Le cas en maths est assez intéressant (en vrai, la notation $\partial$ est à peine croyable).
Les notations (co)homologiques singulières (c’est la théorie classique) sont les suivantes :
- $\partial : H_{i+1} \to H_{i}$ opérateur de bord ;
- $\delta : H^{i}\to H^{i+1}$ son dual cohomologique (défini par le crochet plus bas).
En géométrie différentielle (en fait, en cohomologie de De Rham) :
- $d : H^{i}\to H^{i+1}$ l’opérateur de bord ;
- $\partial$ le bord géométrique.
Regardons un instant la formule de Stokes :
$$ \int_{\partial \Omega} w = \int_\Omega dw.$$
En fait, le premier et le dernier $\partial$ sont beaucoup plus proches qu’on ne peut le croire. (Seuls $\delta$ et $d$ sont des variations d’une (presque) même chose).
Le théorème de De Rham nous dit que la cohomologie de De Rham est isomorphe à la cohomologie singulière (à coefficients réels). Et en fait, la formule de Stokes se comprend comme une dualité : si je note
$$ \langle M , \psi \rangle = \int_{M} \psi $$
et bien le théorème de Stokes dit exactement que c’est un crochet de dualité :
$$ \langle \partial \Omega, w\rangle = \langle \Omega,d w\rangle $$
exactement comme dans le cas de l’homologie singulière où
$$ \langle \partial u,v\rangle = \langle u,\delta v\rangle. $$
Ce qui est à peine croyable, c’est qu’on note aussi $\partial$ le dual (au sens linéaire) de $d$, puisqu’on définit $dx^i$ comme la forme linéaire duale à $\partial/\partial x^i$.
TL&DR : on a deux dualités entre $d$ et $\partial$ dans deux contextes différents où à chaque fois on a deux isomorphismes forts.
Bonus : en passant par la cohomologie de Cech, on peut montrer l’isomorphisme de De Rham, la formule de Stokes et Mayer-Vietoris comme des conséquences (presque) triviales. Comme quoi, avec un bon formalisme les théorèmes peuvent tomber comme des mouches :).
Conclusion : la topologie c’est le bien.
