Géométrie des équations du second degré

Qu’ouï-je ? Qu’entends-je ? Que vois-je ? Que sens-je ?

Et oui ! Je me relance dans l’écriture. Et en plus c’est grand public !

Dans ma folie de géomètre, j’ai décidé d’exposer les équations du second degré comme l’expression algébrique de la géométrie d’intersection d’un cercle et d’une droite.

J’ai rédigé le gros du texte. Il me reste à faire quelques intro/conclu et les dessins. Mais j’aimerais déjà des retours sur le fond (l’orthographe pas la peine).

J’attends donc de vous :

• de me dire si c’est compréhensible ;
• si la progression est bonne ;
• s’il faudrait des choses en plus auxquelles j’ai pas pensé.

Merci !

Tiens, ça va dans le sens d’ouvrir des cours pour le secondaire sur ZDS ?

C’est une initiative personnelle, il n’y a pas de mouvement dans ce sens là à ma connaissance

J’ai lu en diagonal, et même en ayant oublié mes cours de lycée, ça me semble correct.

une vision géométrique qui pourrait vous aider à comprendr

J’étais très surpris de voir un tutoriel "géométrie" sans un seul dessin au début. Puis j’ai compris que tu avais annoté pour en ajouter à l’avenir. Je peux te conseiller d’en mettre le plus possible en tout cas.

J’ai lu en diagonal, et même en ayant oublié mes cours de lycée, ça me semble correct.

Encore heureux …

Sinon je viens de rajouter les dessins.

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

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Je trouve ça assez fluide et cool à lire

C’est vrai qu’avec des schémas c’est un peu mieux.

Une remarque peut-être:

Si Δ<0Δ<0 alors il n’y a pas de solution. Si Δ=0Δ=0 alors il y a exactement une solution. Si Δ>0Δ>0 alors il y a exactement deux solutions.

Est-ce qu’il ne faudrait pas ajouter "solution réelle" ?

Est-ce qu’il ne faudrait pas ajouter "solution réelle" ?

Vu le contexte, je pense pas que spécifier soit d’une vraie utilité. Et puis j’ai déjà dit que $x,y$ désignaient des quantités réelles quand j’ai introduit le repère orthonormé.

Je trouve ça étonnant qu’il n’y ait pas d’image dans la partie second degré. Puisque ça à un lien géométrique avec les solutions…

C’est normal que tu ne trouves pas ces illustrations. Le but de mon tuto est précisément de se défaire de cette approche pour donner un vrai sens géométrique à la forme canonique (qui est en fait le point central dans la résolution).

La géométrie comme on le fait depuis le XXe siècle, c’est de comprendre les zéros de polynômes comme des intersections d’objets géométriques (des variétés algébriques, pour mettre les mots justes).

Dire que les zéros d’un polynome du second degré est l’intersection de la droite des abscisses avec une parabole, c’est une tautologie qui n’a pas de sens géométrique profond, c’est purement algébrique.

D’ailleurs cette illustration pseudo-géométrique n’est pas immédiatement généralisable à des dimensions plus grandes et des corps différents, ce qui est le cas ici. Par exemple si on passe en dimension $3$, on voit que les ellipses sont les intersections d’un ellipsoïde avec un plan.

Salut,

Je viens de le lire en entier et je trouve que c’est facile à suivre.

Par contre je trouve dommage que le second chapitre n’ait plus que très peu de rapport avec le cercle décrit au chapitre précédent. Il lui est encore fait référence, mais c’est furtif.

Par contre je trouve dommage que le second chapitre n’ait plus que très peu de rapport avec le cercle décrit au chapitre précédent. Il lui est encore fait référence, mais c’est furtif.

J’ai rajouté un passage dans ce sens.

Sinon j’ai terminé la rédaction. Je prends donc toutes les remarques (fond+forme).

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Au début, tu donnes un problème (intersection droite + cercle) puis ensuite tu te dis qu’on peut se ramener au cas simple sans perte de généralité. Mais après, avoir résolu le cas simple, tu n’indiques pas comment résoudre le cas général même si j’ai l’impression que ce n’est pas celui qui t’intéresse…

Pourquoi ne pas dire qu’on va seulement étudier le cas simple si tu ne reviens pas sur le cas le plus général ?

J’indique qu’il faut faire une rotation des axes pour se ramener au cas simple. N’est-ce pas suffisant ?

Si on veut des expressions explicites avec ce point de vue, je vois pas d’autre moyen que de passer par des nombres complexes, ce qui est un peu au-delà du tuto.

Bien sûr, on pourrait résoudre brutalement le cas gênéral en restant avec des nombres réels, mais je trouve pas ça très élégant ou intéressant.

Peut être qu’en calculant le point P qui a pour polaire au cercle $C$ la droite, tu peux facilement expliquer comment trouver les solutions dans un cadre global ? ça me semble pas demander des nombres complexes.

EDIT: Enfin je sais pas. Je pense que ça peut - être intéressant de se dire que se donnant un point P , tu dois trouver les points d’intersection des deux tangentes avec le cercle ayant pour point de rencontre P. J’ai l’impression que ça sort du cadre de ton tuto, mais en même temps ça fait faire de la géométrie souvent non abordée au lycée, et en plus on retrouve avec cette polaire ton problème de droite coupant le cercle..

Je me suis mal exprimé. Ce que je voulais dire c’est que lorsque tu commences ton tutoriel, on a l’impression que tu vas résoudre le cas général. Donc arrivé à la fin, le lecteur peut rester sur sa faim en se demandant comment faire pour le cas général.

À mon goût, il manque une petite remarque pour dire que faire une rotation des axes est un autre problème qui ne sera pas résolu ici.

À mon goût, il manque une petite remarque pour dire que faire une rotation des axes est un autre problème qui ne sera pas résolu ici.

Je vais voir ça

J’ai l’impression que ça sort du cadre de ton tuto, mais en même temps ça fait faire de la géométrie souvent non abordée au lycée, et en plus on retrouve avec cette polaire ton problème de droite coupant le cercle..

Il faut bien garder à l’esprit que le but du tuto n’est pas de faire de la géométrie du cercle pour elle-même, mais pour amener différemment les équations du second degré.

Après il y a tout un tas de compléments et d’ouvertures possibles (et tant mieux), mais je ne crois pas que ce soit raisonnable de faire un énorme tutoriel si le but initial est si petit.

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