Preuve inégalité de Cauchy Schwarz

Utilisation du discriminant dans une démonstration

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour à tous, j’ai découvert en cours la démo de l’inégalité de Cauchy Schwarz qui utilise le discriminant :
On veut prouver que dans un espace normé E sur R muni d’un produit scalaire, on a :

$$ \forall x, y \in E, | \langle x,y \rangle | \leq \| x \| \| y \|$$ Pour ça on voit que $$ 0 \leq \langle x+ty,x+ty \rangle = \|x\|^2 + 2t \langle x,y \rangle + t^2 \|y\|^2$$ en utilisant la définition. Or c'est un trinôme du second degré en t donc comme il n'est jamais négatif, le discriminant est négatif ou nul : $$ 0 \leq \Delta = 4(\langle x,y \rangle ^2 - \|x\|^2 \|y\|^2)$$

donc on retrouve bien l’inégalité souhaitée.
Je trouve cette démo vraiment jolie, avec le coup du discriminant qui sort de nul part. Du coup je me demandais, est-ce que vous connaissez des démos qui utilisent la même astuce ?
Merci :)

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Je trouve cette démo vraiment jolie, avec le coup du discriminant qui sort de nul part.

En fait ça ne sort pas de nul nulle part. Le fait que tu aies une forme quadratique définie, ça te devrait déjà te donner l’idée qu’il y a derrière un polynôme dont le discriminant est négatif.

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