la conjecture des nombres premiers jumeaux est vraie si l’on peut prouver qu’elle ne peut pas être fausse ?

Voilà, sincèrement je ne pense pas avoir dit des choses que vous ne saviez pas ou n’auriez pas remarquées seuls si vous aviez regardé ces nombres sans moi; mais j’avais besoin de formuler cette pensée et ça me faisait une occasion de m’inscrire ici plutôt que je juste passer à l’occasion. (Oui cette phrase est longue, désolé.)

J’aurais aimé aller un peu plus avant dans la conclusion avec la formule mais vous savez, la vie, les amours, les ennuis, bref j’ai pas fait de maths depuis dix ans j’avais pas étudié les logarithmes et j’ai certainement pas encore refait mon retard.

Cordialement, wouyou.

Salut,

Comme souvent, c’est déjà fait. On a même une fonction pour le nombre de nombres premiers inférieur à son argument, notée $\pi$, et on sait par exemple que $\dfrac x {\ln x}< \pi (x)<1.25506\dfrac x {\ln x}$.

Cette question me fais penser à la dernière vidéo de Science4all, ça peut t’intéresser :

Pourquoi s’entêter à prouver que la conjecture des nombres premiers jumeaux est vraie si l’on peut prouver qu’elle ne peut pas être fausse ?

Pas de vraie différence entre les deux problèmes. Le principe du tiers exclus dit exactement que si une proposition ne peut pas être fausse, alors elle est vraie.

Le constructivisme c’est mignon, mais personne n’a envie de s’y contraindre sur des sujets de la sorte.

edit : j’ai regardé la vidéo 2 min, et je vois déjà qu’elle est naïve. J’ai pas le temps de faire une critique, mais confondre le problème du nominalisme/platonicisme et celui de la construction/découverte est quand même gros.

La différence entre les deux problèmes c’est que prouver qu’elle ne peut pas être fausse serait une simple conséquence ne demandant aucun effort, établir la règle précise et irrévocable d’apparition des premiers parmi les entiers serait l’angle d’attaque et en quelque sorte l’objectif.

J’ai fait un petit tableau en partant dans cette idée de construction et je pense que tout seul il sert à rien mais ça génère des graphiques super jolis =)

La différence entre les deux problèmes c’est que prouver qu’elle ne peut pas être fausse serait une simple conséquence ne demandant aucun effort, établir la règle précise et irrévocable d’apparition des premiers parmi les entiers serait l’angle d’attaque et en quelque sorte l’objectif.

Et pourtant c’est bien plus difficile que ce que tu pourrais croire.

Tu penses bien que si on arrivait à prédire la position des nombres premiers, on se fatiguerait pas à essayer aussi de répondre à des questions plus simples comme l’existence ou non d’une infinité de jumeaux.

Par contre, on se fatiguerait pas mal à trouver des algos de chiffrement qui ne reposent pas sur des grands nombres premiers.