J’ai une question par rapport à un problème avec résolution d’équation, ayant eu faux j’ai regardé la correction mais il y a une partie que je ne comprends pas.
énoncé :
Le capitaine a 54 ans de moins que son bateau.
Il y a 25 ans il avait la moitié de l’âge du bateau.
Quel est l’âge du capitaine ?
Réponse :
On pose x = "l’âge du capitaine".
Puis on cherche une équation qui correspond au problème.
Le tout est de bien traduire l’énoncé.
Il y a 25 ans, le capitaine avait x-25 ans et son bateau avait 54 ans de plus soit x-25+54 = x+29 ans.
Il avait la moitié de l’âge de son bateau, donc son bateau avait le double son âge, soit 2×(x-25) qui vaut 2x-50 ans.
Donc 2x-50 = x+29 donc 2x-x = 29+50 donc x=79.
Le capitaine a 79 ans.
Pourquoi dans la 1ère expression 2x-50 on ne met pas +54 comme dans la deuxième expression ?
x+29 représente l’âge du bateau , x = âge du capitaine, on retire 25 pour les 25 ans et on ajoute 54 car le bateau a 54 ans de plus que la capitaine ?
2x-50 réprésente aussi l’âge du bateau (x-25 on retire 25 à l’âge du capitaine x et on multiplie par 2 car l’âge du capitaine était la moitié de l’âge du bateau ?)
Je trouve cette correction pas très claire, alors je vais te proposer de résoudre ce problème avec un système de deux équations à deux inconnues (c’est à dire, si tu ne connais pas les systèmes, deux équations comportant chaqu’une deux inconnue).
Premièrement définissons nos inconnues, je te propose $x$ pour l’âge du capitaine et $y$ pour l’âge du bateau.
Maintenant il nous faut trouver deux équations qui mettent en relation nos inconnues à partir de l’énoncé. Je les met dans une balise caché si tu veux chercher, c’est assez facile.
On nous dit que « Le capitaine a 54 ans de moins que son bateau » ce que l’on traduit par $y = x + 54$
Ensuite on nous dit que « Il y a 25 ans il avait la moitié de l’âge du bateau. » ce que l’on traduit par $2(x-25) = y - 25$
L’ensemble du système se note comme suit après une accolade
$$\begin{cases}
y = x+54 \\
2(x-25) = y - 25
\end{cases}$$
Pour la résolution ça saute quasiment aux yeux. En effet, à partir de la première équation de notre système on a une expression de $y$ en fonction de $x$ et donc si on remplace toutes les occurences de $y$ dans la deuxième équation par cette expression on obtient cette équation à une inconnue :
$$2(x - 25) = (x + 54) - 25$$
et on trouve facilement $x = 79$. Tu peux continuer plus loin et finir de résoudre le système en trouvant l’âge du bateau si tu le souhaite.
x+29 représente l’âge du bateau , x = âge du capitaine, on retire 25 pour les 25 ans et on ajoute 54 car le bateau a 54 ans de plus que la capitaine ?
2x-50 réprésente aussi l’âge du bateau (x-25 on retire 25 à l’âge du capitaine x et on multiplie par 2 car l’âge du capitaine était la moitié de l’âge du bateau ?)
Quand tu dis que x+29 représente l’âge du bateau, si je lis un peu vite, je comprends que c’est l’âge du bateau aujourd’hui. Mais comme je connais la réponse, je corrige, ce n’est pas l’âge actuel, mais l’âge d’il y a 25 ans. Normalement, quand tu résous un problème, le lecteur n’a pas à lire entre les lignes. En plus, en écrivant explicitement les choses, ça t’aidera à ne pas te tromper.
x+29 représente l’âge du bateau , x = âge du capitaine, on retire 25 pour les 25 ans et on ajoute 54 car le bateau a 54 ans de plus que la capitaine ?
2x-50 réprésente aussi l’âge du bateau (x-25 on retire 25 à l’âge du capitaine x et on multiplie par 2 car l’âge du capitaine était la moitié de l’âge du bateau ?)
