Espace de Hilbert

Bonjour,

J’ai entendu parler qu’en mécanique quantique l’espace de Hilbert est très important et central. J’y connais rien du tout que ça soit en mécanique quantique ou en mathématiques des espaces vectoriels mais je suis curieux. En lisant la page Wikipedia, de ce que j’ai compris c’est que ça doit être un espace de dimension infini qui respecte pleins de règles (produit scalaire, etc.).

Dans les exemples ils disent que R³ est un espace de Hilbert du coup je suppose qu’en physique on aime dire espace de Hilbert pour en fait parler de R³ (vu qu’on travaille en 3 dimensions avec des volumes) ? Si vous pouviez simplement me dire les choses importantes et ce que ça implique ça m’intéresserait

Merci à vous

Le point clé dans un espace de Hilbert, c’est que la norme (c’est à dire, la manière dont on mesure les longueurs des vecteurs) résulte d’un produit scalaire qui le rend complet, comme la norme euclidienne usuelle de $\mathbb R^n$. Ça a plein de conséquences géométriques, comme le disait Holosmos, telles que l’identité du parallélogramme, qui est un élément central de la théorie — si, si, je vous jure ! —.

Une autre manière de le voir, plus concrète peut-être, c’est de dire que c’est la première généralisation « raisonnable » des espaces euclidiens de dimension finie. Si l’on garde toute la structure euclidienne sauf la dimension finie, on obtient un Hilbert (de dimension infinie), et qui a essentiellement les mêmes propriétés géométriques.

L’espace de Hilbert que l’on rencontre le plus souvent est celui des fonctions de carré intégrable, i.e. l’espace L²(X) où X est un espace mesuré.