Propriété locale de continuité.

~~Mon titre est pourri -_-~~ Merci Holosmos :)

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Salut à tous,

j’essaye de résoudre un exercice dont l’énoncé est le suivant.

Montrer que si $f$ admet une limite finie en $x_0$ alors il existe $\delta > 0$ tel que $f$ soit bornée sur $]x_0 - \delta, x_0+\delta[$.

Exo7

Admettons que la limite en $x_0$ de $f$ soit $l \in \mathbb{R}$. Alors par définition de la limite, on a

$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, |x-x_0| < \delta \implies |f(x) - l| < \epsilon$$

Or l’implication peut aussi s’écrire

$$x \in ]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \implies f(x) \in ]l - \epsilon, l + \epsilon[$$

CQFD

Je trouve ça beaucoup trop simple du coup je suis d’être passé à côté de quelque chose.

Merci d’avance pour votre aide :) .

PS: Si vous arrivez à trouver un titre potable dite le moi parce que j’y arrive vraiment pas :(

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Si vous arrivez à trouver un titre potable dite le moi parce que j’y arrive vraiment pas

Propriété locale de continuité.

Je trouve ça beaucoup trop simple du coup je suis d’être passé à côté de quelque chose.

Pour moi c’est bon mais pas tout à fait fini. Il faut montrer qu’il existe $\delta$, donc il faut en exhiber un. En l’état, tu n’as pas tout à fait fini. Il faut que tu fasses un choix judicieux d’un espilon et d’un delta. C’est peut être la rédaction de cette conclusion qui est la partie la plus délicate. (Bien que mathématiquement évidente.)

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Qu’est-ce que tu trouves simple ?

Il y a deux propriété dans l’implication : la distance de x à x0 et celle de f(x) a l. Tu as bien les deux propriétés qui sont explicites dans l’implication du bas. Tu peux même généraliser aux boules.

Par contre, c’est ce que tu as l’air de dire mais n’est pas clair, il faut les quantificateurs devant dans la seconde forme et expliquer pourquoi on les a.

Edit: owned et plus précis au dessus.

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Je trouve ça beaucoup trop simple du coup je suis d’être passé à côté de quelque chose.

Pour moi c’est bon mais pas tout à fait fini. Il faut montrer qu’il existe $\delta$, donc il faut en exhiber un. En l’état, tu n’as pas tout à fait fini. Il faut que tu fasses un choix judicieux d’un espilon et d’un delta. C’est peut être la rédaction de cette conclusion qui est la partie la plus délicate. (Bien que mathématiquement évidente.)

Holosmos

J’aurais tendance à dire $\delta = x$ et $\epsilon = f(x)$ mais ça me semble bizarre du fait que $x$ n’est pas fixé. Après je galère un peu, je pense qu’il faudrait exprimer delta en fonction d’epsilon mais je ne trouve pas de relation qui peut lier les 2.

Qu’est-ce que tu trouves simple ?

Bah s’il suffit de citer la définition et de transformer une inégalité en intervalle c’est simple.

Il y a deux propriété dans l’implication : la distance de x à x0 et celle de f(x) a l. Tu as bien les deux propriétés qui sont explicites dans l’implication du bas. Tu peux même généraliser aux boules.

unidan

Généraliser aux boules, on peut faire ça avec des boules ?

Au passage, tu vois pourquoi un tel titre?

Ozmox

Déjà c’est raccord avec la partie suivante, après si dans les images de f appartiennent à un très petit intervalle (qui peut être aussi petit qu’on veut d’ailleurs) alors il ne peut y avoir de discontinuité (c’est pas très bien dit tous ça).

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J’aurais tendance à dire $\delta = x$ et $\epsilon = f(x)$ mais ça me semble bizarre du fait que $x$ n’est pas fixé. Après je galère un peu, je pense qu’il faudrait exprimer delta en fonction d’epsilon mais je ne trouve pas de relation qui peut lier les 2.

Je ne suis pas sûr d’avoir compris, mais si c’est le cas c’est une mauvaise idée.

Au passage, tu vois pourquoi un tel titre?

Ozmox

Déjà c’est raccord avec la partie suivante, après si dans les images de f appartiennent à un très petit intervalle (qui peut être aussi petit qu’on veut d’ailleurs) alors il ne peut y avoir de discontinuité (c’est pas très bien dit tous ça).

LudoBike

$f$ pourrait très bien avoir des discontinuité au voisinage de $x_0$. Tu peux imaginer des petits sauts qui sont d’amplitude $(x-x_0)$. De sorte que ça ne tue pas la continuité en $x_0$ mais que ça empêche la continuité ailleurs.

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$f$ pourrait très bien avoir des discontinuité au voisinage de $x_0$. Tu peux imaginer des petits sauts qui sont d’amplitude $(x-x_0)$. De sorte que ça ne tue pas la continuité en $x_0$ mais que ça empêche la continuité ailleurs.

Holosmos

Je comprends pas vraiment le concept de continuité en un point, c’est quand il n’y a pas de "saut" au point même ?

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Bon je suis vraiment pas sûr de moi mais il n’y a qu’en essayant qu’on avance.

En prenant $\delta = x_0$ et $\epsilon = l$ on a

$$x \in ]0;2x_0[ \implies f(x) \in ]0; 2l[$$

Le problème c’est que j’ai l’impression de faire des trucs complètement arbitraires, j’ai aucune preuve que ce que je viens d’écrire est juste et du coup c’est très probablement faux.

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Là où tu te trompes, c’est que le choix de $\epsilon$ impose une contrainte sur $\delta$. Les propositions

$$ \forall \epsilon>0,\exists\delta>0, \; \dots $$

n’est généralement pas équivalente à

$$ \exists \delta>0, \forall \epsilon>0, \; \dots $$

Tu dois donc commencer par fixer un $\epsilon$ et obtenir le $\delta$ correspondant par la qualité de continuité.

