J’espère que certains d’entre vous pourrons m’éclairer sur un point. En électrostatique on a souvent recours au Théorème de Gauss, lorsque le cas présenter est de haute symétrie :
J’aimerais savoir comment pouvons nous prévoir que $d\vec{S}$ sera parallèles ou non à $\vec{E}$. Dans le cas que j’ai sous les yeux, on a une surface (sphérique) de Gauss interne à une sphère uniformément chargée en volume ($\varrho$).
Est-ce que les $d\vec{S}$ et $\vec{E}$ sont parallèles car :
on est sur une surface de Gauss ?
c’est toujours parallèles, peut importe la situation ?
on est dans le cas d’une sphère volumiquement chargée ?
Bref, comme vous l’aurez compris je ne sais pas du tout d’où ça vient…
S’ajoute à cela une autre question : Est-ce parce que $d\vec{S}$ et $\vec{E}$ sont parallèles que :
$$
\iint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \iint EdS
$$
Merci pour le temps de lecture accordé à mon poste, j’espère que vous saurez m’éclairer !
Le théorème de Gausse s’applique bien dans des situations avec une forte dose de symétrie. Via ces symétries, on connaît la direction du champs. On peut alors choisir une surface de gausse adéquate (ie qui va faciliter les calculs) de sorte que le champs et $\vec{dS}$ soient colinéaires.
Je serai pas aussi catégorique. Une surface de gauss c’est juste une surface fermée qui entoure ta charge. Rien ne t’empêche de prendre une forme biscornue et là il faudra calculer $\vec{dS}$ et sa projection sur $\vec{E}$.
Le but du théorème de Gauss, c’est de se simplifier la vie en prenant une surface adéquate .
Il faut prendre une surface adaptée à la symétrie de ton problème. Si tu prends un cylindre pour une symétrie sphérique, c’est pas génial car tu vas avoir des projections chiantes à faire (champ radial, mais l’élément de surface qui ne l’est pas). Ca reste pourtant une surface valide vu qu’elle est fermée.
Donc dans la majorité des cas, ca sera colinéaire vu qu’on choisi une surface de sorte à avoir la moins de calculs possible, et c’est le cas quand c’est colinéaire ou au contraire perpendiculaire (produit scalaire nul)
$E$ : champ électrique, auquel on associe un vecteur
$q$ : charge électrique émettant $E$
$\epsilon_0$ :; permittivité du vide
$r$ : rayon ou distance à laquelle on mesure le champ $E$
$q$ est generalement au centre du problème, et il émet des champs électrique qui possède une symétrie relié à celle de la charge $q$. Genre si on a une sphère, les $\vec{E}$ seront radiales et centrifuges, ce genre de chose. Holosmos, honnetement j’y connais pas grand chose c’est pour ça que je peux pas me permettre de te donner de vrai definition : je ne les connais pas
Merci Davidbrcz, j’ai mieux pigé en quoi ça impactais nos calcul, thanks
Si tu pars de là, c’est évident que sur une sphère $E$ et $dS$ seront parallèles. Si tu veux plus de généralités … il faut commencer par avoir des définitions plus générales.
Bien sûr que ta seconde expression dans ton premier message est valable si ces deux vecteurs sont parallèles vu qu’il s’agit d’un produit scalaire. C’est clairement pas toujours le cas mais en physique on essaye de prendre des objets à haute symétrie pour avoir ces deux vecteurs parallèles.
Je sais pas si cette figure ci-dessous peut aider:
Loi de Gauss
(Je considère les notations triviales ici)
Pour résumer, c’est donc très souvent le cas, par exemple pour des sphères, des cylindres, …
Je vais l’expliquer comme je l’avais vu en cours (peut-être que les notations sont pas mathématiquement rigoureuses mais on est en physique).
Considérons un système de charges électriques en équilibre $q_i$ qui produit un champ électrique $E$. Par définition, le champ électrique est le rapport de la force et de la charge de mesure $q$.
$\vec E = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\int_V {\frac{{\rho (r)}}{{{r^2}}}} \hat rdV$ , avec $\rho (r)$ la densité de charges au point ${\vec r}$ et on intègre sur tout le volume $V$ (qui est occupé par ces charges).
