Examen Licence 3 - Mécanique Quantique

J'ai foiré mon examen, mais j'en ai pas fini avec lui !

a marqué ce sujet comme résolu.

Salut les agrumes,

Comme j’avais un peu prévenu les copains ici, je sors un sujet sur mon examen de mécanique quantique. Je vais retranscrire les questions de l’examen et chacune de mes réponses en balise secret. J’aurais donc besoin de votre discernement et de vos conseils/avis sur les réponses.

C’est un peu étrange pour un étudiant de revenir sur un de ces fails (en tout cas ça n’a jamais été mon genre), j’essaye justement par ce biais ne plus avoir aucun problème avec la mécanique quantique à l’avenir ( :lol: ).

A. Atome de Néon (Z = 10), équation de Scrödinger

Soit un atome de néon formé d’un noyau de masse $\mathrm{M}$ et de $\mathrm{Z}$ électrons de charge $\mathrm{-e}$ et de masse $\mathrm{m_e}$. Il s’agit de construire la fonction de Hamilton $\mathrm{H}$ de ce système, puis de trouver l’équation de Schrödinger correspondante.

1.Combien de termes d’énergie cinétique la fonction $\mathrm{H}$ contient-elle ?

Je pense à 2 termes distincts :

$$\mathrm{ \underbrace{\sum_{j=1}^{Z=10} \dfrac{p_j^2}{2m_e}}_{\text{energie noyau}} \; \; \& \; \; \; \underbrace{\dfrac{p^2}{2M}}_{\text{energie electrons}} }$$

2.Combien de termes d’origine coulombienne la fonction $\mathrm{H}$ contient-elle ?

Je pense à 2 termes distincts :

$$\mathrm{ \underbrace{\sum_{j=1}^{Z=10} \dfrac{-Ze^2}{|\vec{R}-\vec{r_j}|}}_{\text{intéraction elec-noyau}} \; \; \& \; \; \; \underbrace{\dfrac12 \sum_{k \neq j \; \; \; j=1}^{Z=10} \dfrac{(-e)^2}{|\vec{r_j}-\vec{r_k}|}}_{\text{intéraction élec-élec}} }$$

3.Ecrire à présent $\mathrm{H}$ en fonction de $\mathrm{Z}$, $\mathrm{m_e}$, $\mathrm{M}$ des positions relatives des électrons et du noyau et de leurs impulsions :

J’imagine qu’ils veulent que l’ont sommes les termes pour créer $\mathrm{V_{(\vec{r})}}$ et ainsi avoir :

$$\mathrm{ V_{(\vec{r})} = \dfrac{p^2}{2M} + \sum_{j=1}^{Z=10} \dfrac{p_j^2}{2m_e} + \sum_{j=1}^{Z=10} \dfrac{-Ze^2}{|\vec{R}-\vec{r_j}|} + \dfrac12 \sum_{k \neq j \; \; \; j=1}^{Z=10} \dfrac{(-e)^2}{|\vec{r_j}-\vec{r_k}|} }$$
$$\mathrm{ H = - \dfrac{\hbar^2}{2m_e} \Delta + V_{(\vec{r})} = - \dfrac{\hbar^2}{2m_e} \Delta + \left( \dfrac{p^2}{2M} + \sum_{j=1}^{Z=10} \dfrac{p_j^2}{2m_e} + \sum_{j=1}^{Z=10} \dfrac{-Ze^2}{|\vec{R}-\vec{r_j}|} + \dfrac12 \sum_{k \neq j \; \; \; j=1}^{Z=10} \dfrac{(-e)^2}{|\vec{r_j}-\vec{r_k}|}\right) }$$

4.Construire l’équation de Schrödinger correspondante. On explicitera la démarche en détails.

