Bonjour à tous,
Je revois mon chapitre sur l’atome d’hydrogène et j’ai quelques points flous quant à la résolution de l’équation de Schrödinger associée.
Pour l’atome d’hydrogène on peut écrire selon ce qu’on connait $\left( { - \frac{{{\hbar ^2}}}{{2{m_e}}}\Delta - \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r}}} \right)\Psi (x,y,z) = E\Psi (x,y,z)$.
D’après ce que j’ai compris, au vu de la symétrie sphérique du problème, il est préférable transformer le tout en coordonnées sphériques. On obtient donc une nouvelle expression de $\Delta$, etc. Dès que c’est fait, on peut remarquer la présence de l’opérateur ${{\hat L}^2}$. Comme cette partie est indépendante de $\theta$ et $\varphi$, on peut écrire ${{\hat L}^2}Y_l^m(\theta ,\varphi ) = {\hbar ^2}l(l + 1)Y_l^m(\theta ,\varphi )$ avec $Y$ les harmoniques sphériques. Pas sûr de bien comprendre pourquoi on peut faire ça.
C’est donc via la résolution de l’équation dépendante de $\theta$ et $\varphi$ (pas la radiale) qu’on fait apparaître le nombre quantique azimuthal (ou du moment angulaire). Vu que dans l’équation de Schrödinger de départ (en coordonnées sphériques) on a une partie dépendante de $r$ et une des deux angles $\theta$ et $\varphi$, on peut faire une séparation de variables $\Psi (r,\theta ,\varphi ) = R(r)Y_l^m(\theta ,\varphi )$ . En substituant dans l’équation de départ la séparation de variable, ${{\hat L}^2}$ et en réarrangement un peu (diviser par $2\mu {r^2}$) on obtient l’équation radiale.
Comment résoudre cette équation radiale ?
Je cherche pas les détails algébriques mais la méthode uniquement. Je sais qu’on peut le faire via une série entière (Taylor ou autre) comme l’oscillateur harmonique mais exactement comment je ne saurais pas dire. Ca fait intervenir un polynôme de Legendre il me semble.
A partir de là, on devrait trouver la quantification de l’énergie et donc du nombre quantique principal.
Dernière petite question, comment on fait apparaître $m$ (nombre quantique magnétique) encore ? C’est la projection de $L$ sur l’axe $Oz$ mais, hum, j’ai un trou de mémoire de comment le trouver 
Merci d’avance !
