Compréhension d'une notation

Bonjour,

Dans mon cours d’analyse je trouve la notation $\bar{\mathbf{R}}$. Il est indiqué que $\bar{\mathbf{R}} = \mathbf{R} \cup \{-\infty, + \infty \}$. Mais je ne comprend pas vraiment ce que cela veut dire puisque par définition $\mathbf{R} = \{-\infty, + \infty \}$ ?

Merci !

Tu confonds deux notations : $]a,b[$ qui signifie l’intervalle ouvert d’extrémités $a$ et $b$ et puis $\{a,b\}$ qui désigne l’ensemble ayant pour éléments $a$ et $b$.

L’ensemble $\mathbf R$ ne contient pas les éléments $\{-\infty,+\infty\}$, donc ça n’est pas inutile de poser la complétion $\mathbf R \cup \{\pm \infty\}$.

Merci pour ta réponse. En fait je sais la différence entre $]a, b[$ et $\{a, b\}$ mais pour moi $\{a, b\}$ n’a un sens que parceque $a$ et $b$ sont bien défini, tandis que $\pm\infty$ ne sont pas vraiment des "nombres" ?

Je crois que tu confonds les intervalles et les ensembles. $\{-1,1\}$ est un ensemble qui contient les nombre $1$ et $-1$, à l’inverse $[-1,1]$ est l’intervalle fermé de bornes $-1$, $1$, i.e. un ensemble qui contient tous les nombres réels entre $-1$ et $1$ incluent.

Ainsi on peut définir $\mathbf{R}$ par $\mathbf{R} = ]-\infty,+\infty[$, il ne contient donc pas plus et moins l’infinie contrairement à l’ensemble $\bar{\mathbf{R}}$.

Édit : Grillé

Merci pour vos réponses.

Dans ce cas à quoi peut bien servir $\bar{\mathbf{R}}$ ? En gros à quoi sert cette ensemble $\{ \pm\infty\}$ ?

Dans la plupart des manuels, R barre signifie l’adhérence de l’ensemble R qui par définition est le plus petit fermé contenant R , d’où l’égalité souhaité.

Si tu prends la fonction de R vers R, définie par f(x) = 1/x, cette fonction a plein de propriétés sympathiques, mais elle a un défaut, elle n’est pas définie en 0. Avec notre nouvel ensemble, on peut construire une nouvelle fonction, très proche de la fonction initiale, et définie sur tout l’ensemble de départ. Ca peut aider.

En l’occurrence, si on ajoutait un seul élément noté $ \infty$ au lieu de 2 éléments, la prolongation de la fonction f(x) = 1/x permettrait de construire assez naturellement une bijection.

Ça n’a pas ce sens ici. Car dans la topologie de R, R est évidemment le plus petit fermé contenant R.

En revanche c’est bien le complété pour une certaine norme qui n’est pas bien difficile à trouver

En revanche c’est bien le complété pour une certaine norme qui n’est pas bien difficile à trouver

Je ne vois pas ce que tu veux dire.

Si tu commences par compactifier en un point $\mathbf R$, tu obtiens le cercle $S^1$ (ça se voit par projections stéréographique).

Une norme raisonnable dessus (par exemple induite par la norme euclidienne de $\mathbf R^2$) se tire en arrière sur $S^1-\infty = \mathbf R$ (par définition du compactifié). Maintenant en modifiant cette norme pour distinguer $\pm \infty$, on obtient un espace muni du norme pour laquelle il n’est pas complet et donc la complétion consiste précisément à rajouter $\pm \infty$.

Il n’est pas non plus difficile de voir que $\mathbf R$ muni de cette norme est homéomorphe à $\mathbf R$ muni de la norme euclidienne usuelle.

Merci de ta réponse. Tu veux dire une métrique quand tu parles de norme ? Parce que $S^1$ n’est pas un espace vectoriel, je ne vois pas ce qu’est une norme dessus. edit Ok, je commence à voir, je vais réfléchir. edit Ok, en fait tu compresses les points vers $-\infty$ et $+\infty$ et tu prends le complété si j’ai bien compris.

Oui métrique, mes excuses.

C’est bon, merci. Ça peut se faire dans n’importe quel espace métrique complet pour prendre l’adhérence d’une partie (ici $[0,1]$ par exemple) ? edit Oui. C’est marrant, du coup toute l’information sur l’adhérence est contenue dans le sous-espace. edit bis Bon, j’avais pas réfléchis en fait c’est évident. Mais je disais que c’était marrant parce que récemment je pensais à un truc similaire : à la place d’espaces topologiques, on prend des "pro-espaces topologiques" (au sens des pro-objets en théorie des catégories) et alors toute l’information "autour d’un espace" serait contenue dans l’espace (par exemple son adhérence).

Mais il faut que tu sois prudent. L’opération qui consiste à adjoindre à un espace des points pour le compléter, n’est pas tout à fait la même chose que prendre son adhérence.

Comme je le disais, $\mathbf R$ est trivialement fermé pour toute topologie sur $\mathbf R$ : ça fait partie des axiomes. Ce n’est donc pas correcte de penser à sa complétion comme une fermeture.

Par ailleurs, cette notion de complétude dépend fortement de la métrique que l’on se donne. Alors qu’une topologie, c’est une donnée plus élémentaire. (Certains espaces topologiques ne sont pas métrisables.)

Oui, quand je disais « du coup toute l’information sur l’adhérence est contenue dans le sous-espace » j’étais dans le contexte d’un sous-espace d’un espace métrique complet.

Autre question : est-ce qu’il y a une raison au fait que tu sois passé par $S^1$ pour au final juste dire qu’on prend la métrique induite par un homéomorphisme $\left]0,1\right[ \cong \mathbb{R}$ ? (Et je ne vois pas trop ce que tu as voulu dire par « modifier » la norme métrique induite sur $S^1 \setminus \{\infty\}$, formellement.)

L’habitude. Je fais surtout de la topologie algébrique, c’est plus naturel pour moi de passer par un cercle.

Formellement c’est pas très intéressant. Le point sensible c’est de séparer $\pm\infty$. Tu peux tout d’abord le faire sur un modèle local, par exemple séparer $\pm 0$ sur $]-\epsilon,\epsilon[$. Si tu prends $d(a,b) = |a-b|$ si $a,b$ de même signe et $1$ sinon, ça marche. Pour revenir à $\pm \infty$, tu inverses avec $x\mapsto 1/x$. (Géométriquement, $1/x$ c’est le retournement du cercle, en respectant la projection stéréographique.)

Topologiquement, ça consiste à prendre $S^1-\infty$ et à séparer les deux extrémités, ce qui te donne quelque chose homéomorphe à un intervalle ouvert. Donc si tu veux t’épargner cette réflexion, tu peux partir directement de $]0,1[$ et manier habilement ton homéomorphisme avec $\mathbf R$.