$$\mathrm{ H\Psi_{(\vec{r},t)} = i\hbar \dfrac{\partial \Psi_{(\vec{r},t)}}{\partial t} }$$
$$\mathrm{ - \dfrac{\hbar^2}{2m_e} \Delta\Psi_{(\vec{r},t)} + \left( \dfrac{p^2}{2M}\Psi_{(\vec{r},t)} + \sum_{j=1}^{Z=10} \dfrac{p_j^2}{2m_e}\Psi_{(\vec{r},t)} + \sum_{j=1}^{Z=10} \dfrac{-Ze^2}{|\vec{R}-\vec{r_j}|}\Psi_{(\vec{r},t)} + \dfrac12 \sum_{k \neq j \; \; \; j=1}^{Z=10} \dfrac{(-e)^2}{|\vec{r_j}-\vec{r_k}|}\Psi_{(\vec{r},t)}\right) = i\hbar \dfrac{\partial \Psi_{(\vec{r},t)}}{\partial t} }$$

5.Cette démarche dépend-elle du repère utilisé dans l’espace des configurations ?

Je ne sais pas du tout ce qu’est l’espace de configuration et je ne comprend pas à quelle point la dépendance radiale est générale. >_<

6.Proposer une méthode pour résoudre cette équation ?

Je pense à la séparation des variables du genre :

$$\mathrm{ \Psi_{(\vec{r},t)} = \varphi_{(\vec{r})} \lambda_{(t)} }$$

Ce qui permet d’obtenir 2 équation différentielle solvable, d’autant qu’ici on connait bien la forme de $\mathrm{V_{(\vec{r})}}$.

B. Etats stationnaires dans un puits de potentiel

On considère les états stationnaires d’une particule d’énergie totale positive dans une puits de potentiel infiniment profond (potentiel nul pour $\mathrm{0 < x < a}$ et infinie partout ailleurs).

a) Ecrire les expressions des fonctions d’onde dans les trois régions ($\mathrm{x<0}$, $\mathrm{0 < x < a}$, $\mathrm{a < x}$);

Le puit que j’imagine alors.

Je pars de l’équation de Schrödinger Stationnaire :

$$\mathrm{ -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \varphi_{(x)}}{\partial x^2} + V_{(x)} \varphi_{(x)} = E\varphi_{(x)} }$$

Je forme l’équation différentielle homogène :

$$\mathrm{ \dfrac{\partial^2 \varphi_{(x)}}{\partial x^2} - \dfrac{2m}{\hbar^2} (V_{(x)} - E) \varphi_{(x)} = 0 }$$

Région $I$ :

$$\mathrm{ \dfrac{\partial^2 \varphi_{(x)}}{\partial x^2} - \dfrac{2m}{\hbar^2} (V_{\infty} - E) \varphi_{(x)} = 0 }$$
$$\mathrm{ \dfrac{\partial^2 \varphi_{(x)}}{\partial x^2} - k^2 \varphi_{(x)} = 0 }$$

$\mathrm{k^2 = \dfrac{2m}{\hbar^2} (V_{\infty} - E) }$

Polynôme caractéristique :

$$\mathrm{r² - k^2 = 0}$$
$$\mathrm{a = 1 \\ b = 0 \\ c = - k^2 \\}$$
$$\mathrm{ \Delta = b^2 - 4ac = 4k^2 }$$
$$\mathrm{ \lambda_{1,2} = \dfrac{\pm \sqrt{4k^2}}{2} = \pm k }$$
$$\mathrm{ \varphi_{I} = Ae^{kx} + A'e^{-kx} = Ae^{kx} }$$

$A' = 0$ car la particule vient de la droite.

$$\mathrm{ \varphi_{I} = Ae^{kx}}$$

Région $II$ :

$$\mathrm{ \dfrac{\partial^2 \varphi_{(x)}}{\partial x^2} + \dfrac{2mE}{\hbar^2} \varphi_{(x)} = 0 }$$
$$\mathrm{ \dfrac{\partial^2 \varphi_{(x)}}{\partial x^2} + \ell^2 \varphi_{(x)} = 0 }$$

