limite de sin 1/x pour x qui tend vers 0

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour à tous,

je fais un exercice qui me demande si la fonction $x \to \sin x × \sin \frac{1}{x}$ est prolongeable par continuité sur $\mathbb R$. On trouve facilement que $f$ n’est pas définie en $x = 0$ et il faut donc trouver si la fonction admet une limite en 0 ou non pour répondre à la question. Le truc c’est que je ne voit pas du tout comment trouver vers quoi tend $\sin \frac{1}{x}$.

Merci d’avance pour votre aide et vos réponses :)

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Vers quoi tend $\sin x$ ?

Pour x qui tend vers 0, on a $\sin x$ qui tend vers 0.

Peux tu trouver un encadrement de $\sin\frac 1x$ valable pour tout $x$ non nul ?

adri1

Normalement les images des fonctions trigonométriques sont dans l’intervalle $[-1,1]$ donc pour tout x ≠ 0, $-1 ≤ \sin x ≤ 1$.

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je fais un exercice qui me demande si la fonction $x \to \sin x × \sin \frac{1}{x}$ est prolongeable par continuité sur $\mathbb R$. On trouve facilement que $f$ n’est pas définie en $x = 0$ et il faut donc trouver si la fonction admet une limite en 0 ou non pour répondre à la question. Le truc c’est que je ne voit pas du tout comment trouver vers quoi tend $\sin \frac{1}{x}$.

LudoBike

C’est un bon réflexe de regarder si $f$ et $g$ ont une limite quand on veut calculer celle de $f \times g$, mais ça ne marche pas à tous les coups (essaye de faire ça avec $x \times \frac{1}{x}$). En l’occurrence, est-ce que ça te paraît envisageale que $x \mapsto \sin \frac{1}{x}$ ait une limite en 0 (à quoi ressemble $\frac{1}{x}$ en 0, et $\sin$ dans ces eaux-là ?) ?

Vers quoi tend $\sin x$ ?

Pour x qui tend vers 0, on a $\sin x$ qui tend vers 0.

Peux tu trouver un encadrement de $\sin\frac 1x$ valable pour tout $x$ non nul ?

adri1

Normalement les images des fonctions trigonométriques sont dans l’intervalle $[-1,1]$ donc pour tout x ≠ 0, $-1 ≤ \sin x ≤ 1$.

LudoBike

Ok et maintenant que remarques tu ? Sachant que $1/x$ est non nul …

Ok et maintenant que remarques tu ? Sachant que $1/x$ est non nul …

Holosmos

Et bien du coup puisque $\sin x$ tend vers $0$ et que pour $x$ non nul, $\sin \frac{1}{x} \in [-1,1]$, on peut affirmer que pour $x$ qui tend vers $0$, $\sin x × \sin \frac{1}{x}$ tend vers $0$.

C’est un bon réflexe de regarder si $f$ et $g$ ont une limite quand on veut calculer celle de $f \times g$, mais ça ne marche pas à tous les coups (essaye de faire ça avec $x \times \frac{1}{x}$). En l’occurrence, est-ce que ça te paraît envisageale que $x \mapsto \sin \frac{1}{x}$ ait une limite en 0 (à quoi ressemble $\frac{1}{x}$ en 0, et $\sin$ dans ces eaux-là ?) ?

Lucas-84

Oui, c’est les formes indéterminées. Normalement j’essaye de vérifier si je ne suis pas sur une telle forme tout au long de mon raisonnement.

Par contre on ne peut effectivement pas trouver de limite en 0 à $x \mapsto \sin \frac{1}{x}$ puisque $\frac{1}{x}$ n’en admet pas.

Salut,

Essaye de partir là-dessus (Th. des gendarmes). $ - 1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1,\forall x \ne 0$, donc tu peux aussi écrire $ - \sin x \le \sin x\sin \frac{1}{x} \le \sin x$ pour $x \in \left] {0;\pi /2} \right[$.

A partir de là, tu peux conclure assez facilement.

ZDS_M

Oui on peut aussi utiliser ce théorème (j’y avais pas pensé). Par contre je ne comprends pas pourquoi tu te limite à $\left] {0;\pi /2} \right[$, enfin je pense que c’est pour ne pas multiplier l’inégalité par un nombre négatif mais si c’est le cas, pourquoi ne pas aller jusqu’à π ?

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Normalement les images des fonctions trigonométriques sont dans l’intervalle $[-1,1]$ donc pour tout x ≠ 0, $-1 ≤ \sin x ≤ 1$.

LudoBike

Pourquoi $\neq 0$ ?

Ok et maintenant que remarques tu ? Sachant que $1/x$ est non nul …

Holosmos

Et bien du coup puisque $\sin x$ tend vers $0$ et que pour $x$ non nul, $\sin \frac{1}{x} \in [-1,1]$, on peut affirmer que pour $x$ qui tend vers $0$, $\sin x × \sin \frac{1}{x}$ tend vers $0$.

Tu triches là non ? :p Elle est où la preuve/l’argument ?

