Exercice sur la convergence de suite – Ma réponse est-elle satisfaisante ?

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Salut à tous,

en me baladant dans les exercices sur les suites du site de Prépas Dupuy de Lôme, j’ai trouvé celui qui suit intéressant et j’ai donc naturellement essayé de le résoudre. Voici l’énoncé :

Énoncé

Soient $(a,b) \in \mathbb{R}^2$, $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que

$$ n \in \mathbb{N}, \begin{cases} u_n \le a \text{ et } v_n \le b \\ u_n + v_n \to a + b. \end{cases} $$

Montrer que $u_n \to a$ et $v_n \to b$.

Correction

On a l’encadrement

$$ 0 \le a - u_n \le (a - u_n) + (b - v_n) = (a + b) - (u_n + v_n) \to 0 $$ donc $u_n \to a$ puis $$ v_n = (u_n + v_n) - u_n \to (a + b) - a = b $$
Exercice 2249 – Prépas Dupuy de Lôme

Sauf que j’ai résolue l’exercice différemment de la correction et j’aimerais savoir si ce que j’ai fais est valable. Voici ma résolution :

Soient $l_1$ et $l_2$, deux réels tels que $ u_n \to l_1 \text{ et } v_n \to l_2 $.

Supposons par l’absurde que $l_1 ≠ a$ et $l_2 ≠ b$ alors $l_1 < a$, $l_2 < b$ et $u_n + v_n \to a + b = l_1 + l_2$ ce qui implique $a + b = l_1 + l_2 < a + b$ ce qui est absurde.

On en conclut que l’hypothèse de départ est fausse et donc $u_n \to a \text{ et } v_n \to b$.

CQFD !?

Merci d’avance pour vos réponses :)

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Bah déjà si tu prends pour hypothèse que $u_n\to l_1$ et $v_n\to l_2$ tu tues complètement l’intérêt de l’exercice.

En fait c’est justement l’existence de $l_1$ et $l_2$ qui est difficile. Parce qu’après c’est pas difficile que ça donne bien $a$ et $b$ par un argument d’unicité.

Pourquoi $(u_n)$ et $(v_n)$ auraient une limite ?

Lucas-84

Ah ouais c’est ça que j’ai zappé. Mais du coup avec les infos qu’on a est-ce qu’on peut prouver l’existence de $l_1$ et $l_2$ de sorte à le rajouter au début de la démonstration (ie. différemment de la correction puisque sinon on conclut direct) ?

+0 -0

Pourquoi $(u_n)$ et $(v_n)$ auraient une limite ?

Lucas-84

Ah ouais c’est ça que j’ai zappé. Mais du coup avec les infos qu’on a est-ce qu’on peut prouver l’existence de $l_1$ et $l_2$ de sorte à le rajouter au début de la démonstration (ie. différemment de la correction puisque sinon on conclut direct) ?

LudoBike

Au débotté, en partant du message de blo yhg, si tu étudies la limite inférieure, et que tu supposes que $(u_n)$ ne converge pas, tu obtiens une suite extraite qui reste toujours arbitrairement proche de la limite inf (qui est strictement inférieure à la limite sup, elle-même inférieure à $a$), et donc u_n + v_n ne peut pas converger vers $a+b$, donc par l’absurde tu as alors que ta suite converge vers une limite $l$.

Mais c’est bien plus simple de montrer directement que les suites convergent respectivement vers a et b. :)

Ton argument fonctionne si on remplace la limite par la liminf.

blo yhg

Effectivement, mais après il faut s’occuper de la limsup ce qui pose le plus de problèmes.

Ça risque d’être dur de faire plus court que la correction. Si tu veux vraiment montrer que $u_n$ et $v_n$ ont une limite sans l’expliciter, tu peux essayer de montrer qu’elles sont bornées et qu’elles ont au plus une valeur d’adhérence (si tu sais ce que c’est).

Lucas-84

Non aucune idée de ce que c’est (enfin si un peu maintenant grâce à Wikipédia).

Au débotté, en partant du message de blo yhg, si tu étudies la limite inférieure, et que tu supposes que $(u_n)$ ne converge pas, tu obtiens une suite extraite qui reste toujours arbitrairement proche de la limite inf (qui est strictement inférieure à la limite sup, elle-même inférieure à $a$), et donc u_n + v_n ne peut pas converger vers $a+b$, donc par l’absurde tu as alors que ta suite converge vers une limite $l$.

Mais c’est bien plus simple de montrer directement que les suites convergent respectivement vers a et b. :)

melepe

C’est quoi une sous-suite extraite ? Parce que là j’ai pas trop compris ce que raconte Wikipédia.

+0 -0

C’est une suite qui est exclusivement composée d’éléments de ta suite originelle, dans le même ordre que la suite originelle.

Par exemple : $(v_n) \mbox{ tq } v_n = u_{2n}$ est la sous-suite extraite de u qui ne contient que les termes d’indices pair de u.

Plus généralement, $(w_n) \mbox{ tq } w_n = u_{f(n)}$ est une sous-suite extraite de u si et seulement si f est strictement croissante.

Mais encore une fois, ne te casse pas trop la tête avec ça, ça ne sert à rien de sortir le bazooka pour tuer la mouche. :)

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