$\mathrm{\ell^2 = \dfrac{2mE}{\hbar^2} }$

Polynôme caractéristique :

$$\mathrm{r² + \ell^2 = 0}$$
$$\mathrm{a = 1 \\ b = 0 \\ c = \ell^2 \\}$$
$$\mathrm{ \Delta = b^2 - 4ac = -4\ell^2 }$$
$$\mathrm{ \lambda_{1,2} = \dfrac{\pm \sqrt{-4\ell^2}}{2} = \pm i\ell }$$
$$\mathrm{ \varphi_{II} = Be^{i \ell x} + B'e^{-i \ell x} }$$
$$\mathrm{ \varphi_{II} = Be^{i \ell x} + B'e^{-i \ell x}}$$

Région $III$ :

$$\mathrm{ \dfrac{\partial^2 \varphi_{(x)}}{\partial x^2} - \dfrac{2m}{\hbar^2} (V_{\infty} - E) \varphi_{(x)} = 0 }$$
$$\mathrm{ \dfrac{\partial^2 \varphi_{(x)}}{\partial x^2} - k^2 \varphi_{(x)} = 0 }$$

$\mathrm{k^2 = \dfrac{2m}{\hbar^2} (V_{\infty} - E) }$

Polynôme caractéristique :

$$\mathrm{r² - k^2 = 0}$$
$$\mathrm{a = 1 \\ b = 0 \\ c = - k^2 \\}$$
$$\mathrm{ \Delta = b^2 - 4ac = 4k^2 }$$
$$\mathrm{ \lambda_{1,2} = \dfrac{\pm \sqrt{4k^2}}{2} = \pm k }$$
$$\mathrm{ \varphi_{III} = Ce^{kx} + C'e^{-kx} = C'e^{-kx} }$$

$C = 0$ car la particule vient de la gauche.

$$\mathrm{ \varphi_{III} = C'e^{-kx}}$$

b) En sachant que le potentiel est infini en dehors de l’intervalle $[0,a]$, par quoi peut-on approximer les fonctions d’onde dans les régions $I$ et $III$ ?

On peut approximer à $0$ les fonctions d’ondes stationnaires, car l’onde évanescente correspondante possède une faible portée, sachant que le potentiel ne redescend pas sous forme de barrière de potentiel plus loin, la particule n’a vraiment pas de probabilité d’exister dans ces zones.

C) Ecrire les conditions de continuité en $\mathrm{x=0}$ et $\mathrm{x=a}$.

$$\mathrm{ \varphi_{I(x)} = Ae^{kx}}$$ $$\mathrm{ \varphi_{II(x)} = Be^{i \ell x} + B'e^{-i \ell x}}$$ $$\mathrm{ \varphi_{III(x)} = C'e^{-kx}}$$

Voici les égalité de raccordement :

$\mathrm{ \varphi_{I(0)} = \varphi_{II(0)}}$

$\mathrm{ A = B + B'}$

$\mathrm{ \dfrac{d\varphi_{I(0)}}{dx} = \dfrac{d\varphi_{II(0)}}{dx}}$

$\mathrm{ kA = i \ell B - i \ell B'}$

$\mathrm{ \varphi_{II(a)} = \varphi_{III(a)}}$

$\mathrm{ Be^{i \ell a} + B'e^{-i \ell a} = C'e^{-ka}}$$

$\mathrm{ \dfrac{d\varphi_{II(a)}}{dx} = \dfrac{d\varphi_{III(a)}}{dx} }$

$\mathrm{ i \ell Be^{i \ell a} - i \ell B'e^{-i \ell a} = -kC'e^{-ka}}$

d) Déduire la condition de quantification de l’énergie et la fonction d’onde à l’intérieur du puits ?

Euh là je sèche en fait, et c’est à partir de là que tout se cors à fond. :euh:

e) En utilisant le fait que la fonction d’onde doit être normée, déduire la constante qui intervient dans l’expression de la fonction d’onde déduite au point d).

