Question sur la preuve du Théorème de Bolzano Weierstrass par le principe du « Soleil Levant »

Bonjours à tous,

je suis par un jeu de circonstances et de curiosité tombé sur cette vidéo très intéressante qui propose une preuve du théorème de Bolzano Weierstraß.

J’ai bien compris comment fonctionnait cette preuve mais mon intuition me pose un léger problème. Dans le cas où il y a un nombre fini de termes éclairés, on considère $x_{n_0}$ le dernier de ces termes et le truc c’est que je me dis que ce terme devrait être le « dernier » terme de la suite, puisque pour qu’un terme soit à l’ombre, il faut qu’il y en ait un supérieur à lui, or si c’est le cas, la preuve ne fonctionne pas. Ça me trouble un peu et je me demande d’ailleurs si ce n’est pas une des nombreuses choses contre-intuitives qui viennent avec la notion d’infini.

Je pense que mon intuition est à côté de la plaque mais je n’arrive pas à m’en convaincre, j’espère que vous pourrez m’aider et je vous en remercie d’avance.

Edit : C’est peut-être la notion de dernier qui n’a aucun sens pour l’infini.

Dans ce que tu écris, il y a une phrase que je ne comprends pas (je dirais même une phrase où il manque des morceaux) :

*puisque pour qu’un terme soit à l’ombre, il faut qu’il y en ait un supérieur à lui, or si c’est le cas, la preuve ne fonctionne pas. *

Quand tu parles de terme supérieur à un autre… tu parles d’un terme à sa droite, ou d’un terme plus haut, ou d’un terme qui soit à la fois à sa droite et plus haut ?

Et quand tu parles de "supérieur à lui", "LUI", ça représente le dernier terme éclairé, ou autre chose ?

Précise bien chaque mot, chaque pronom, ce sera plus clair pour le lecteur, et ce sera peut-être plus clair pour toi aussi.

Que penses-tu de la suite :

Qui est éclairé ?

Note d’ailleurs, que dans la preuve, il ne montre pas qu’une telle suite existe. Il dit juste que si c’est le cas, alors il peut construire une sous-suite croissante. Il traite les deux cas : l’ensemble des termes éclairés est fini ou infini, sans avoir besoin de montrer que ces deux cas existent.

Pour qu’un terme $x_n$ soit à l’ombre il faut qu’il existe $p>n$ tel que $x_p>x_n$, par récurrence on a une sous-suite croissante or le dernier terme de cette suite est éclairé (puisqu’il n’y a pas de terme après lui). Mais du coup c’est ce que je disais, je pense que c’est un problème de transposition intuitif de la notion de dernier sur la notion d’infini.

@Freedom, j’y ai réfléchi mais je n’ai pas le temps de rédiger ce soir, je met ça demain

On considère la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de terme général

On cherche à savoir quels termes de la suite sont éclairés, ie $x_n$ tel que

Notons que cette assertion équivaut à celle-ci

Afin de déterminer quels termes sont éclairés, distinguons deux cas.

Premier cas : $n=0$

Pour $n=0$, on a $x_n = a$ et donc $x_n$ est éclairé si, et seulement si,

or

et donc comme $k \in \mathbb{N^*}$, $-\frac{1}{k}$ est négatif.

Le terme $x_0$ est éclairé¹.

Second cas : $n > 0$

Pour $n > 0$, on a $x_n = a(1-\frac{1}{n})$ et donc $x_n$ est éclairé si, et seulement si,

or

et

Ainsi, $x_n$ est le produit de deux facteurs strictement positifs, il est donc strictement positif. Tout terme $x_n$ avec $n > 0$ est à l’ombre².