Yes ! et du coup as tu compris la correction maintenant ?
@elegance @LudoBike : il me semble avoir lu quelque part que la manière de faire avec deux variables qui est plus naturelle quand on a déjà un bagage mathématique est (en plus d’être moins élégante) moins naturelle pour les néophytes. Mais je retrouve plus ma source…
En faite sur certains problèmes précis "les enfants" raisonnent plus efficacement que les adultes, et notamment plus rapidement que ceux qui ont fait des maths car ils pensent un peu différemment
Les enfants résonnent plus efficacement. Aucun doute là dessus. Mais est-ce qu’ils raisonnent plus efficacement ?
Plus sérieusement, si je suggère de passer par 2 variables, c’est parce que Drakop a lu le corrigé, dans lequel on lui proposait une solution et qu’il n’a pas compris cette solution. Je lui proposais donc une méthode diamétralement opposée. Dans l’idée : on n’est pas tous câblés pareil, peut-être que Drakop serait plus sensible à une approche différente.
Ceci étant, si tu remets la main sur cette étude, je suis intéressé.
J’ai retrouvé l’exo mais pas le texte qui va avec :
Alexia achète une trousse à 7€ et une cahier pour un total de 15€. Benjamin achète un cahier et une équerre et paye 3€ de moins qu’Alexia.
Combien coute le cahier l’équerre ?
(le coté intéressant n’est pas la réponse bien sur mais la méthode)
Bon c’est un peu différent du cas présent j’en conviens.
C’est très différent, trop différent pour être comparable. Dans cet exemple, la seule difficulté est de remarquer qu’il y a une information utile et une information parasite. Quand on a remarqué qu’une des 2 informations est strictement inutile, l’exercice est quasiment résolu. Et c’est effectivement une équation à une inconnue.
Sur un exercice comme celui-ci, je veux bien croire que le lycéen moyen plonge dans le piège, en se disant ’système à 2 équations et 2 inconnues, j’applique la technique’, alors que le gamin plus jeune va réagir différemment, et plus efficacement.
Si la question était de trouver le prix de l’équerre, ce serait un peu plus intéressant.
Oui et je me suis trompé c’est bien le prix de l’équerre qui est demandé
Demande à n’importe qui de le résoudre en 20s, tu as 99% de solutions inefficaces (moi le premier).
Pour l’age du capitaine je me demande si il y a pas un peu de la même chose. Dans le sens ou si tu est inefficaces tu pauses les équations au temps t=0. Et si tu es efficaces tu te places à t=-25 et tu as directement une relation A=A. Mais quand tu as fait des études tu as tellement l’habitude de passer d’un énoncé à des équations "bêtement" que ça peu inhiber d’autres cheminement de pensée équivalent mais plus rapide.
PS : personnellement il également est beaucoup plus naturelle pour moi de passer par votre solution, j’ai même bugger un peu sur la correction tellement c’était inattendu. Et c’est pour ça que ça m’a fait penser à l’histoire de l’équerre du cahier et de la trousse.
L’exercice cahier/Trousse/équerre pourrait se rapprocher de :
Aujourd’hui, Pierre à 40 ans, il a 3 ans de moins que Jacques. Quel âge avait Jacques il y a 10 ans ?
Formulé ainsi, la réponse est simple, mais avec la formulation ci-dessous, c’est déjà un petit peu plus compliqué :
Pierre a 40 ans ; quel âge avait Jacques il y a 10 ans sachant qu’il a 3 ans de plus que Pierre.
Dans l’exercice initial, on a une information complexe à utiliser : Il y a 25 ans, l’âge du bateau était le DOUBLE de l’âge du capitaine. Le DOUBLE, ça complique tout.
Personnellement, si je dois résoudre l’exercice du capitaine et du bateau, sans papier ni crayon, et de tête, je vais y arriver, mais avec un gros effort de concentration. Déjà pour la mise en équation, et d’autre part parce que les nombres qu’on manipule sont un peu élevés. Pas sûr du tout que 20 secondes suffisent.