La seul fonction de normalisation que je connais c’est de déduire :

$$\mathrm{ P = C^2 \int_{0}^{+\infty} |\Psi|^2 dx = 1 }$$

Mais vue que j’ai pas la solution de $d$ je ne sais pas vraiment où aller.

f) Donner les valeurs des énergies et des fonctions d’onde correspondant à $n=1,2,3$ où $n$ est le nombre quantique qui intervient dans la condition de quantification.

Bouarf, ça s’arrange pas. Je pense qu’il faut que je trouve $k_n = f(E_n)$.

g) Tracer les densités de probabilité de présence pour $n=1,2,3$.

…

J’espère que vous avez eu un peu de courage pour lire quelques unes de mes réponses/difficultés. Dîtes tout ce que vous pouvez/voulez en tout cas. J’suis à votre écoute pour mieux saisir les questions :zorro:

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Salut, Je commence par la partie 2, la plus classique, que à mon avis tu sais traiter, c’est juste que tu n’as bien pas compris quand il fallait utiliser les hypothèses.

Notamment, à aucun moment tu utilises le fait que le potentiel est infini en dehors du puit. Cette hypothèse se traduit simplement par la nullité de la fonction d’onde en dehors du puit. Ca se voit surtout à l’endroit où tu parles de $ V_{\infty}$, qui vaut justement $+ \infty$, mais inconsciemment tu as du voir que ça te gênerait pour définir des $k$, alors tu as préféré maquiller un peu le truc. Le sujet est assez mal fait de ce côté là, on te demande l’expression des fonctions d’onde à la question 1, et à la question b on te demande quelle approximation on peut faire. J’aurais été bien embêté, car j’aurais répondu direct $0$ dès la question 1.

Dans tous les cas, pour moi le sujet te demandait de faire cette approximation à partir de la question C. Essaie de reprendre ici, en écrivant les conditions limites avec des fonctions nulles en dehors du puit (d’ailleurs, il y a une petite subtilité, mais la plupart du temps on s’en sort sans trop y faire attention et ça passe bien, je te dirais après).

Petite précision : il est possible de faire le calcul à partir de tes fonctions, sans considérer que l’onde est nulle. Si tu regardes, tu as 4 équations, et 4 inconnues. Ces équations sont linéaires. Pour avoir une autre solution que la solution évidente tout est nulle, il faut que le déterminant du système soit nul. Avec un peu de travail on arrive à une condition de quantification.

Ensuite pour la première partie je suis un peu étonné, moi avec ce qu’on m’avait fait faire en mécanique ondulatoire, comme toi, j’aurais été incapable d’y répondre correctement. Après peut-être que toi tu as fait des trucs qui ressemblent.

Déjà une petite précision qui est difficile à saisir en ondulatoire. Une différence entre la mécanique quantique et la mécanique classique enseignée au lycée et ensuite, c’est la signification de $\Psi$. La fonction d’onde caractérise l’état du système. En gros, dedans, tu as la position du noyau et des électrons, tout ça rassemblé dans une seule fonction. Ici, il faut voir ça comme la fonction qui a une configuration donnée (position de l’atome dans l’espace, et position relative des électrons), donne la probabilité de cette configuration. On a donc $\Psi(r_{\mathrm{noyau}}, r_{e_1}, \cdots, r_{e_{10}})$. J’ai pas regardé en détail, mais tes expressions des termes cinétiques et colombien ont l’air dans l’esprit vrai.

Par contre, le passage de l’expression de l’énergie à l’hamiltonien n’est pas comme tu le fais. Tu as juste pour les termes potentiels, que l’on multiplie juste par la fonction d’onde. Mais dans l’expression du potentiel, tu n’as pas les termes en $p^j$, qui sont des termes d’énergie cinétique. Comme ta fonction d’onde s’intéresse à tout le système, l’énergie cinétique dépend du déplacement de toutes les particules. De plus, pour les termes d’énergie cinétique, tous les $p^2$ sont transformés en $-\hbar^2 \bigtriangleup$1. Les $p_j^2$ doivent donc être remplacés par du $-\hbar^2 \bigtriangleup_{r_j}$. (et encore je ne suis même pas sur de moi, si quelqu’un dit autre chose en dessous, fait plutôt confiance à cette personne).

