Variation d'une fonction d'onde avec le temps

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Bonjour à tous,

Je dois expliquer comment la fonction d’onde (d’une particule dans une boite) suivante varie avec le temps et je suis certain que mon raisonnement soit correct. Si vous pouviez m’expliquer ce qui est pas très correct ça m’arrangerait.

$$\Psi (x,t = 0) = \sqrt {\frac{{30}}{{{a^5}}}} x(a - x)$$

où $a$ est la longueur de la boîte.

On voit très rapidement que cette fonction d’onde n’est pas une fonction propre de l’hamiltonien. Donc, ça veut forcément dire que l’on a un système non-stationnaire ce qui signifie que le module carré ${\left| {\Psi (x,t)} \right|^2}$ évolue au cours du temps. On peut cependant exprimer la fonction d’onde ci-dessus par une combinaison linéaire de fonctions propres de l’espace vectoriel de Hilbert, i.e. $\Psi (x,t) = \sum\nolimits_n {{c_n}{\varphi _n}(x,t) = } \sum\limits_n {{c_n}} {\varphi _n}(x)\exp ( - \frac{{i{E_n}}}{{\bar h}}t)$, avec les $c_n$ dans C. On sait que dans une boîte on a ${\varphi _n}(x) = \sqrt {2/a} \sin (\pi nx/L)$ (avec $n$ entier). Je me souviens plus par contre comment déterminer les coefficients $c_n$; il me semble qu’ils sont nuls pour tous les termes pairs par contre. Comment les trouve-t-on ?

Les justifications que j’utilise sont-elles correctes?

Merci!

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C’est ca.

Tu dois utiliser le produit scalaire. Rappelle toi que $(\varphi_n,\varphi_m) = \delta_{mn}$1 ou $\delta_{mn}$ est le symbole de Kronecker, il vaut 1 quand m=n et zéro sinon.

Du coup, il découle quasi-directement que les $c_n$ sont données par : $c_n = (\varphi_n, \Psi)$

  1. Pourquoi on a cette relation ? Parce qu’on peut démontrer que les fonctions propres d’un opérateur hermitien, ici $H$ le hamiltonien, forme une base orthogonal de l’espace des états. Ce qui veux dire que les fonctions propres sont orthogonale entre elles, cad que le produit scalaire de deux fonction propre différente est nul (et sinon le produit scalaire d’une fonction propre par elle même vaut $1$). ↩

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Bonjour,

On voit très rapidement que cette fonction d’onde n’est pas une fonction propre de l’hamiltonien.

ZDS_M

C’est vrai, mais si tu fais ce travail dans le cadre d’un exercice, je suis pas certain qu’on te laisse considérer que c’est trivial !

Donc, ça veut forcément dire que l’on a un système non-stationnaire ce qui signifie que le module carré ${\left| {\Psi (x,t)} \right|^2}$ évolue au cours du temps.

ZDS_M

C’est vrai, mais je ne suis pas certain qu’il soit pertinent de le remarquer si ce que tu veux c’est l’évolution temporelle de la fonction d’onde.

On peut cependant exprimer la fonction d’onde ci-dessus par une combinaison linéaire de fonctions propres de l’espace vectoriel de Hilbert, i.e. $\Psi (x,t) = \sum\nolimits_n {{c_n}{\varphi _n}(x,t) = } \sum\limits_n {{c_n}} {\varphi _n}(x)\exp ( - \frac{{i{E_n}}}{{\bar h}}t)$, avec les $c_n$ dans C. On sait que dans une boîte on a ${\varphi _n}(x) = \sqrt {2/a} \sin (\pi nx/L)$ (avec $n$ entier).

ZDS_M

Je suppose que ton $L$ devrait être un $a$ ? Rappel aussi l’expression de $E_n$.

Je me souviens plus par contre comment déterminer les coefficients $c_n$;

ZDS_M

Il faut que tu utilises le produit scalaire hermitien de ton espace de Hilbert. (Je pense qu’avec cette indication tu devrais pouvoir retrouver l’expression dont tu as besoin par toi même :)).

il me semble qu’ils sont nuls pour tous les termes pairs par contre. Comment les trouve-t-on ?

ZDS_M

Quand tu auras retrouvé l’expression des coefficients, tu verras que certains sont nuls en utilisant des arguments de symétrie.

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