Et je suis bien conscient que pour 99% des gens, cet exercice pose problème.
Moi j’avais surtout du mal à comprendre pourquoi on ne retirait pas les 54 ans dans 2x-50 mais j’ai mp LudoBike et il a trouvé un bon exemple pour que je puisse comprendre. L’exemple de deux règles, une de 15 cm et une autre de 30 cm, pour obtenir la même longueur que la 2ème avec la 1ère on peut soit ajouter 15 cm soit doubler mais pas les deux. En fait j’avais pas compris que l’énoncé donnait deux manières différentes d’exprimer l’âge du capitaine en fonction du bateau.
@Drakop :
L’idée de ta correction c’est d’exprimer de deux manières différentes l’age du bateau il y a 25 ans en fonction de l’age du capitaine puis de mettre le signe égal entre les deux.
@elegence
Aujourd’hui, Pierre à 40 ans, il a 3 ans de moins que Jacques. Quel âge avait Jacques il y a 10 ans ?
Formulé ainsi, la réponse est simple, mais avec la formulation ci-dessous, c’est déjà un petit peu plus compliqué :
Pierre a 40 ans ; quel âge avait Jacques il y a 10 ans sachant qu’il a 3 ans de plus que Pierre.
Dans l’exercice trousse/équerre/cahier la réponse efficace c’est que de manière "évidente" l’équerre coute 3 euros de moins que le cahier donc 7-3 = 4€, c’est la réponse des enfants… une seul opération nécessaire !
Mais les adultes feront plutôt:
cahier ? 15-7 = 8€,
combien a payé l’autre ? : 15-3 = 12€
Et donc l’équerre 12 -8 = 4€
… 3 opérations donc.
Ce qui correspond à résoudre :
C’est un système, un peu moins compliqué que pour le capitaine mais ça reste un système d’équation.
Dans ton problème tu es obligé de faire 40+3 = 43ans puis 43-10 = 33ans. Il n’y a pas plusieurs méthodes (tu peux faire l’inverse 40-10 puis 30+3 mais ça ne change pas fondamentalement la manière de penser )
Les 20s c’était pour l’exo trousse/équerre/cahier : c’est juste pour forcer l’usage de la pensée "naturelle", pour empêcher le lecteur de se dire : "attend, n’y a-t-il pas une meilleur méthode ?". Ça permet d’observer sont raisonnement de base. Si tu alloues un temps "infini" tu ne mesures pas exactement la même chose puisqu’ils pourront changer de méthode, mais c’est du détail.
Bref du coup qu’ils le fassent ou pas en 20s c’est pas hyper important dans le fond, ce qui est important c’est juste d’empêcher de chercher une méthode moins naturelle en mettant un peu la pression.
Pour la capitaine il y a deux solutions : la solution "système" ou la solution de la correction qui n’est pas un système mais une seul équation : $ x-25 +54 = 2*(x-25)$
D’où mon analogie et mon hypothèse que la solution été présenté sous cette forme avec une raison précise : pour les jeunes c’est plus facile comme ça (et/ou ne pas trop formater sur une méthode).
(je crois que finalement j’ai réussis à dire ce que je voulais dire )
(M’enfin temps que j’aurais pas retrouver ma source qui disait que les jeunes préfèrent la première solutions… )
Dans le problème du capitaine, on passe par une équation où on a x à gauche et 2x à droite du signe =
Dans l’exemple trousse/équerre, ou dans l’exemple que j’ai introduit avec Pierre et Jacques, on n’a pas besoin de passer par des équations avec x à gauche et x à droite du signe =
C’est ça que je voulais dire. On franchit un cap quand on passe d’une équation ax+b = c à une équation ax+b = cx+d.
Mais je crois qu’on commence surtout à tourner en rond.
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En faite sur certains problèmes précis "les enfants" raisonnent plus efficacement que les adultes, et notamment plus rapidement que ceux qui ont fait des maths car ils pensent un peu différemment 
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