Propriété locale de continuité.

~~Mon titre est pourri -_-~~ Merci Holosmos :)

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Je comprends pas le sens de

$$\forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0, \delta \in ]|x-x_0|, +\infty[ \implies \epsilon \in ]|f(x) - f(x_0)|, +\infty[$$
Holosmos

J’avais écrit ça pour voir le problème d’un angle différent, comme je l’ai indiqué c’est la définition de continuité avec les inégalités écritent différemment. En fait quand je me suis dis que j’avais peut-être un truc j’ai commencé à rédiger parce que sinon j’allais plus m’y retrouver dans mon brouillon et j’ai laissé ça à la relecture alors que c’est inutile.

Excuse-moi de cette négligence.

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Bon je vais donner une solution, parce que c’est un peu pénible de te voir pagayer dans le sable. Libre à toi de la consulter ou non, je la mets dans un spoilers, mais je ne vais pas plus commenter le topic si ça n’avance pas.

L’hypothèse initiale est la suivante : il existe $l\in\mathbf R$ tel que

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta >0, \; |x-x_0|<\delta \implies |f(x)-l|<\epsilon.$$

Montrons tout d’abord que $f(x_0)=l$. Si tel n’était pas le cas, alors avec $\epsilon = |f(x)-l|/2$ qui est strictement positif, on a pour $|x-x_0|<\delta$ (où $\delta$ est donné par hypothèse) $|f(x)-l|< |f(x_0)-l|/2$ ce qui est bien sûr faux puisque $x=x_0$ invalide cette inégalité.

Donc $f(x_0)=l$ et $f$ est donc continue en $x_0$. De sorte que l’hypothèse se reformule par :

$$ \forall \epsilon>0, \exists \delta>0, \; |x-x_0|<\delta \implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon. $$

Aussi, il est clair que

$$ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \iff f(x) \in ]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon[ $$
$$ |x-x_0|<\delta \iff x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[ $$

Finalement, fixons $\epsilon>0$ (par exemple $\epsilon=1$), il existe donc $\delta>0$ tel que

$$ x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[ \implies f(x) \in ]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon[ $$

et donc $f$ est bornée sur $]x_0-\delta,x_0+\delta[$.

edit : du coup en faisant la preuve, on voit qu’on s’en fout un peu de la continuité, même si elle tombe sous le sens

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Merci à vous, le sujet est donc résolu. :)

Juste, Holosmos quand tu disais

Il faut montrer qu’il existe δ, donc il faut en exhiber un

Je pensais qu’il fallait que je trouve une formule littérale qui permet de trouver un delta.

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@Ludobike, tu demandais : Je ne comprends pas vraiment le concept de continuité en un point, c’est quand il n’y a pas de "saut" au point même ?

Oui. C’est exactement ça.

elegance

Soit dit en passant, le concept de « continuité en un point » est plus subtil qu’il n’y paraît. À première vue, on pourrait penser que si une fonction $f$ est continue en un point $x$ de son domaine de définition, alors elle est continue sur un voisinage de $x$. Ceci est faux ; c’est un bon exercice de chercher un exemple de fonction qui est continue en un et un seul point (mais ça nécessite quelques connaissances sur la topologie de $\mathbb R$, je pense que tu les as, vu que tu fais de la continuité :) ).

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