Différence de potentiel entre deux points A et B

Je suis étonné de tes remarques. En effet, pour le a), je pensais qu’il était clair que $\Delta V$ représente la différence de potentiel électrique demandée, $E_0$  représente le module (ou la norme) du champ électrique donné dans l’énoncé et $dist(A, B)$ qui correspond à la distance entre les points A et B.

C’est pas si clair. Regarde :

• Je ne savais pas si $\Delta V$ correspond à A moins B ou B moins A, ce qui change le signe. L’énoncé n’aide pas vraiment, vu que les deux choses se valent pour cette question.
• $E_0$ aurait très bien pu être la composante selon $y$, et pas la norme, ce qui change encore le signe que tu mets devant !
• $dist(A, B)$ est une distance algébrique ou classique ? Parce que ça change encore le signe potentiellement.

En plus, tu n’expliques pas comment tu effectue concrètement le produit scalaire, vu que $\vec{\mathrm{d}l}$ n’est pas défini explicitement. Et si ta distance est une distance classique (donc norme du vecteur), le passage à ta dernière ligne de calcul est faux, parce que ce n’est vrai que dans le cas particulier où les coordonnées de tes points ont le bon signe. Il se passe quoi avec ta formule si $y_A = -3$ ?

À mon avis, un peu de texte ne nuit à personne, pour clarifier les points obscurs. Je te fais un exemple.

Notations :

• $V_A$ le potentiel de $A$ et $V_B$ le potentiel de B
• $\Delta V = V_B - V_A$.
• $ \vec{e_y}$ un vecteur unitaire de direction l’axe $y$ et de sens vers les $y$ croissant.
• $E_0 = -2~\mathrm{m/s}$ de sorte que $\vec{E_0} = E_0 \vec{e_y}$.

On cherche $\Delta V$. On sait que :

Comme le chemin de A à B est une droite selon l’axe $y$, on peut écrire $\vec{\mathrm{d}l} = \mathrm{d}y \vec{e_y}$ et reparamétrer l’intégrale :

On en déduit grâce aux propriétés du produit scalaire et par linéarité de l’intégrale :

Quand on déplace la charge du point A au point B, on l’amène d’une énergie potentielle $E_A$ à une énergie potentielle $E_B$. Lors de cette transformation, la charge acquiert une énergie potentielle :

Bon, j’exagère un peu, mais tu vois l’idée.

Si tu veux une autre façon de résoudre, je trouve celle ci-dessous plus rigolote parce qu’on utilise la symétrie du problème. En prime, on s’embête moins avec les vecteurs, parce qu’on s’en débarrasse dès le début.

Comme le champ est uniforme et de direction l’axe des $y$, on déduit que $V$ le champ de potentiel lié à $\vec{E_0}$ n’est que fonction de $y$ : $V = V(y)$. Par ailleurs, comme les points $A$ et $B$ sont tous deux sur l’axe $y$, on peut ignorer les autres directions.

On ne considère ainsi que $E_{0,y} = -2~\mathrm{m/s}$, $y_A = 3\mathrm{m}$ et $y_B = 0$.

On déduit du fait que $\vec{E_0} = - \vec{\mathrm{grad}}(V) $ :

Comme le champ est uniforme, on déduit de l’équation précédente que la dérivée est constante. Il s’en suit que :

On en déduit que :

Ensuite c’est identique à avant.