Qu’est ce qu’une base ? C’est l’extension de la notion de repère ?
Soit $E$ l’ensemble des vecteurs du plan.
Une base du plan est un couple de vecteurs (un élément de $E \times E$) qui vérifie deux propriétés :
-
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, on ne peut pas exprimer l’un en fonction de l’autre.
-
Tout élément de $E$ peut être écrit comme une combinaison linéaire des deux vecteurs du couple. Les coefficients de cette combinaison linéaire sont les coordonnées du vecteur considéré.
Un repère c’est une base (orthonormée ou non, "ortho" ça signifie que les vecteurs de ta base sont orthogonaux, "normée" ça signifie qu’ils sont unitaires) munie d’un point $O$ du plan que tu fixe comme origine.
N’importe quel point $M$ du plan peut alors être identifié au vecteur $\vec{OM}$, ce qui te permet par la suite de définir les coordonnées d’un point, puis les coordonnées d’un vecteur à partir de deux points (un bipoint).
Exemple : Dans le plan, considérons la base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$. Ce n’est autre qu’un couple de vecteurs.
On a $\vec{i}$ et $\vec{j}$ orthogonaux (i.e. leurs supports sont perpendiculaires) et $||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1$.
Soit $\vec{v} \in E$, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{v} = x \times \vec{i} + y \times \vec{j}$. $x$ et $y$ sont les coordonnées du vecteur $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.
Théoriquement, tu devrais fixer un repère $\mathcal R(O, \vec{i}, \vec{j})$ et écrire $\vec{AB} = \vecteur{x_B - x_A}{y_B-y_A}_{\mathcal R}$ pour préciser que tu exprime ces coordonnées dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$ associée au repère $\mathcal R$.
Bon, j’espère ne pas avoir dit de bêtise.
