Thermodynamique/Maths: modélisation comportement intérieur-extérieur

Bonjour,

J’aimerais essayer de modéliser mathématiquement sans expériences physiques le comportement d’une tasse de café à l’intérieur et à l’extérieur. Par là, je voudrais par exemple avoir la température $T$ en fonction du temps $t$ et on pourrait limite faire une expérience pour voir si la théorie colle avec la pratique. Pourriez-vous m’aider ? Je suppose que c’est la résolution de l’équation de la chaleur mais j’ai pas fais d’équations différentielles partielles donc j’aimerais simplifier au maximum le problème

Merci!

Merci Adri1. J’ai vite fais les PDE (on peut pas encore plus simplifier en se ramenant à une ODE par hasard en disant que ça ne varie pas suivant $z$ ? Si oui, comment?). Le coefficient de diffusion dépend t-il uniquement du matériau ou je peux simple dire qu’il est environ égal à 1 ici ?

Pour la résolution de l’équation, je ferai ça de cette façon:

$\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \kappa \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}$ J’utilise les conditions $T(z,0)=25$ (On prend les températures en degrés celsius) et $T(0,t) = 29$ (aucune idée si c’est réaliste) et $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } T(z,t) = 0$ (la température stagne à 0 degrés si on le laisse à l’extérieur). J’utilise les transformées de Laplace afin de la transformer en ODE:

$s{\rm T}(z,s) - {\rm T}(z,0) = \kappa \frac{{{d^2}}}{{d{z^2}}}{\rm T}(z,s)$

Et puis utiliser toutes les conditions de bord pour la résoudre en entier. Je sais pas s’il y a pas facile pour la résoudre.

Graphiquement, je peux faire ça facilement sur Matlab pour voir ce que ça donne?

Merci Adri1. J’ai vite fais les PDE (on peut pas encore plus simplifier en se ramenant à une ODE par hasard en disant que ça ne varie pas suivant $z$ ? Si oui, comment?).

Si tu supposes que la température ne varie pas suivant $z$, alors tu ne peux pas avoir un café à une température différente de l’extérieur puisque ça revient à supposer que le coefficient de diffusion est infini.

Le coefficient de diffusion dépend t-il uniquement du matériau ou je peux simple dire qu’il est environ égal à 1 ici ?

Le coefficient de diffusion dépend du matériau et des conditions de pression température. Tu peux par exemple prendre celle de l’eau, qui est de $2\times 10^{-7}\mathrm{m^2s^{-1}}$.

J’utilise les conditions $T(z,0)=25$ (On prend les températures en degrés celsius) et $T(0,t) = 29$ (aucune idée si c’est réaliste)

Donc ton café est à 25°C et tu le mets dans de l’air à 29°C ? Pourquoi pas, mais ça me semble pas être le cas classique, là tu vas réchauffer ton café… Le café doit sortir à quelque chose comme 60°C de la cafetière, et la température de la pièce doit être de 20°C par exemple.

et $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } T(z,t) = 0$ (la température stagne à 0 degrés si on le laisse à l’extérieur).

Alors là, je comprends plus rien… Ta pièce est à 29°C ou à 0°C ? La température que tu imposes sur la surface du café, c’est la température de la pièce vers laquelle tu vas tendre, pas un truc au pif…

J’utilise les transformées de Laplace afin de la transformer en ODE

Et puis utiliser toutes les conditions de bord pour la résoudre en entier. Je sais pas s’il y a pas facile pour la résoudre.

Tu peux faire avec Laplace, ou bien les séries de Fourier, ou encore avec une séparation de variable en écrivant $T(z,t)=f(t)g(z)$ et en injectant dans l’équation.

Attention au condition au limite, il faut une conditions au limite de type mixte (Dirichlet/Neuman) et qui prend en compte le coefficient d’échange de chaleur de l’interface air-café (donc air-eau).

Tu peux estimer tous aussi approximativement (enfin je pense) l’évolution de la température comme cela : tu fais l’hypothèse (forte) que la température dans la tasse $T_c$ est homogène

Tu as alors l’équation $\frac{dT_c}{dt} = h (T_{ext}-T_{c})$ à résoudre. h dépend de la quantité de café, capacité calorifique du café, de la surface de ton interface café-air et du coefficient d’échange café-air.

Attention au condition au limite, il faut une conditions au limite de type mixte (Dirichlet/Neuman) et qui prend en compte le coefficient d’échange de chaleur de l’interface air-café (donc air-eau).

Ce que tu vas prendre en compte avec ta condition est la difficulté de l’air a évacuer la chaleur. C’est se prendre la tête sur un point du second ordre alors que tout le reste est fait au premier ordre (comme le fait que la température ne varie pas latéralement).

