Relation d'équivalence

Bonsoir,

Dans certains exercices on doit prouver qu’une relation est une relation d’équivalence. Ce qui me déçoit c’est que ces relations sont souvent trivialement des relations d’équivalence et l’exercice n’est alors qu’un souci de rigueur.

C’est pourquoi j’aimerai savoir si des exemples vous vienne en tête de relations binaires qui sont oui ou non des relations d’équivalences sans que cela se voit trivialement.

En espérant avoir été clair.

Merci et bonne soirée !

Je ne sais pas trop ce que tu veux faire avec ça, mais une rapide recherche sur google me donne des relations moins évidentes (du moins, pas du premier coup d’oeil) :

Si $B = \{(v_1,v_2) \in \Bbb R^2 \times \Bbb R^2 \ | \ (v_1,v_2) \text{ est une base de } \Bbb R^2 \}$, on définit la relation sur $B$ comme $(v_1,v_2) \sim (v_1',v_2')$ si $\mathrm{det}( (a,b) ; (c,d) )=1$ où $v_1' = av_1 + bv_2$ et $v_2' = cv_1 + dv_2$.

L’équivalence "etre homotopique" demande une petite idée géométrique pour la transitivité

Sinon, oui, généralement c’est assez simple. Mais c’est surtout parce qu’il faut trouver l’idée d’une telle relation. Plus c’est simple plus c’est facile à trouver et utilisable par la suite

Je dirais que c’est presque normal que les relations d’équivalence usuelles le soient de manière triviale. C’est une notion tellement naturelle et qui se retrouve partout, que lorsqu’elle se manifeste à un endroit, ça tombe sous le sens.

Et je dirais même que dans de nombreux cas, on définit des relations, précisément pour qu’elle soient des relations d’équivalence. Il est alors rassurant que la preuve de ce fait soit élémentaire, voire évidente.

Il n’empêche que pour trouver des exemples, il faut aller chercher dans des choses qui ne se traduisent pas facilement en termes d’orbites sous une certaine action de groupe… Ce qui n’est pas si aisé. En analyse, on doit pouvoir trouver des exemples, mais là je n’ai pas d’idée en tête.