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Oui, c’est ce que j’essayais de dire là :

Après je galère un peu, je pense qu’il faudrait exprimer delta en fonction d’epsilon mais je ne trouve pas de relation qui peut lier les 2.

par la qualité de continuité

C’est quoi la qualité de continuité ?

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Une fonction $f : E \rightarrow F$ est continue en $x_0 \in E$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $f(x)$ tend vers $f(x_0)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$.

Dans l’énoncé, $f$ admet une limite finie en $x_0$ ($l = f(x_0)$) donc elle est continue en ce point (mais elle n’est pas continue partout).

On parle de propriété locale de continuité puisque si $f$ est continue en $x_0$ alors en résolvant le problème tu devrais pouvoir montrer qu’elle est bornée sur $]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ pour $\delta > 0$ (c’est la propriété en question).

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Dans l’énoncé, $f$ admet une limite finie en $x_0$ ($l = f(x_0)$) donc elle est continue en ce point (mais elle n’est pas continue partout).

Le "donc" est dangereux. Ça dépend d’un détail formel qui n’est pas évident. Vaut mieux donc éviter ce genre de phrase.

Pour le détail, ça dépend si on prend des voisinage épointés ou non dans la définition de limite. Si c’est le cas, le "donc" est faux : on peut avoir une limite finie en un point sans être continu en ce point.

On parle de propriété locale de continuité puisque si $f$ est continue en $x_0$ alors en résolvant le problème tu devrais pouvoir montrer qu’elle est bornée sur $]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ pour $\delta > 0$ (c’est la propriété en question).

Ozmox

J’ai pas compris ton interprétation. Quand je parle de propriété locale, je veux signifier par là que ça ne dépend que du germe de $f$ en point. Ce qui signifie grossièrement que ça ne dépend pas du petit voisinage choisi autour de $x_0$.

C’est quoi la qualité de continuité ?

La définition de continuité que tu connais. Désolé si j’étais pas clair.

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Ah oui, j’avais oublié le cas des voisinages épointés. Dans ce cas là, rien ne nous indique que $f$ est continue en ce point?

Eh bien par propriété de continuité j’entendais en fait que $f$ satisfait ce qui est demandé dans l’énoncé. Par locale, c’est que l’on pourra toujours trouver un intervalle ouvert du domaine de $f$ où cette propriété est vérifiée.

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On fixe $\epsilon > 0$. Considérons

$$\delta = \min(|f^{-1}(l-\epsilon) - x_0|, |f^{-1}(l+\epsilon) - x_0|)$$

Alors sur $]x_0-\delta;x_0+\delta[$, $f$ est majorée par

$$M = \sup \{f(x)|x \in ]x_0-\delta;x_0+\delta\}$$

et minorée par

$$m = \inf \{f(x)|x \in ]x_0-\delta;x_0+\delta\}$$

Comme $f$ est majorée et minorée sur $]x_0-\delta;x_0+\delta[$, elle est bornée. CQFD

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La définition de ton $\delta$ est bizarre : il n’est pas clair que $f^{-1}(l-\epsilon)$ ou $f^{-1}(l+\epsilon)$ soit bien défini.

La façon naturelle c’est de fixer $\epsilon$ et de prendre le $\delta$ qui est assuré par la continuité.

Et puis l’argument pour ta majoration et minoration c’est de la poudre aux yeux. C’est clairement insuffisant puisque $M,m$ pourraient être des valeurs non finies.

Il faut que tu fasses appel à la continuité à un moment où à un autre. Sinon c’est sûr que tu vas dans le mur.

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La façon naturelle c’est de fixer $\epsilon$ et de prendre le $\delta$ qui est assuré par la continuité.

Holosmos

Ça doit être là que je ne comprends pas, c’est quoi le delta qui est assuré par la continuité ?

Naïvement je dirais que du fait que f est continue en $x_0$, si on fixe $\epsilon >0$ alors il existe un delta tel que $x \in ]x_0 - \delta;x_0 + \delta[$ implique $f(x_0) - \epsilon < f(x) < f(x_0) + \epsilon$ mais ça ne nous a pas avancé puisqu’on a toujours pas exhibé de delta.

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Soit $f: I \to J$ une fonction réelle telle que $f$ admet une limite finie en $x_0$, ie pour $x$ qui tend vers $x_0$, $f(x)$ tend vers $f(x_0)$. Alors $f$ est continue en $x_0$ c’est à dire

$$\forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0, |x-x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$$

ce qui équivaut à

$$\forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0, \delta \in ]|x-x_0|, +\infty[ \implies \epsilon \in ]|f(x) - f(x_0)|, +\infty[$$

Fixons $\epsilon > 0$, définissons alors $b \in I$ et $a$ tel que $a = |f(b) - f(x_0)|$ est le plus grand nombre qui vérifie $a < \epsilon$.

Nous savons alors que pour $\delta = |b-x_0|$,

$$|x-x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$$
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Je comprends pas le sens de

$$\forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0, \delta \in ]|x-x_0|, +\infty[ \implies \epsilon \in ]|f(x) - f(x_0)|, +\infty[$$
Holosmos

J’avais écrit ça pour voir le problème d’un angle différent, comme je l’ai indiqué c’est la définition de continuité avec les inégalités écritent différemment. En fait quand je me suis dis que j’avais peut-être un truc j’ai commencé à rédiger parce que sinon j’allais plus m’y retrouver dans mon brouillon et j’ai laissé ça à la relecture alors que c’est inutile.

Excuse-moi de cette négligence.

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