Ça marche, mais tu ne résous pas le même problème…

Il ne me semble pas. Je ne résous jamais ce genre de système mais le paramètre $h$ d’échange eau-air me semble important. Ça n’a rien avoir si le café est au contact de l’air à $T_ext$ ou si il est au contact de cuivre à $T_ext$. Ensuite pour la condition au bord, il me semble qu’un échelon de température est forcement représenté sous le forme d’une condition au limite mixte (mais c’est à confirmer, et il y a peut être d’autres méthodes).

Ça me semble a peut près convenir à l’op d’après ce qu’il demande :

Je ne sais pas la différence entre les deux méthodes mais à la vue des approximations dans les deux cas, je pense pas que l’une soit meilleurs que l’autre. Part contre l’une est bien plus simple

Et dans la seconde méthode il y a 2 approximation qui peuvent se compenser (modulo qu’elle sot du même ordre de grandeur …) D’un coté l’équation dif fera monter $T_c$ trop vite la différence de température à l’interface est sur estimé. Mais de l’autre on oublis le transfert de chaleur à travers la tasse.

D’ailleurs en regardant vite fait sur internet les différents coefficient j’ai l’impression qu’il y a grosso modo autant de chaleur transmise à travers la tasse (porcelaine) qu’à travers l’interface eau-café.

Résoudre l’équation de chaleur c’est un bon entrainement de math appliqué mais sinon c’est je pense, se donner beaucoup de mal pour pas grand chose sans un logiciel de simu derrière pour faire le calcul proprement.

Ça n’a rien avoir si le café est au contact de l’air à $T_ext$ ou si il est au contact de cuivre à $T_ext$.

Bien sûr, et c’est exactement dans ces cas là que ta condition serait utile, parce qu’elle en prend en compte le fait que le cuivre ne peut pas évacuer la chaleur instantanément. Sur un aussi petit volume d’eau, l’air est clairement un milieu infini bien mélangé qui peut extraire la chaleur instantanément (comprendre "beaucoup plus rapidement que le café ne refroidit").

Ensuite pour la condition au bord, il me semble qu’un échelon de température est forcement représenté sous le forme d’une condition au limite mixte (mais c’est à confirmer, et il y a peut être d’autres méthodes).

Non, c’est tout simplement erroné. Cela dépend de l’interface à considérer, si le matériau d’un côté de l’interface évacue instantanément la chaleur, considérer une température constante plutôt qu’une condition mixte permet de ne pas s’embêter à prendre en compte le fait que la chaleur ne conduit pas parfaitement (ce qui ne fait qu’ajouter un paramètre physique difficile à estimer au problème). Le cas extrême, c’est celui d’un corps qui se refroidit par rayonnement électromagnétique dans le vide (où pour le coup, la chaleur est vraiment évacuée instantanément par rapport au temps diffusif de l’objet). Le $h$ dans ton équation serait infini et l’objet serait immédiatement refroidit à $0K$, parce que ton équation suppose que ce qui limite le refroidissement de l’objet est l’évacuation à l’interface plutôt que les processus de diffusion (que ton équation suppose infiniment rapide). Très honnêtement, ça m’étonnerait énormément que la diffusion de chaleur dans le café puisse être considérée instantanée par rapport au temps de déstabilisation de la couche limite entre le café et l’air.

Je ne sais pas la différence entre les deux méthodes mais à la vue des approximations dans les deux cas, je pense pas que l’une soit meilleurs que l’autre. Part contre l’une est bien plus simple

Plus simple d’un point de vue mathématique à résoudre, mais pas d’un point de vue physique à appliquer. À tous les coups, ce que tu vas mettre dans $h$ va servir à compenser l’hypothèse sur laquelle repose ton équation qui est que l’extraction de chaleur se fait uniformément sur toute la colonne de café. Il n’y a aucun moyen analytique de connaître $h$ sans résoudre d’abord l’équation complète (possiblement avec une condition au bord mixte si vraiment l’air n’est pas capable d’évacuer rapidement la chaleur, mais j’en doute très fortement, et dans tous les cas, on ne pourra pas se ramener à une température homogène spatialement pour n’avoir qu’une ODE en sortie).

D’ailleurs en regardant vite fait sur internet les différents coefficient j’ai l’impression qu’il y a grosso modo autant de chaleur transmise à travers la tasse (porcelaine) qu’à travers l’interface eau-café.

Ça c’est bien possible, dans ce cas partir sur une sphère (pour garder quand même une seule dimension spatiale de variabilité) serait peut être plus judicieux.

