Dérivées partielles

Bonjour, j’ai une question concernant les dérivées partielles :

Soit $f : \mathbf R^2 \rightarrow \mathbf R : (x , y) \mapsto x^2 - 2xy + x^2y$. Je calcul $(\frac{\partial f}{\partial x})_y = 2x - 2y + 2xy = 2(x - y + xy)$ puis $(\frac{\partial f}{\partial y})_x = -2x + x^2$.

Ensuite je cherche à calculer $(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}) = (\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x})$ d’après le théorème de Schwarz. Est-ce que cela veux dire que si je dérive les deux expressions au-dessus, ces dérivées seront égales? Cela ne semble pas être le cas, d’où mon inquiétude quand à la véracité de mes calculs…

Est-ce que cela veux dire que si je dérive les deux expressions au-dessus, ces dérivées seront égales?

Oui.

Cela ne semble pas être le cas,

Bah si, ça l’est. Tes dérivés premières sont bonnes. Fais les dérivées secondes, tu verras, ça marche.

En re-écrivant, oui, il n’y a pas de problème en fait.

$(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}) = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y}) = -2 + 2x = 2(x - 1)$ et $\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 2(x - 1)$.

Maintenant, j’ai un peu plus difficile et je souhaiterais bien votre correction…

C’est une relation de thermo mais je précise que je ne m’y connais pas vraiment dans le domaine.

Soit $F(x, y) = cT(1 - \ln(\frac{T}{T_0})) - \frac{a}{V}-RT\ln(\frac{V - b}{V_0 - b})+\frac{a}{V_0} - cT_0 + U_0 - TS_0$.

$(\frac{\partial F}{\partial T})_V = c(1 - \ln(\frac{T}{T_0})) - \frac{T}{x} - R\ln(\frac{V - b}{V_0 - b}) - 1$, puis ;

$(\frac{\partial F}{\partial V})_T = \frac{a}{T^2} - RT(V - b)$.

Personne?

Salut!

Merci beaucoup pour ta réponse et désolé pour le retour très tardif.

Après avoir simplifié la formule de base, j’obtient les dérivées suivantes :

$(\dfrac{\partial F}{\partial T})_V = c (ln (T_0) - ln (T)) - R.ln(\frac{V - b}{V_0 - b}) - S_0$

$(\dfrac{\partial F}{\partial V})_T = \frac{a}{V^2} - \frac{RT}{V - b}$.

Et il me semble bien avoir $(\dfrac{\partial^2 F}{\partial V\partial T}) = (\dfrac{\partial^2 F}{\partial T\partial V}) = - \frac{R}{V - b}$.

J’ai la même chose.

Ok.

NB : Je n’ai pas passé deux semaines à essayer de faire le calcul, au passage, hein.

Un peu HS mais : pourquoi le symbole \partial s’affiche en tout petit dans les rapports?

Ok, très sympa.

J’ai édité au-dessus pour le test.

Après, quand tu veux écrire des maths seules, il vaut mieux utiliser $$ plutôt que $, ça te permet d’obtenir des mathématiques hors-texte (formules mises en valeurs et centrées par défaut). En mathématiques hors-texte, tu obtiens directement la taille normale pour les éléments comme les fractions. Par exemple, on obtient directement

$$ \left.\frac{\partial F}{\partial V}\right|_T = \frac{a}{V^2} - \frac{RT}{V - b} $$

en écrivant

1
2
3

$$
  \left.\frac{\partial F}{\partial V}\right|_T = \frac{a}{V^2} - \frac{RT}{V - b}
$$