En cohomologie (de De Rham) on préfère noter $d$ la différentielle extérieure. C’est un opérateur qui envoie une $n$-forme différentielle sur une $(n+1)$-forme différentielle.
Cette différentielle extérieure, c’est la différentielle usuelle lorsque $n=0$, c’est-à-dire pour les fonctions numériques.
En revanche, elle a des propriétés plus spéciales en dimensions supérieures, notamment le fait que $d^2 = d\circ d= 0$. (C’est ce qui permet de faire de la cohomologie.)
L’intérêt géométrique de cette notion, c’est que dans la formule de Stokes :
le $d$ qui apparaît est celui de la différentielle extérieure. (La formule de Stokes est vraie pour toutes les $n$-formes différentielles, pas seulement les fonctions).
Quand on veut parler des dérivées successives, par exemple de la hessienne, c’est assez usuel d’utiliser un $D$ majuscule pour désigner la jacobienne (différentielle usuelle). Parce que, bien sûr, une hessienne, $D^2 f$, n’est pas toujours nulle contrairement à la $2$-forme différentielle $d^2 f$.