Résoudre l’équation de chaleur c’est un bon entrainement de math appliqué mais sinon c’est je pense, se donner beaucoup de mal pour pas grand chose sans un logiciel de simu derrière pour faire le calcul proprement.

C’est pas si compliqué (surtout si on s’évite le coup d’une manip pour pouvoir estimer $h$ ).

Donc ton café est à 25°C et tu le mets dans de l’air à 29°C ? Pourquoi pas, mais ça me semble pas être le cas classique, là tu vas réchauffer ton café… Le café doit sortir à quelque chose comme 60°C de la cafetière, et la température de la pièce doit être de 20°C par exemple.

et $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } T(z,t) = 0$ (la température stagne à 0 degrés si on le laisse à l’extérieur).

Alors là, je comprends plus rien… Ta pièce est à 29°C ou à 0°C ? La température que tu imposes sur la surface du café, c’est la température de la pièce vers laquelle tu vas tendre, pas un truc au pif…

Mon café est à 29 degrés et ma pièce (l’extérieur) est à 0 degrés.

Je ne vois pas en quoi on résous pas le même problème ? C’est simplement moins précis, non? Mathématiquement elle est beaucoup plus simple en plus

Je pourrais peut-être essayer de modéliser les deux, tracer les courbes sur Matlab et puis faire l’expérience chez moi (précision bof je sais mais ça donnera une idée globale) pour voir quel modèle est plus valable ?

Par contre, par séparation de variables je vois pas du tout comment ça marche! On se ramène aussi à une ODE? Je pense rester sur Laplace/Fourier

Vael: Comment on peut déterminer ce fameux $h$ ?

La résolution est-elle correcte ? J’ai pris $T_{ext} = 0$ mais ça me semble un peu bizarre.

$\begin{array}{l} \int {\frac{{d{T_c}}}{{({T_{ext}} - {T_c})}}} = \int {hdt} \ \Leftrightarrow \ln ({T_{ext}} - {T_c}) = - ht + C\ \Leftrightarrow {T_c}(t) = {T_{ext}} - \exp ( - ht) + C\ \to {T_c}(t = 0) = 25 \Leftrightarrow 25 = {T_{ext}} - 1 + C \Leftrightarrow C = 26 \end{array}$

Et donc on a $ \Rightarrow {T_c}(t) = - \exp ( - ht) + 26$

Mon café est à 29 degrés et ma pièce (l’extérieur) est à 0 degrés.

Ben d’où le sort le 25°C alors ? Les conditions pour ça seraient $T(z,0)=29$ et $T(0,t)=0$ (température de la surface imposée à 0 et température initiale à 29 partout)…

Je ne vois pas en quoi on résous pas le même problème ? C’est simplement moins précis, non?

C’est pas que c’est moins précis, c’est juste que c’est basé sur des hypothèses différentes. Quand je dis que les équations de Vaël ne résolvent pas le même problème que les miennes, c’est du point de vue des conditions au bords qui sont considérées (et des hypothèses qui sont faites sur ce qui limite le transport de chaleur, ce que j’ai expliqué dans mon post précédent en fait). Je voulais appuyer sur ce point pour éviter que tu penses que les équations que propose Vaël sont une simplification des miennes. Il s’agit carrément d’une vision différente du problème.

Je pourrais peut-être essayer de modéliser les deux, tracer les courbes sur Matlab et puis faire l’expérience chez moi (précision bof je sais mais ça donnera une idée globale) pour voir quel modèle est plus valable ?

Le modèle de Vaël sera forcément celui qui pourra coller le plus aux données parce que tu n’as aucune contrainte à priori sur $h$. Donc tu vas pouvoir lui donner une valeur qui va compenser l’hypothèse grossière que la température est homogène et que c’est l’air qui limite les pertes de chaleur du café. Par contre, son pouvoir prédictif est nul (comme tu n’as aucun moyen de connaître $h$ avant de l’ajuster expérimentalement) et il est impuissant pour modéliser les variations spatiales du champs de température dans le café (forcément, puisqu’il repose sur l’hypothèse que le café conduit instantanément la chaleur). La seule chose que t’apprends le modèle de Vaël est la décroissance exponentielle de la température moyenne, mais ça, ça se voit de toute façon immédiatement avec l’équation de la chaleur…

Par contre, par séparation de variables je vois pas du tout comment ça marche!

Tu as essayé de faire ce que je disais ? En prenant $T(z,t)=f(z)g(t)$ et en l’injectant dans l’équation de la chaleur, on trouve $f(z)g'(t)=\kappa f''(z)g(t)$. On voit tout de suite l’exponentielle en $t$ qui va apparaître.