Pour s’en convaincre, tu peux regarder la particule libre. Son énergie cinétique est $\frac{p^2}{2m}$, d’où un hamiltonien en $-\frac{\hbar^2}{2m} \bigtriangleup$

Bon ensuite pour la méthode de résolution, je suis même pas sur qu’on connaisse la solution. Mais l’idée séparée temps/espace est, je pense, la chose qui était attendue.

Voilà en conclusion, une première partie qui me semble bien déstabilisante, une deuxième partie qui était je pense à ta portée. Retiens une chose en physique : quand on te demande qu’elle approximation on peut faire à une question, et que tu n’arrives pas à faire la question d’après, c’est certainement qu’on veut que tu utilises l’approximation qu’on t’a demandé.

[Edit] : Je viens de regarder la question 1, tu as bien écris ce que tu voulais écrire? Car dans ce cas là c’est faux....., mais c’est peut-être une erreur de frappe.

  1. Comment on fait le laplacien en latex? ↩

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Pour compléter réponse par réponse :

Alors comme les niveaux d’énergie du noyaux n’ont rien avoir avec ceux des électrons, on considère le noyaux comme une particule unique, et on se place dans son référentiel (qui est extrêmement proche du centre de masse puisque sa masse est généralement 4000 fois plus importante que celle des électrons, en effet il y a grossièrement 2 nucléons par électrons, avec masse nucléons ~1GeV/c2 et masse électrons 0.5MeV/c2)

Donc dans ton hamiltonien tu n’auras que les opérateurs position/impulsions des électrons.

réponse par réponse :

1) On ignore donc la partie noyaux (mais tu peux la garder) par contre attention tu as inversé les accolades ^^ )

(édit : correction sur le noyaux le terme que tu as rajouter ne correspond pas au "noyaux" mais l’atome, c’est ce qui décrit la dynamique du centre de masse de de l’atome dans l’espace, un terme "noyaux" serait plus compliqué)

2) oui

3) non, d’où vient ton nabla ? Que représente t-il physiquement ?

4) oui modulo la 3)

5) HUm je ne suis plus habitué au vocabulaire, je pense qu’on te demande si cette manière d’établir le hamiltonien est dépendante du choix du repère (cartésien, cylindrique, sphérique) ?

6) Oui c’est un début mais je pense qu’ils attendaient une réponse plus complète. Il faut voir que l’équation est solvable pour des électrons indépendant (c’est l’atome d’hydrogène avec Z en plus … donc ça change rien sur la résolution). Mais les termes d’interaction entre électrons c’est une autre paire de manche… ! Il faut utiliser je pense la méthode variationnelle (ou perturbation ? mais je crois pas) (cf ton cours ou les wiki :p )

a) oui

b) oui

c) d’après b) A = C = 0 non ? donc la reponse en masqué :D

Du coup $B + B' = 0 => B = -B'$ On déduit que

$\phi(x) = B(e^{ilx}-e^{-ilx}) = 2iB \sin(lx)$

Et de l’autre coté du puis en $a$ : $\phi(a)=0= 2iB\sin(la)$

$la = n\pi$

d’où

$l=\frac{n\pi}{a}$

d) Et avec la réponse de $c$ c’est quoi physiquement le $l$ dans ton expression ? (drôle de notation $l$ par ailleurs ^^ ) quelle est la relation entre $l$ et $E$ ?

e) Oui la normalisation ça veut dire que la probabilité de trouver ta particule dans tous l’espace est de 100% ie l’intégral que tu as noté. Tu intègres l’expression de c) et tu résous => tu obtiens la valeur de B.

f)g) ça viendra (naturellement ?) avec d) et e) ^^

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Je n’ai pas encore regardé en détail, mais je suis étonné que le problème soit guidé comme si l’objectif était de résoudre un problème à N corps (identiques).