C’est joli comme intégrale mais on aime se simplifier la vie en physique d’où cette fameuse loi (ou théorème) de Gauss que tu as donné.
On commence par définir le flux, par exemple celui du champ électrique. On appelle flux infinitésimal $d\Phi $ du vecteur $v$ par la superficie $dS$ l’expression $d\Phi = v \bullet \hat ndS$ (avec $\hat n$ vecteur unitaire orthogonal à la surface $dS$ et $\bullet$ représente un produit scalaire ici). On a donc $d\Phi = vdS\cos \theta $ (où $\theta$ est l’angle entre les deux vecteurs).
Loi de Gauss
On passe ensuite au flux total: $\Phi = \int_S {d\Phi } = \int_S {v \bullet \hat ndS} $.
Chose importante, la surface $S$ doit être fermée. Puis Gauss viens avec ceci:
$\Phi = \int_S {\vec E \bullet \hat ndS} = \frac{Q}{{{\varepsilon _0}}}$ (ça vient des équations de Maxwell) où $Q$ est la charge électrique totale à l’intérieur de $S$.
Maintenant, pourquoi est-ce que parfois (sous-entendre souvent mais on aime aussi les cas où ils sont perpendiculaires…) les deux sont parallèles ? Il nous faut prendre un exemple pour l’expliquer:
Soit $Q$ et $q$ deux charges ponctuelles à une distance $r$ l’une de l’autre. Imagine la charge $Q$ sans la charge $q$, et étudie la symétrie de son champ électrique. Que peux-tu en dire ?
On voit assez facilement que la symétrie est sphérique. En effet, il n’y a pas de différences entre les directions qui proviennent de $Q$. Qui dit symétrie, dit théorème de Gauss. On choisit donc ici une superficie fermée sphérique centrée sur $Q$. Mais attention, la symétrie sphérique impose que $E$ ait la même valeur en chaque point de cette surface et qu’il soit toujours orienté dans la direction perpendiculaire à elle (et donc parallèle à $d\vec S$ ou $\hat n$ comme tu préfères!).
J’espère que c’est un peu plus clair.
Désolé pour les notations pas toujours parfaitement justes (intégrales curvilignes, …) mais j’ai pas énormément de temps là
Nota (edit): Il est intéressant de voir que cette loi est équivalente à la loi de Coulomb et qu’on peut d’ailleurs dériver le loir de Gauss à partir de la loi de Coulomb.
$\mathrm d\vec S=\hat n\mathrm dS$ (et $\hat n$ est un vecteur unitaire normal à la surface). De manière générale, l’intégrale $\oint_S \vec u\cdot\mathrm d\vec S$ est donc le flux de $\vec u$ à travers la surface $S$.
Note que l’on ne cherche pas forcément à avoir $\vec E$ parallèle à $\hat n$, un autre cas intéressant est $\vec E$ perpendiculaire à $\hat n$. Si tu calcules le champ dû à un fil infini, tu vas pouvoir prendre un cylindre qui a le fil pour axe comme volume et appliquer Gauss dessus. Le produit $\vec E\cdot\mathrm d\vec S$ sera nul sur les bases du cylindre, et vaudra $E\mathrm dS$ sur la paroi circulaire.
On peut faire le même genre de chose pour calculer les champs de gravité de formes symétriques en intégrant $\nabla\cdot\vec g=-4\pi\mathcal G\rho$ sur un volume puis Green-Ostrogradsky/Gauss (suivant le nom que tu préfères ) pour passer d’une intégrale de volume à une intégrale de surface (ce qu’on a du te faire pour le champ électrique en utilisant une des équations de Maxwell $\nabla\cdot\vec E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$).
EDIT : je rajoute un truc qui n’a pas été dit alors que c’est très important, on choisit aussi le volume de sorte à ce que $E$ soit constant aux endroits de la surface où $\vec E\cdot\mathrm d\vec S$ n’est pas nul.
EDIT2 en réponse à ceci dans le message de ZDS_M :
Nota (edit): Il est intéressant de voir que cette loi est équivalente à la loi de Coulomb et qu’on peut d’ailleurs dériver le loir de Gauss à partir de la loi de Coulomb.
La loi de Coulomb étant l’application de la forme faible de la loi de Gauss, c’est plutôt l’inverse. On retrouve la loi de Coulomb à partir de Gauss.
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