Parce qu’en mathématique, ça veut juste dire un manque d’information ou une impossibilité de caractériser l’information, pas qu’il y a Dieu qui joue aux dés.
On a vraiment une définition de l’aléatoire en mathématiques ? J’en suis pas si sûr
Il suffit de reprendre la définition d’une variable aléatoire, d’une tribu et par extension ce qu’est une filtration pour un processus stochastique.
Une variable aléatoire n’a rien d’aléatoire, ce n’est qu’une fonction (inverse) mesurable d’un espace abstrait d’information $(\Omega, \mathcal{F},\mathcal{P})$ (espace probabilisé donc mesurée) vers un second espace mesuré (celui des valeurs que la VA peut prendre).
Dans le cadre d’un processus, il suffirait connaître le générateur de la trajectoire pour connaitre la trajectoire. Et d’ailleurs, inférer sur le processus (et ses propriétés) c’est avant tout étudier l’information laissée par les trajectoires pour inférer sur le générateur. La somme d’information accessible qui s’accumule durant la trajectoire est la filtration.
Tout tourne autour de quelle information est accessible, quelle information est distinguable et quelle information est mesurable.
Oui mais tout ça c’est du formalisme, on sait pas vraiment dire ce que c’est que l’aléatoire. C’est pas étonnant qu’il y ait le même problème en physique
Et d’ailleurs, inférer sur le processus (et ses propriétés) c’est avant tout étudier l’information laissée par les trajectoires pour inférer sur le générateur. La somme d’information accessible qui s’accumule durant la trajectoire est la filtration.
Justement, si j’ai bien compris les notions que tu viens d’introduire, la violation des inégalités de Bell montre que les trajectoires ne laissent pas d’information.
C’est un peu plus que du formalisme. Il y a énormément de propriétés qui découlent du traitement de l’information, et cela fait massivement intervenir de la combinatoire. Un très bon cour sur le sujet. C’est long mais c’est bon. Et en survolant on voit bien apparaître des structures élémentaires (des partitions, des multi-combinaisons) qui sont à la base des générateurs de processus qui paraissent ensuite aléatoire.
Je pense qu’en réalité en mathématique on ne considère même pas l’existence de l’aléatoire autrement que dans une dualité avec l’information et son traitement (d’autres parlent de complexité mais c’est la même chose). Il existe du hasard irréductible lorsque le processus n’est pas adaptée à la filtration par exemple. Mais en général le hasard c’est ne pas savoir quel $\omega \in \Omega$ a été tiré pour générer la valeur de ma VA $X$ comme $X^{-1}(\omega)$.
A ma connaissance personne ne s’est jamais intéressé de savoir comme le $\omega$ était choisi et cela n’a pas vraiment d’importance au sens où l’on ne ferait que déplacer le problème. Par exemple si $X$ est l’expérience d’un jeté de dé, le $\omega$ c’est un ensemble particulier de forces et caractéristiques physique du lancé de dé ainsi que du contexte au moment où l’on fait l’expérience et qui caractérise parfaitement l’issu du lancer. On pourrait chercher à expliciter telle ou telle caractéristique, mais il est très probable que pour chacune d’entre elle, on ne se sache pas plus d’où elle provienne, et donc, on sera forcé de la représenter comme une VA sur un autre ensemble. Et ainsi de suite.
Du coup, dans une approche kantienne, on limite la chaîne de causalité au strict minimum, et l’on regroupe toute l’information nécessaire pour déterminer l’issue d’une expérience dans un ensemble abstrait de toute l’information possible $\Omega$.
Justement, si j’ai bien compris les notions que tu viens d’introduire, la violation des inégalités de Bell montre que les trajectoires ne laissent pas d’information.
Dans ce formalisme, cela veut dire que le processus n’est pas adapté à la filtration. Ou qu’un truc quelque part dans cette histoire n’est pas mesurable.
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