Vous avez vu ça dans votre cours ?

  • Fonctions d’onde pour N particules;
  • Notions de fermions/bosons.

En particulier la dernière question, à part si la méthode est inscrite dans votre cours, je trouve ambitieux de demander aux élèves de proposer une méthode de résolution.

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@pierre_24: Oui, j’aurais tendance à dire ça aussi (ou des méthodes de DFT), mais dans ce cas le cours doit mentionner Hartree-Fock je pense, ou au moins traiter un cas similaire (je trouve inenvisageable de demander aux élèves de trouver la méthode tout seul). Mais je trouve juste que ça détonne fortement avec l’exercice 2.

+1 -0

Réponse rapide (qui sera éditée) :

Franchement, on avait à peu près vue tout ce qu’il y a dans le partiel. On nous avez donné la formule avec les 4 termes (2 cinétiques, 2 coulombiens) mais on nous avais pas vraiment parlé d’atome sur le coups, ni que c’était à injecté dans l’Hamiltonien, ni comment l’injecter.

On n’a pas vue les bosons/fermions, ni la méthode DFT ni Hatree-Fock a proprement parlé. Peut-être que sans le dire ils nous ont sortie 2-3 trucs venant de ces derniers, mais rien de formellement inclu dans le cours.

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Si tu veux voir à quoi peut ressembler le traitement de ce problème avec 2 électrons, il y a l’article sur l’atome d’Helium sur wikipedia (tu dois trouver ça dans des bouquins de physique atomique ou moléculaire aussi).

D’après ce que tu dis, j’ai l’impression que ce qui était attendu de toi est ce que @Vael indiquait : indiquer comment traiter les électrons indépendamment (en détail, séparation partie radiale/angulaire, comme pour l’atome d’Hydrogène). Peut-être donner l’idée qu’il y a écrantage par le nuage électronique qui peut être réintroduit dans le modèle comme un réduction du potentiel Coulombien. Eventuellement dire comment les électrons vont remplir les niveaux d’énergie (même si ça n’a pas l’air d’être explicitement dans ton cours).

Pour le second problème, comment la question b pourrait se traduire sur les constantes de ton problème dans les zones I et III ? Refais la question c mais uniquement avec les continuités des fonctions (oubli celles des dérivées). Puis la d ou tu devrais pouvoir exprimer la fonction d’onde dans la partie II avec uniquement deux constantes : $l,B$. Tu devrais pouvoir ensuite en déduire une condition sur $l$ en fonction de $a$. Ça devrait te permettre de terminer les autres questions.

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Hatree-Fock c’est la méthode de perturbation en mode malin (rendre le terme d’interaction e-e petit) visiblement (je connaissais pas j’ai leu sur le wiki de l’hélium).

Généralement dans les cours de phyQ de licence (que j’ai eu, que j’ai vu) en fin de cours on mentionne la théorie des perturbations (Et potentiellement la méthode variationnelle). Sans forcement l’expliquer en détails. C’est de la "culture" quoi, savoir que 1) c’est compliqué et pas forcement possible analytiquement, mais que 2) des outils existent.

Donc je pense que dans ton cours Blackline il est mentionné quelque pars à la fin que quand on a un hamiltonien du genre : $H = H_0 + H_1$ Avec H_0 solvable dont on connait les fonctions propre, on peut dans certain cas si $H_1$ est pas trop méchant grâce à certaine méthodes (variationnelle ou perturbation) trouver au moins l’énergie (approximé) du niveau fondamentale (et même les fonctions d’onde avec la méthode perturbation où l’on obtiens une combinaison linéaire d’état propre de $H_0$).

Et il est clairement pas attendu de résoudre ça c’est évident ^^

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