C’est un bon réflexe de regarder si $f$ et $g$ ont une limite quand on veut calculer celle de $f \times g$, mais ça ne marche pas à tous les coups (essaye de faire ça avec $x \times \frac{1}{x}$). En l’occurrence, est-ce que ça te paraît envisageale que $x \mapsto \sin \frac{1}{x}$ ait une limite en 0 (à quoi ressemble $\frac{1}{x}$ en 0, et $\sin$ dans ces eaux-là ?) ?

Lucas-84

Oui, c’est les formes indéterminées. Normalement j’essaye de vérifier si je ne suis pas sur une telle forme tout au long de mon raisonnement.

Non, ce n’est pas une bonne méthode que de raisonner en termes de « formes indéterminées », tout simplement parce que ce n’est pas exhaustif. Comment tu prends en compte les fonctions qui n’ont pas de limite (exemple : $\sin$ en $+\infty$) ?

Par contre on ne peut effectivement pas trouver de limite en 0 à $x \mapsto \sin \frac{1}{x}$ puisque $\frac{1}{x}$ n’en admet pas.

Tu vas trop vite. Je suis sûr que tu as toi-même la sensation d’arnaquer en écrivant ça. ;)

Je sais pas trop si on est d’accord sur les termes de vocabulaire (qu’est-ce que ça veut dire "ne pas admettre de limite/on ne peut pas trouver de limite à", dans le cas où ça diverge vers $\pm \infty$), mais dans tous les cas ce n’est pas parce que $g$ n’a pas de limite que $f \circ g$ n’en a pas… Prend $f = 0$ par exemple.

Normalement les images des fonctions trigonométriques sont dans l’intervalle $[-1,1]$ donc pour tout x ≠ 0, $-1 ≤ \sin x ≤ 1$.

LudoBike

Pourquoi $\neq 0$ ?

Je me suis embrouillé entre le cas général et le $\sin 1/x$ :)

Ok et maintenant que remarques tu ? Sachant que $1/x$ est non nul …

Holosmos

Et bien du coup puisque $\sin x$ tend vers $0$ et que pour $x$ non nul, $\sin \frac{1}{x} \in [-1,1]$, on peut affirmer que pour $x$ qui tend vers $0$, $\sin x × \sin \frac{1}{x}$ tend vers $0$.

Tu triches là non ? :p Elle est où la preuve/l’argument ?

Ce n’est pas suffisant de dire qu’un produit est nul si l’un des 2 facteurs est nul ? (ou alors l’argument n’est pas valable pour les limites ?)

Non, ce n’est pas une bonne méthode que de raisonner en termes de « formes indéterminées », tout simplement parce que ce n’est pas exhaustif. Comment tu prends en compte les fonctions qui n’ont pas de limite (exemple : $\sin$ en $+\infty$) ?

Ok, j’en prendrais compte pour la suite.

Par contre on ne peut effectivement pas trouver de limite en 0 à $x \mapsto \sin \frac{1}{x}$ puisque $\frac{1}{x}$ n’en admet pas.

Tu vas trop vite. Je suis sûr que tu as toi-même la sensation d’arnaquer en écrivant ça. ;)

Je sais pas trop si on est d’accord sur les termes de vocabulaire (qu’est-ce que ça veut dire "ne pas admettre de limite/on ne peut pas trouver de limite à", dans le cas où ça diverge vers $\pm \infty$), mais dans tous les cas ce n’est pas parce que $g$ n’a pas de limite que $f \circ g$ n’en a pas… Prend $f = 0$ par exemple.

Lucas-84

« ne pas admettre de limite » correspond au cas où la limite à droite est différente de la limite à gauche. Je me trompe ?

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Tu triches là non ? :p Elle est où la preuve/l’argument ?

Ce n’est pas suffisant de dire qu’un produit est nul si l’un des 2 facteurs est nul ? (ou alors l’argument n’est pas valable pour les limites ?)

Si $f$ tend vers $l$ et $g$ tend vers $l'$$l$ et $l'$ sont deux réels, alors effectivement $fg$ tend vers $ll'$, donc dans ce cas ta règle du produit nul est évidemment vraie. Sauf qu’encore une fois une fonction n’a pas forcément de limite réelle. Il y a bien sûr le cas de la limite infinie, que tu traites avec tes « formes déterminées/indéterminées », mais il y a aussi celui où la fonction n’a pas de limite du tout.

Encore une fois $f(x)=x$ et $g(x)=\frac{1}{x}$ sont un contre-exemple pour le cas de la limite infinie. Mais même si tu prends par exemple : $f(n)=0$ sur tous les entiers naturels et $f(x)=x$ partout ailleurs, $g$ tend vers $0$ en $+\infty$ et pourtant $fg$ ne tend pas vers $0$ (sans pour autant qu’on soit stricto sensu dans le cas d’une forme indéterminée, puisque $f$ ne tend pas vers $+\infty$). Bon bien sûr c’est une fonction bricolée pas continue mais c’est pas compliqué de trouver des exemples plus naturels.

