Continuité et dérivabilité d'une fonction

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Salut à tous,

considérons l’exercice suivant

Sur quelles parties de $\mathbb{R}$, la fonction suivante est-elle continue, dérivable ?

$$ f : x \mapsto \begin{cases} x\sin(1/x) & \text{si } x \ne 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$
Prépas Dupuy de Lôme Exercice 247 (a)

Je me pose une question sur ce type d’exercice : est-ce que l’on peut montrer la dérivabilité pour montrer la continuité, en faisant attention aux endroits où la fonction est non dérivable mais peut-être continue ?

Logiquement, je me dis que ça devrait marcher, mais je sais pas si c’est très rigoureux.

Merci d’avance pour vos réponses.

+0 -0

Ok, par contre je me rends compte que cette fonction n’est pas simple à dériver sur $\mathbb{R}^*$ en considérant la limite du taux d’accroissement. J’ai essayer de l’encadrer et j’ai obtenu ça

$$\frac{(x_0+h)\sin(1/(x_0+h)) - x_0\sin(1/x_0)}{h} \in \left [ -\frac{2x_0 + h}{h}, \frac{2x_0 + h}{h} \right ]$$

mais j’arrive pas à avancer plus. Est-ce qu’il faut calculer la dérivée en utilisant les formules pour la composition et la multiplication pour trouver sur quel intervalle la fonction est dérivable ?

+0 -0

La dérivabilité et continuité sur R privé de 0 est claire par composé et multiplication.

Par contre le seul problème est en 0. Il suffit de prouver qu’on peut prolonger cette fonction par continuité en 0. Et Pour la dérivabilité en 0, en calculant la limite à droite et la limite à gauche ca devrait être bon.

+0 -0

Ok, juste pour la dérivée en 0, on a

$$\lim_{h\to 0}\sin{1/h}$$

et là il suffirait de dire que la dérivée à gauche est la limite de sinus en moins l’infini et la dérivée à droite la limite en plus l’infini de sinus, or ces deux limites n’existent pas et donc la fonction n’est pas dérivable en 0 ? Ça me parait vraiment étrange.

De plus je me demandais comment montrer l’inexistence de cette limite avec la définition epsilon delta. Puisqu’on a

$$\exists \epsilon > 0, \forall \delta >0, \exists h \in \mathbb{R}^*, (|h|\le \delta \implies |\sin (1/h) - l| \le \epsilon )$$

La subtilité semble résider dans le choix d’un epsilon et d’un $h$, j’ai encadrer les valeurs suivantes

$$\sin (1/h) \in [-1,1] \\ l \in [-1,1] \\ \sin (1/h) - l \in [-2,2]$$

mais ça ne m’a pas beaucoup avancé.

+0 -0

Il n’existe pas de limite pour $\sin(x)$ en l’infini.

En revanche, $x\sin(1/x)$ tend bien vers $0$ en $0$. (Fais un encadrement de sinus pour t’en convaincre).

Holosmos

Oui mais pour la dérivée en $0$ on a

$$\lim_{h\to 0} \frac{(0+h)\sin \left ( \frac{1}{0+h} \right ) - 0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h\sin (1/h)}{h} = \lim_{h\to 0} \sin(1/h)$$

Or $\sin(1/h)$ ne semble pas admettre de limite en 0 ce que j’essaye de montrer avec la définition epsilon delta de limite.

+0 -0

Or sin(1/h) ne semble pas admettre de limite en 0 ce que j’essaye de montrer avec la définition epsilon delta de limite.

Un exercice classique consiste à montrer que si $f$ est périodique alors $f$ n’admet pas de limite en l’infini sauf si elle est constante. C’est peut-être l’occasion pour toi de t’entrainer là-dessus.

+1 -0

$\sin(\frac{1}{x})$ n’admet pas de limite en 0, mais il n’empêche que c’est un nombre réel que tu peux encadrer.

Tu peux donc facilement calculer la limite en 0 de $x \times \sin(\frac{1}{x})$.

entwanne

Oui, pour ça il faut dire que $|\sin 1/x| \le 1$ et donc $|x\sin 1/x| \le |x|$ or la limite en zéro de $|x|$ est zéro ainsi $|x\sin 1/x|$ tend nécessairement vers zéro et donc $f$ est continue.

$f$ est donc une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et dont on sait aussi qu’elle est dérivable sur $\mathbb{R}^*$. Toutefois on ne sait pas encore si elle est dérivable en 0 ou non et donc on cherche à le savoir. Avec le calcul de mon message précédent, on a

$$f'(0) = \lim_{h\to 0} \sin (1/h).$$

Ainsi pour affirmer que $f$ n’est pas dérivable en 0 il faut montrer que $\sin 1/h$ n’admet pas de limite en 0.

Or sin(1/h) ne semble pas admettre de limite en 0 ce que j’essaye de montrer avec la définition epsilon delta de limite.

Un exercice classique consiste à montrer que si $f$ est périodique alors $f$ n’admet pas de limite en l’infini sauf si elle est constante. C’est peut-être l’occasion pour toi de t’entrainer là-dessus.

Holosmos

Oui, ça peut être intéressant. :)

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f′(0)=limh→0sin(1/h). f ′ ( 0 ) = lim h → 0 sin ⁡ ( 1 / h ) . Ainsi pour affirmer que f n’est pas dérivable en 0 il faut montrer que sin ⁡ 1 / h n’admet pas de limite en 0.

si tu souhaites tant le faire avec les epsilons, connais tu les suites de Cauchy? Parce que dans ton explication formel avec les epsilon plus haut tu introduis l donc tu supposes déjà que ta suite converge, enfaite c’est jamais très bien d’utiliser cette définition, on l’utilises seulement quand on sait déjà que la suite converge (remplace suite par fonction dans ton cas c’est exactement pareil).

+0 -0

Effectivement la définition que tu veux utiliser pour démontrer qu’il n’y a pas de limite n’est pas la plus efficace ici.

Ce qui marche souvent c’est d’exhiber 2 suites, $ x_n $ et $ y_n$, qui tendent toutes les deux vers 0, mais telles que $ \lim \sin \frac{1}{x_n} \ne \lim \sin \frac{1}{y_n} $. Cela assure que ta fonction n’a pas de limite en 0 (sinon les deux suites convergeraient vers la même limite).

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f′(0)=limh→0sin(1/h). f ′ ( 0 ) = lim h → 0 sin ⁡ ( 1 / h ) . Ainsi pour affirmer que f n’est pas dérivable en 0 il faut montrer que sin ⁡ 1 / h n’admet pas de limite en 0.

si tu souhaites tant le faire avec les epsilons, connais tu les suites de Cauchy? Parce que dans ton explication formel avec les epsilon plus haut tu introduis l donc tu supposes déjà que ta suite converge, enfaite c’est jamais très bien d’utiliser cette définition, on l’utilises seulement quand on sait déjà que la suite converge (remplace suite par fonction dans ton cas c’est exactement pareil).

Würtz

Non, je connais pas les suites de Cauchy, donc on va pas utiliser la définition ici.

Je vais prouver ce qu’Holosmos m’a proposé et l’utiliser pour conclure. :)

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