Lectures estivales niveau fin Terminale

Mathematics its content methods and meaning

Un gros pavé (1200 pages), écrit par des mathématiciens russes dans les années 50. Il aborde un peu tous les domaines des maths. Il ne peut pas rentrer dans les détails pour chaque sujet mais ça donne déjà une très bonne base.
Et surtout, comme dit son titre, il se concentre vraiment sur faire comprendre les méthodes et la signification des formules.

Pour moi, vu la quantité des sujets traités, ça peut t’accompagner pendant toute ton université, c’est un très bon complément aux cours plus académiques que tu auras, et vu la pédagogie, je pense que beaucoup de choses sont compréhensibles niveau terminale. (Par contre ya pas d’exos, pour pratiquer faudra un complément)

Le sommaire général (tu en as un plus détaillé dans un des commentaires sur Amazon)

CHAPTER I A GENERAL VIEW OF MATHEMATICS A. D. Aleksandrov
CHAPTER II ANALYSIS M. A. Lavrent’ev and S. M. Nikol’ski?
CHAPTER III ANALYTIC GEOMETRY B. N. Delone
CHAPTER IV ALGEBRA: THEORY OF ALGEBRAIC EQUATIONS B. N. Delone
CHAPTER V ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS I. G. Petrovski?
CHAPTER VI PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS S. L. Sobolev and O. A. Ladyzenskaja
CHAPTER VII CURVES AND SURFACES A. D. Aleksandrov
CHAPTER VIII THE CALCULUS OF VARIATIONS V. I. Krylov
CHAPTER IX FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE M. V. Keldyš
CHAPTER X PRIME NUMBERS K. K. Mardzanisvili and A. B. Postnikov
CHAPTER XI THE THEORY OF PROBABILITY A. N. Kolmogorov
CHAPTER XII APPROXIMATIONS OF FUNCTIONS S. M. Nikol? ski?
CHAPTER XIII APPROXIMATION METHODS AND COMPUTING TECHNIQUES V. I. Krylov
CHAPTER XIV ELECTRONIC COMPUTING MACHINES S. A. Lebedev and L. V. Kantorovi?
CHAPTER XV THEORY OF FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE S. B. Ste?kin
CHAPTER XVI LINEAR ALGEBRA D. K. Faddeev
CHAPTER XVII NON-EUCLIDEAN GEOMETRY A. D. Aleksandrov
CHAPTER XVIII TOPOLOGY P. S. Aleksandrov
CHAPTER XIX FUNCTIONAL ANALYSIS I. M. Gel? fand
CHAPTER XX GROUPS AND OTHER ALGEBRAIC SYSTEMS A. I. Mal? cev

Tu peux essayer Proofs from The Book, de Martin Aigner et Günter Ziegler, ou sa version française Raisonnements divins ; mais c’est peut-être un peu difficile à la sortie de la terminale. À mon avis, la proposition de Looping est vraiment trop difficile au niveau L1, mais il faut voir.

Autrement, un peu plus scolaire mais excellents, tu peux regarder la série L1-L2-L3 Mathématiques, aux éditions Pearson (en commençant par le premier tome, évidemment) ; ce sont des très bons livres, qui sont particulièrement exhaustifs, mais ils ont le défaut de contenir peu d’exercices. Seul problème : ils sont épuisés chez l’éditeur. Les fans de prépas te proposeront Gourdon, Algèbre et Analyse, mais personnellement je ne suis pas fan.

Sur Internet, il y a l’excellent blog Image des maths, sur lequel tu trouveras des maths à tous les niveaux et de très bon goût.

J’ai vu le bouquin d’analyse de Godement cité plus haut ; moi, pendant les vacances post-terminale, comme je trépignais d’impatience, j’avais lu (en partie !) celui d’algèbre. J’avais bien accroché au style un peu original (perso j’aurais pas aimé lire un livre de maths scolaires pendant les vacances…). Bon et y a le lot de digressions sur la guerre d’Algérie.

Certes c’est un peu bourbakiste, et c’est évidemment pas nécessaire de faire de la théorie des modules avant la L1, mais dans l’esprit, je pense qu’a posteriori ça m’a beaucoup aidé pour « franchir la marche ». En terme d’abstraction je dirais que c’est un peu mieux que l’analyse pour préparer au post-bac, mais ça reste un point de vue très personnel.

(Au passage, merci de m’avoir fait découvrir le gros pavé russe, je ne connaissais pas du tout ; si j’ai l’occasion j’y jetterai un coup d’œil. Ça a l’air d’être un travail intéressant pour les terminales très motivés.)

Pour avoir fini ma licence de mathématiques il y a 3 mois, j’espère que ça va te plaire (je l’ai fait à Paris 5 perso)

Je ne sais pas trop quel est ton objectif en lisant des livres de maths cet été donc je vais faire deux réponses.

Par curiosité / vulgarisation

Dans ce cas je te conseillerais de plutôt t’orienter sur des contenus un peu plus vulgarisés, notamment sous le format vidéo avec l’excellente, sinon parfaite, chaîne Science4All. Avec ce genre d’approche tu vas entendre parler de beaucoup de choses que tu ne connais pas du tout, mais aussi redécouvrir certaines choses que tu pensais peut être avoir compris (cf sa série sur la relativité par exemple). En faisant ainsi tu vas pouvoir parcourir wikipédia et sauter de page en page pour en découvrir toujours plus. Et pendant ta première année, tu comprendras au fur et à mesure des choses que tu as lu sur Wiki et pourra y retourner pour approfondir. Mais toujours en vulgarisation.

Pour commencer ton année avant l’heure

Je ne connais pas trop les cours de P7 de L1 et encore moins ceux de P5 puisque je suis entré en L2. Perso, ce qui m’a donné le plus de mal c’est l’algèbre (linéaire en l’occurence). Déjà parce qu’après un DUT Informatique, très appliqué, faire des choses théorique c’était pas évident. Mais surtout parce que tu vas faire des maths qui n’ont rien à voir avec ce que tu as pu faire. Je pense donc que si tu as vraiment envie de te creuser la tête pendant tes vacances, et je comprends étant en train de travailler un livre d’algo, tu devrais aussi te pencher sur des démonstrations. C’est probablement la chose la plus difficile que tu auras à faire et commencer plus tôt n’est pas une mauvaise idée. En plus tu pourrais prendre ça comme un jeu. Je ne suis pas en train de suggérer de partir sur les démonstrations de topo imbitable mais plutôt faire des petits trucs plus sympas comme les espace vectoriels et ses propriétés de bases, ou alors démontrer certaines choses vues en terminales ou même plus tôt dans la scolarité, qui ont pu te paraître évidente ou étonante.

Bien sûr les deux approches sont complémentaires même si je te suggèrerais surtout la première personnellement. En tout cas hésite pas pendant l’année à venir poser tes questions ici, ça changera des postes habituels soit trop dur, soit trop simple