Equation différentielle à coefficient pas constants

Bonjour,

Je regardais des équations différentielles plus compliquées que celles que j’ai fais et je suis tombé sur ça: $\frac{{{d^2}f(x)}}{{d{x^2}}} + {x^2}f(x) = 0$ avec $f$ une fonction continue et qui se comporte bien

Dans la solution ils disent qu’on essaye une fonction $f(x) = {e^{K{x^2}}}$ mais pourquoi ? Est-ce qu’on pas résoudre ça d’une manière plus rigoureuse que de tester une fonction ?

Merci!

Dans ton cas, il y a des chance que ton équation soit séparable et que tu puisse la résoudre par séparation des variables, et voir l’exponentielle apparaître d’elle même:

EDIT: non, rien, la méthode du polynôme ne peut pas fonctionner

C’est le côté qui peut paraître frustrant des équa-diff. Pour dériver, on applique des recettes toutes faites, et on obtient la dérivée. Pas de difficulté, il suffit de dérouler.

Pour les équations différentielles, il y a des cas simples pour lesquels on connaît la recette, mais sinon, dans le cas général, il faut tâtonner. Si on est inspiré, si on a beaucoup pratiqué, on va trouver des astuces, pour tâtonner un peu plus efficacement. Mais ça reste du tâtonnement.

Merci. Mais ici je peux pas faire la technique du polynôme ou je me trompe ? Car je pensais que comme la fonction dépendait de $x$ et le coefficient aussi ($x^2$) on ne pouvait pas. On aurait ${\lambda ^2} + {x^2} = 0$ mais ça donne rien…

Oh, bien vu, je ne suis pas réveillé. Bon, ben il te reste la méthode de variation des constantes

Au passage, c’est rigoureux de tester une fonction

D’accord, alors si c’est rigoureux, comment tu peux tomber comme ça sur la bonne fonction ?

C’est pas une question rigueur. C’est une question d’expérience.

Quand il s’agit de chercher des solutions explicites à une équa diff, il faut pas être étonné. C’est une horreur absolue, il n’y a pas de méthode générale. Certaines équations très simples n’ont même pas de solution explicite (on peut le démontrer).

Oh wow, ça ressemble furieusement à une partie de la résolution de l’équation différentielle à coefficients non-constants de l’oscillateur harmonique quantique

En tout cas, c’est la bonne méthode de tester cette fonction. Note que c’est pas n’importe quelle fonction, c’est une Gaussienne ! Après, tu peux étudier le comportement de ta fonction avec les conditions limites.

Edit: Expérience, je sais pas. C’est quand même très souvent la même chose qui tombe. Alors en général tu cherches exponentielle (complexe ou pas) ou Gausienne.

D’accord, alors si c’est rigoureux, comment tu peux tomber comme ça sur la bonne fonction ?

En tâtonnant. Rigoureux ne veut pas dire qu’il y a un chemin tout tracé pour résoudre le problème, mais que la méthode est correcte d’un point de vue logique. Heureusement d’ailleurs, sinon la recherche en science ne pourrait pas être rigoureuse vu qu’on sait pas où on va, par définition.