Intégration et géométrie

Plop,

Continuant sur ma lancée d’écriture pour cet été, je me suis dit que je devrais écrire sur l’intégration, en visant un public jeune (disons en terminale). L’idée serait une fois de plus de donner une approche géométrique.

Tout comme je l’ai fait pour les équations du second degré, j’aimerais un vrai problème géométrique pour amener l’intégration. J’ai quelques pistes, mais rien de bien convaincant, alors je fais ce topic pour recueillir des idées ou des avis …

• L’intégration comme forme linéaire. Après tout, la géométrie d’aujourd’hui consiste à étudier des fonctions sur des espaces plutôt que les espaces eux-mêmes. Alors pourquoi ne pas passer par là ? Cela permettrait peut-être en plus de parler distributions.
• L’intégration comme résolution d’une équation différentielle. La géométrie est moins évidente. Mais aux yeux d’un dynamicien, intégrer un champ de vecteurs ça correspond à un problème géométrique. Peut-être la porte pour parler du théorème de Frobenius, mais ça me paraît trop difficile.
• L’intégration comme produit scalaire. Ça rejoint un peu le premier point de vue, c’est peut-être une entrée pour parler de géométrie en analyse fonctionnelle.
• L’intégration comme dualité topologique. Beaucoup trop délicat à mon avis. Mais après tout, Stokes c’est quelque chose de central en physique …

Mon cœur crie la 2 mais tout ça me semble un peu compliqué pour le public visé.

C’est naïf, mais pourquoi pas l’approche classique par la théorie de la mesure, avec par exemple la recherche de la réponse à la question « Quelle est la longueur de l’ensemble des nombres rationnels ? ».

Ce n’est pas géométrique au sens de l’algèbre, mais c’est l’approche la plus naturelle, non ? Le truc, c’est que du coup ça n’a absolument aucune originalité et donc ça perd un peu de sa saveur — mais c’est à voir selon tes attentes en la matières. Un moyen rusé pour ajouter de la géométrie serait de présenter les changements de variables comme les transformation qui préservent les volumes ; chose que l’on ne voit à peu près jamais, et qui pourtant est assez élégante.

Sinon, j’opterais pour n’importe laquelle sauf les équas diffs, qui sot à mon avis trop compliquées pour le lecteur visé, i.e. n’ayant probablement rencontré aucune équation différentielle sauf les équations de mouvement en physique. J’ai quand même une préférence pour les formes linéaires, parce que l’analyse fonctionnelle c’est quand même super chouette.

La série de vidéos qu’à fait le vidéaste 3blue1brown, Essence of calculus ne donne pas quelques motivations géométriques ? Seulement des interprétations ?

C’est naïf, mais pourquoi pas l’approche classique par la théorie de la mesure, avec par exemple la recherche de la réponse à la question « Quelle est la longueur de l’ensemble des nombres rationnels ? ».

Parce que j’aime pas

J’avais quelques vidéos de la séries, il y a de jolies représentations mais je ne sais pas si on peut parler de géométrie.

Bien cibler le public, c’est effectivement essentiel. Tu parles de public jeune, en gros en terminale.

Mais plus précisément ?

• les élèves qui entrent en terminale S, et qui veulent prendre un peu d’avance ?

• les élèves de TS qui ont appris différentes choses sur les intégrales, mais qui ont besoin de complément d’information parce qu’ils n’ont pas compris ?

• les élèves des autres sections, qui n’abordent pas ces notions d’intégrales en cours, mais qui veulent se renseigner sur ce truc ?

Selon le public, le style, la démarche vont être très différents. Faire un tutoriel ou un article qui parlerait à ces 3 publics, c’est mort d’avance. Même viser 2 publics parmi ces 3 là, c’est mort.

Ceci-dit, de toutes façons, pour le néophyte, une intégrale, c’est associé à un calcul d’aire. Donc il faut rester dans ce thème. Parler de calcul de volume peut être tout à fait envisageable. Trouver une idée pour rester sur le thème calcul de surface, en parlant d’une fonction à valeurs négatives, ça peut être un plus.

Je préfère partir du sujet plutôt que du public. Si j’ai une idée qui me convient, je l’exploiterai. C’est pas du tout mon genre de m’auto-censurer.