Ici tu as une information supplémentaire que tu n’as pas utilisée.

Par contre on ne peut effectivement pas trouver de limite en 0 à $x \mapsto \sin \frac{1}{x}$ puisque $\frac{1}{x}$ n’en admet pas.

Tu vas trop vite. Je suis sûr que tu as toi-même la sensation d’arnaquer en écrivant ça. ;)

Je sais pas trop si on est d’accord sur les termes de vocabulaire (qu’est-ce que ça veut dire "ne pas admettre de limite/on ne peut pas trouver de limite à", dans le cas où ça diverge vers $\pm \infty$), mais dans tous les cas ce n’est pas parce que $g$ n’a pas de limite que $f \circ g$ n’en a pas… Prend $f = 0$ par exemple.

Lucas-84

« ne pas admettre de limite » correspond au cas où la limite à droite est différente de la limite à gauche. Je me trompe ?

LudoBike

Sauf que la limite à gauche/à droite n’existe pas forcément, et du coup la définition devient un peu circulaire…

En fait il est clair qu’on peut définir la notion de limite réelle d’une fonction à valeurs réelles grâce à la définition usuelle, ainsi que la notion de limite infinie, mais la question est juste : quand on dit « n’admet pas de limite », est-ce qu’on veut dire « n’admet pas de limite réelle » ou bien « n’admet ni de limite réelle, ni infinie ». L’usage me fait pencher vers la deuxième solution, mais ce n’est que du vocabulaire, au fond.

Ce n’est pas suffisant de dire qu’un produit est nul si l’un des 2 facteurs est nul ? (ou alors l’argument n’est pas valable pour les limites ?)

En toute généralité c’est faux. Lucas a un peu cafouillé dans son message, mais l’essentiel est là : à moins que les limites soient finies, il ne faut pas faire comme ça.

C’est quand même triste de parler maths sans écrire de maths. Alors reprenons l’argumentaire propre, tel que je vais le proposer, pour en discuter ligne à ligne. Histoire qu’on ait une base commune.


Tout d’abord, il est vrai que pour tout $x\in \mathbf R$, $|\sin(x)| \leq 1$. Ansi,

$$ |\sin(x)\sin(1/x)| \leq |\sin(x)| $$

dès que $x$ est non nul (puisqu’alors $1/x$ est réel et on applique la remarque précédente).

Maintenant, disons que l’on sait déjà, que

$$ \lim_{x\to 0}\sin(x) = 0. $$

On va montrer en revenant à la définition de la continuité que $\lim \sin(x)\sin(1/x)=0$. Pour cela, je commence par poser une fonction qui sera définie en $0$ et je vais montrer qu’elle est continue.

Je pose donc :

$$ \forall x\neq 0, \; f(x) = \sin(x)\sin(1/x) \text{ et } f(0) = 0. $$

Si je montre que $f$ est continue en $0$, j’aurai bien montré que $\lim \sin(x)\sin(1/x) = 0$.

En reprenant la définition, je me donne $\epsilon>0$ et il s’agit de montrer que :

$$ \exists \delta>0, \forall x\in\mathbf R, \; \; 0<|x| \leq \delta \implies |\sin(x)\sin(1/x)| \leq \epsilon. $$

Normalement ici il faut faire attention. En effet, la définition dit qu’il faut prendre $|x|\leq \delta$, et donc $x$ peut-être potentiellement nul. Mais il est évident que si $x$ est nul, alors $f(x)-f(0) = 0-0=0$ et donc $|f(x)-f(0)|\leq\epsilon$. Donc ce cas étant traité, je peux supposer $x$ non nul, et récupérer la définition de $f(x)$.

Maintenant, d’après le fait que $\lim \sin(x) = 0$, il existe $\delta$ tel que

$$ \forall |x| \leq \delta, |\sin(x)|\leq \epsilon $$

et l’inégalité du début donne :

$$ \forall 0<|x|\leq \delta, \; |\sin(x)\sin(1/x) |\leq |\sin(x)| \leq \epsilon$$

ce qui conclut.


Voici donc les remarques qui me semblent importantes à ce stade :

  • Les hypothèses dont j’ai eu besoin ont été les suivantes : $\lim \sin(x)=0$. C’est tout.
  • Je n’ai eu besoin d’aucune propriété portant sur les limites, j’ai manipulé directement la définition d’une fonction continue.
  • Au passage, on voit le lien très étroit entre continuité et limite. Mais là où manipuler des limites épointés peut amener des difficultés, considérer les fonctions que l’on veut peut améliorer la situation.
  • Il n’y a rien de difficile et dans bien des cas revenir à la définition fait gagner en clarté et en exactitude.

Ok, merci j’appliquerais vos conseils pour la suite de l’exercice.

J’ai juste une dernière question. Y a-t-il quelque raison, Holosmos, à utiliser $\mathbf R$ plutôt que $\mathbb R$ ?

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