limites suites

Bonjour,

J’ai fait quelques exercices aujourd’hui sur les limites de suites et j’ai eu faux à un des exos, mais je ne comprends pas ou est l’erreur.

Je vais utiliser RAC() pour les racines carrées.

Trouver la limite de la suite RAC(n²+n)-n

J’ai fait :

= (RAC(n²+n)-n) * RAC(n²+n) / RAC(n²+n)

= n²+n - n * RAC(n²+n) / RAC(n²+n)

= n²+n-n

=n² donc la limite de la suite quand n tend vers + infini est de + infini.

Mais j’ai eu faux donc j’ai du faire une erreur dans le calcul :/

Merci d’avance !

Comment passes-tu de la première ligne à la deuxième ?

Salut,

Merci d’utiliser Mathjax pour écrire des maths, c’est plus lisible.

Concernant ton problème, tu as distribué le numérateur mais pas le dénominateur. Tu as écris $\sqrt{n^2 + n}\times\dfrac{\sqrt{n^2 + n}}{\sqrt{n^2 + n}} = n^2 + n$, ce qui est évidemment faux (d’ailleurs, ça aurait du te mettre la puce à l’oreille qu’en multipliant la racine par 1, la racine ne pouvait pas disparaître).

En fait j’ai bien distribué le tout lorsque j’ai fait l’éxo sur papier

Pour passer à la deuxième ligne, j’ai distribué RAC(n²+n) avec RAC(n²+n) donc j’obtiens n²+n et j’ai distribué -n avec RAC(n²+n) donc jobtiens -n * RAC(n²+n) et ensuite le RAC(n²+n) du numérateur s’élimine avec celui du dénominateur.

Salut,

Utilises que $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ et que $n^2 + n = n^2 (1 + \dfrac{1}{n})$ pour lever la forme indéterminée.

Oui mais non, si tu compares la première ligne avec la dernière ligne, tu as écris $\sqrt{n^2+n} -n = n^2 + n -n$, soit $\sqrt{n^2 + n} = n^2+n$. Ça n’est vrai que si $n=0$.

Dans ton calcul, tu as bien distribué le numérateur, mais tu n’as distribué le dénominateur que sur le deuxième terme (pour retomber sur le $-n$ du départ que tu as bêtement multiplié par 1 alors que tu as multiplié la première racine par $\sqrt{n^2 + n}$ au lieu de la multiplier par 1).

EDIT : en gros, ce que tu as écrit, c’est $(a+b)\dfrac aa=a^2+b\dfrac aa$ au lieu de $(a+b)\dfrac aa=\dfrac{a^2+ba}{a}$.

Voilà ce que j’ai fait :

$ \sqrt{n²+n}-n $

$= \frac{(\sqrt{n²+n}-n)*\sqrt{n²+n}}{\sqrt{n²+n}}$

$=\frac{(\sqrt{n²+n}*\sqrt{n²+n}) (-n * \sqrt{n²+n})}{\sqrt{n²+n}}$

$=\frac{n²+n - n * \sqrt{n²+n}}{\sqrt{n²+n}}$

parce que je n’ai pas compris l’explication :/

Jusque là, c’est bon (mais ce n’est pas ce que tu as écrit dans ton premier post). Sauf que là, tu vois bien que tu ne peux pas simplifier par la racine comme tu l’avais fait puisqu’elle n’est pas en facteur en haut, elle apparait seulement dans l’un des deux termes.

Par ailleurs, comme signalé par Ozmox, le calcul que tu essayes de faire ne vas pas servir à grand chose (mais au moins tu sais où est ton erreur), essaye plutôt de décomposer la racine comme le fait Ozmox.

A la place de faire plein de calculs tu peux aussi remarquer que $\sqrt{1/n+1}-1 \sim \frac{1}{2n}$ en $+\infty$

Merci à vous pour vos réponses et à toi adri1, j’ai compris mon erreur !

@Universite : tu le montres comment ça?

Développement limité de la racine au voisinage de 1, je doute que l’OP ait déjà les connaissances mathématiques pour ça (et de toute façon, dans le cas présent, ça n’allège pas tellement les calculs)…

Ah oui, c’est un DL.

Pour obtenir ce résultat même pas besoin de faire de $DL$. Il suffit d’utiliser le fait que si $f$ est dérivable en $a$ et si $f'(a) \ne 0$ alors $f(x)-f(a) \sim f'(a)(x-a)$ en $a$, et donc pour tout $\alpha \ne 0$ on a le résultat général $(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x$ en $0$.

Tu appelles ça comment si tu n’appelles pas ça un DL ?