D’accord! Je vais faire l’expérience pour déterminer ce fameux $h$ alors et publier mes résultats après Oups, voici la bonne résolution je pense (en prenant la température du café à 25 degrés)

@Vael (désolé pour l’accent, j’ai toujours été persuadé qu’il y en avait un :-°), là où à mon avis tu fais une grossière erreur de raisonnement, c’est lorsque tu oublies que l’air est (presque) transparent aux rayonnements électromagnétiques. Le transfert de chaleur d’un objet quelconque vers l’atmosphère ne se fait pas par transmission de moment cinétique entre atomes (sinon, le café mettrai plusieurs jours à refroidir) mais par rayonnement IR (c’est grâce à ça que les caméras IR fonctionnent d’ailleurs, sinon on verrai juste des gros pâtés informes).

Oui, j’avais pas pensé à ça mais en pratique… ça change pas le problème tant que ça.

Un rapide calcul permet de voir que les deux phénomènes on exactement le même rôle dans ce problème et un autre calcul grossier permet de déduire que la conduction thermique de l’eau a également le même ordre de grandeur du coup difficile de négliger l’un des paramètres.

Rayonement : $\epsilon_{eau} = 1$ (émissivité)

$P^{ray}_{S} = \epsilon_{eau} \sigma (T_{c}-T_{ext})$

pour T_{c} = 325K et T_{ext} = 300K on a $P^{ray}_{S} = 170\ W.m^{2}$

Convection Pour convection libre de l’air $h_{air}$ est compris entre $5$ et $25\ W.m^{-2}.K$ Donc pour une différence de 25K $P^{conv}_{S}$ est compris entre $125\ W.m^{-2}$ et $625\ W.m^{-2}$. Après en pratique pour des faible différence de température $h_{air}$ est bien plus proche de $5\ W.m^{-2}.K$.

Conduction dans l’eau Tasse de hauteur $h=10cm$

$\lambda_{eau} = 0.6\ W.m^{-1}.K^{-1}$

Ce qui donne une résistance thermique surfacique de $R^{eau}_S = 6\ W.m^{-2}.K^{-1}$. Pour rendre le truc plus parlant on peut imaginer le gradient de $25K$ sur les 10cm de tasse ce qui donne un apport de chaleur à la surface de $P^{eau}_S = 125\ W.m^{-2}$.

Bon je suis quand même surpris par le rapport convection/conduction que j’aurais pensé largement plus en faveur de la conduction ^^. Du coup ça sera intéressant de voir ce que donne les differents modèles

(Si on voit pas des gros pâté informe c’est parce que l’air à une émissivité très faible)

Tes calculs montrent que tout le flux conductif va pouvoir s’évacuer sans problème par rayonnement, et qu’il n’y a donc pas besoin de transport convectif par l’air.

Me voilà de retour ! J’ai fais les expériences à température ambiante, i.e. environ 20 degrés celsius. J’obtiens pour t = 0s, 80°C; après 1 min 77.3°C, après 2min 75.7°C et après 3 mins 73.5°C. Est-ce que mon expression du dessus (résolution de l’ODE) est correcte ? Si oui, je peux en tirer $h$ (unité: $s^{-1}$)

(où $T_0$ est la température initiale)

Donc pour t = 60s, j’ai $h = {7.7\times10^{ - 3}}{s^{ - 1}}$ (en gardant T en degrés celsius) . Est-ce que je devrais calculer tous les $h$ pour différentes températures et faire la moyenne empirique pour avoir une valeur plus "juste" ?

Si je plot en Matlab l’expression trouvée en remplaçant avec les données j’ai ceci qui me semble pas correct (à t = 60s je suis en dessous de 60 degrés alors qu’en réalité on est à 77.3 degrés!)

Merci !

J’obtiens pour t = 0s, 80°C; après 1 min 77.3°C, après 2min 75.7°C et après 3 mins 73.5°C.

C’est quoi cette température ? C’est mesuré comment ? L’équation proposée par Vael fait intervenir la température moyenne du café, que tu n’as aucun moyen de mesurer directement…

D’accord, donc expérimentalement je peux rien prouver ? Cette mesure c’est simplement la température du café mesurée avec un thermomètre de "base". Que mesure-t-on en procédant comme ceci ?

La résolution vous semble correcte?

Je vois ! Quelle technique utiliserais-tu ? Est-ce que t’as pu regarder si les équations sont justes (expression de $h$ et celle de la température en fonction du temps) pour être sûr que le problème vient des mesures et non pas de l’équation?

On a fait la supposition que la température est homogène donc à cet endroit ou à un autre, ça ne change rien normalement mais après, quid de cette approximation?