Limite de n * sin(x/n) lorsque n tend vers l'infini

Ce serait bien aussi de ne pas confondre analyse locale et asymptotique. Ici c’est de l’analyse locale, il ne s’agit pas de comparer la croissance de fonctions mais leurs comportements en 0

Hum, il me semble en effet que le o signifie "négligeable devant…".

Ce que je ne comprends pas c’est quand tu écris : "$\frac xn\mapsto x$ constant"…

Y’a aussi deux choses que je ne comprend pas dans la preuve de x4rkz :

$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \alpha > 0 \quad \forall y \in E \qquad |x-b| < \alpha \implies |g(x)-c| \leq \epsilon$

Pourquoi introduire $y$ et ne pas l’utiliser dans la définition?

Plus généralement, je ne comprend pas en quoi cette preuve permet de soulever l’hypothèse de continuité.

@Ozmox, Pour ma preuve, c’est une typo, j’ai remplacé le y par x.

Alors ce que Holosmos voulait dire c’est que $o(x) = o(1)$. En effet, $x$ ne dépend pas de $n$, il est fixé, et si tu sais qu’on peut multiplier à l’intérieur d’un petit o sans rien changer tu as bien $o(x) = o(2) = o(1)$.

Pour t’en convaincre, une définition simplifié est la suivante : $f(n) = o(g(n))$ si $\frac{f(n)}{g(n)}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Ainsi si $f(n) = o(x)$, $\frac{f(n)}{x}$ tend vers $0$. Et comme $x$ est constant, $\frac{f(n)}{1}$ tend vers 0 aussi$.

Il voulait peut être dire que $n \mapsto x$ est une fonction constante car ne dépend pas de $n$.

@Ozmox j’ai juste appliqué la définition que j’ai cité ci-dessus, la preuve marche bien car j’utilise bien les définitions comme il faut.

Dans ton poste tu parlais de limite épointée, ce qui est une définiton non equivalent, elle est en fait plus faible dans le sens où Si $f$ tend vers $b$ avec ma défintion, alors c’est aussi le cas pour la définition épointée. Ma définition est plus forte, et inclu en quelques sortes la continuité car $f$ tend vers $b$ en $a$ implique que [$f$ n’est pas définie en a OU $f$ est continue en $a$].

Assez étonnant de lire ça de la part d’un matheux. C’est pourtant la même chose (d’autant plus dans les fameuses « données topologiques plus générales des études d’après »).

Nope ce n’est pas la même chose. En tout cas le travail pour passer de l’un à l’autre n’est pas nul.

Exemple ? La fonction $\ln$ n’a pas d’équivalent polynomial à l’infini alors que localement c’est toujours le cas

Je vais rédiger plus tard les détails qu’ozmox cherche. Mais ce topic est intéressant parce que beaucoup de choses fausses (ou du moins approximatives) en ressortent. Par exemple :

Il voulait peut être dire que n↦x est une fonction constante car ne dépend pas de n.

Certainement pas, puisque mon analyse locale se fait en $x/n=0$. Donc ça ne peut pas être une fonction de type $n\mapsto ...$ puisque $n$ n’est pas évalué près de $0$ mais en l’infini.

Par ailleurs, le fait que ce détail soit difficile à comprendre quand on est pas bien expérimenté, c’est parce qu’il faut voir que la convergence de $n\sin(x/n)$ n’est pas uniforme : si $x$ peut varier en même temps que $n$ il n’y a certainement plus convergence. Pour que ça marche il faut que $x$ soit fixé et donc dans le formalisme il faut quelque chose qui apparaisse dans ce sens.

(Au passage, je vous rappelle que j’ai fait un tutoriel plutôt complet sur les DL si vous cherchez des sources.)

Bah pas en $0$ non plus, pour autant tu ne sembles pas différencier l’analyse locale en $0$ de celle en $4$. Si ce que tu veux dire c’est que faire des DL au bord du domaine ouvert c’est pas pareil que d’en faire un dans l’intérieur, alors éventuellement ok, parce que typiquement dans le deuxième cas on peut avoir Taylor (mais c’est pas standard d’appeler le premier cas « analyse asymptotique »). En tout cas je suppose que c’est pas à toi que je vais apprendre que $\infty$ est un point « comme un autre » au sens de la topologie générale.

C’est effectivement ce que ça signifie. Une étude locale signifie qu’elle se fait dans un voisinage d’un point. Si ce point n’appartient pas au domaine, on a forciori pas de voisinage (qui par définition contient le point dont il est voisinage). Au mieux on a un voisinage épointé, mais ça ne donne pas la même quantité de comportements.

En tout cas je suppose que c’est pas à toi que je vais apprendre que ∞ est un point « comme un autre » au sens de la topologie générale.

Si tu sais me définir ce qu’est un point, on sera peut-être d’accords. Sinon je trouve ta phrase au mieux approximative, au pire fausse.

Mais en fait tu vois le problème du mauvais bout. La question n’est pas de savoir quels sont les points aux voisinages desquelles on fait de l’analyse, mais plutôt quelles sont les classes de fonctions étudiées. En l’infini (en analyse réelle) il n’y a par exemple pas de bonne notion de dérivée à l’infini (par exemple le log aurait une dérivée nulle mais sans être équivalente à une constante). Pourtant quand on fait un DL à l’ordre 1, c’est précisément la dérivée qui intervient.

Ainsi, je et conclurai là-dessus pour ce faux débat, l’ontologie des outils utilisés diffèrent fondamentalement. On ne parle, ni des mêmes classes de fonctions étudiées, ni des mêmes fonctions références auxquelles on compare les fonctions étudiées, ni des mêmes qualités à avoir pour faire des comparaisons.