Intégrale - Vecteur

Bonjour,

Dans mon cours de physique j’ai ça: $\sum\limits_i {\overrightarrow {{F_R}} } = \sum\limits_i {\int\limits_{{A_i}} {\rho v(\langle \overrightarrow v ;\hat n\rangle )} } d{A_i}$

C’est pas important de savoir ce que c’est pour ma question. Je voulais savoir si c’était formel de l’écrire tel quel… Car on a un vecteur à gauche de l’équation et un scalaire (intégrale) à droite. C’est simplement une question de formalisme

On pourrait peut-être le voir comme: l’intégrale donne un vecteur mais ce n’est pas un vecteur?

Merci d’avance!

Salut,

Il y a des chances que le $\mathrm{d}A_i$ soit en fait $\mathrm{d}\vec{A_i}$. Que désigne tes lettres ?

C’est simplement une conservation de masse sur un système. Mais mon problème este plus "fondamental", est-ce que l’intégrale est un vecteur ici ? L’intégrant est très surement un vecteur comme tu le disais (dA avec la flèche - désolé e suis sur téléphone).

Je comprends bien qu’en physique, ça va très bien. En fait je voulais plutôt savoir si d’un côté purement mathématique c’est valable Mais tant pis! Merci !

Cher matheux, ceci est un sujet de physique. Donc pas taper, s’il vous plait.

Les vrais matheux comprennent le sens de ta phrase et sont même d’accords avec celle-ci :P. (Théorie de l’intégration, toussa toussa.)

En revanche je suis assez sceptique sur vos réponses. Ce n’est pas parce que la mesure s’apparente à un vecteur que le résultat est un vecteur.

Par exemple si j’intègre $1$ sur un domaine, j’obtiens son aire (bien que le $dx$ soit un vecteur).

En fait, le vrai argument, c’est de regarder ce qui est intégré puis sommé. Je comprends pas les notations, donc il faudrait m’expliquer qui indique quoi pour aller plus loin.

edit, je complète un peu ma réponse mathématique

Si on a une fonction (suffisamment régulière) $f:\mathbf R^n\to \mathbf R^m$, alors selon ce qu’on intègre, on obtient des résultats différents.

Par exemple :

est un vecteur de $\mathbf R^m$ (et pas de $\mathbf R^n$ !!!), en effet on a intégré sur $\mathbf R^n$ tout entier.

Si maintenant on intègre par exemple uniquement selon une coordonnée, alors :

est une fonction de $\mathbf R^{n-1}\to \mathbf R^m$.

De façon générale, si on fixe les paramètres selon lesquels on intègre pas, alors on obtient un vecteur de $\mathbf R^m$, et donc ça ne dépend pas de la mesure contre laquelle on intègre $f$ (qui était un vecteur dans le premier cas et un scalaire dans le second).

En physique, la notation est différente. On parle d’intégration sur une surface ou un volume, mais on les note avec des intégrales doubles et triples (sauf quand on est habitué, auquel cas on zappe, mais jusqu’en master, c’est noté explicitement $\iint_S f(x,y) \mathrm{d}S$).

Ensuite, il faut différencier la dimension et la dimensionalité (je ne suis plus sûr des terme). L’idée est qu’une surface, ça peut être un scalaire en « longueur carré », un vecteur en « longueur carré » (si orienté), de même pour tout plein de grandeur.

Ce que tu présentes serait surement noté

et

en début de cycle universitaire. Comme je ne crois pas que sotibio soit en master, je penche pour l’habituelle différence de notation entre matheux et physicien.

Comme je ne crois pas que sotibio soit en master, je penche pour l’habituelle différence de notation entre matheux et physicien.

Il n’empêche que, quelque soit la façon dont on note l’intégrale, je ne comprends pas en quoi intégrer le long d’un vecteur implique que le résultat soit un vecteur, et de même dimension.

Il est possible que je comprenne pas votre notation et alors j’aimerais bien comprendre.

Il n’empêche que, quelque soit la façon dont on note l’intégrale, je ne comprends pas en quoi intégrer le long d’un vecteur implique que le résultat soit un vecteur, et de même dimension.

Si je le présente, avec $\vec{e_x}$ vecteur unitaire, comme

, est-ce que ça te parle mieux ? La nature (vecteur, scalaire, tenseur d’ordre 2, …) est conservée, la dimension (1d, 2d, …), elle, varie suite à l’intégration.

WTF !

Alors, ok, si c’est ça que ça veut dire, mais wtf physicists? C’est quoi l’intérêt d’introduire cette notation ?

Si c’est $f(x) e_x$ que vous voulez intégrer, pourquoi faire passer la "vectorisation" sur le $dx$ ?

Peut être pour montrer que l’on intègre selon la direction du deplacement ?

+1 pour Vael. (En passant, l’affichage des formules s’est mal passé, il doit y avoir un $ en trop.)

C’est pas important de savoir ce que c’est pour ma question.

Ah, mais si, mais si ! Maintenant, moi aussi je me demande ce que peuvent bien représenter $\vec{F}_R$, $\rho$, $v$ et $A_i$. J’aurais eu envie de dire une force, une masse volumique, une vitesse et une aire, mais ça ne colle pas avec les dimensions. Et la conservation de la masse est plutôt reliée dans mon esprit à cette équation de continuité. Si tu voulais bien nous éclairer à ce sujet, tu aurais toute ma reconnaissance.