Polynômes à deux variables coefficients dans K

Bonjour,

Un peu du jour au lendemain me voilà rendu à regarder les polynômes à plusieurs indéterminées (2 seulement, heureusement pour moi) $A[X,Y]$.
J’ai jamais étudié ça en cours. En particulier lorsque le degré de $X$ est inférieur à $n$ et celui de $Y$ inférieur à $m$.

Ensuite, je dois étudier la multiplication de polynômes entre eux et pas seulement par un scalaire … @_@

Bref, vous auriez de la doc à ce sujet ?

Rapport plus ou moins éloigné. Si on se restreint à une variable et au degré inférieur ou égale à 2. Est-ce que l’on a $x^2*x=1$ ?

Arf

Ça me semble exotique comme anneau moi. Mais c’est certainement car ça remonte et que je n’ai jamais eu à faire quoi que ce soit dessus :s . Je devrais m’en sortir avec mon vieux cours de L1 si je le travail bien. Si par hasard, quelqu’un connaîtrait de bons exercices pour réviser. :s
Sur internet ou en livre (avec un peu de chance, la BU l’a).

Du coup, ça se noterait $A[X]/X^3A[X]$ ? J’ai des doutes.

Tu peux voir $A[X,Y]$ comme $A[X][Y]$ (l’anneau des polynômes en Y à coefficient dans A[X], c’est d’ailleurs une façon de construire $A[X,Y]$).

Ça dépend ce que tu entends par "se restreindre au degré au plus 2".

En effet, si tu veux juste te restreindre aux polynômes inférieur à un certain degré, ton ensemble n’est alors plus stable par la multiplication. Par exemple si tu te restreint aux polynômes de degré 2 ou moins (qu’on va noter $A_2[X]$), alors $X \in A_2[X]$, $X^2 \in A~2[X]$, et $X*X^2 = X^3 \notin A_2[X]$.

Sinon, tu peux aussi en effet quotienter par l’idéal engendré par un polynôme (dans l’exemple, $X^3$, et l’idéal engendré est alors souvent noté $(X^3)$ ou $X^3A[X]$, et donc l’ensemble quotient $A[X]/(X^3)$)

J’avoue que c’est un peu vague comme ça. Mais est-ce que tu vois au moins à quoi ça ressemble un polynôme à deux indéterminées ? Parce que bon, on fait de la belle théorie polynomiale, mais à la fin ce qui nous intéresse c’est de l’évaluer (morphisme d’évaluation blabla), donc si tu vois la tête d’une fonction à deux variables…

Je sais pas si $(A[X])[Y]$ est vraiment parlant au début (même si c’est vraiment une bonne construction pour faire des preuves). Mais visuellement $A[X,Y]$ c’est des combinaisons linéaires de trucs de la forme $X^kY^l$, donc une définition serait de partir de $A^{(\mathbf{N}^2)}$, les familles à valeurs dans $A$ à support fini (nombre fini d’éléments non nuls) indicées par $\mathbf{N}^2$ ; ensuite on peut définir les opérations usuelles dessus (de manière à ce que multiplier $X^iY^j$ par $X^kY^l$ ça donne bien $X^{i+k} Y^{j+l}$).

En terme de cours, je sais pas si y a vraiment une théorie spécifique aux polynômes à plusieurs indéterminées. Bon dans un cours de prépa ça prend pas beaucoup de place (voir par exemple pages 263/264 de ce poly pour une construction from scratch déjà mentionnée plus haut).

Si tu veux t’entraîner, je vois au moins deux exercices juste "sur la définition" (mais pas triviaux pour autant), dont les preuves sont pas passionnantes, mais permettent de comprendre ce qu’on a le droit de faire ou pas sur ce genre d’objets :

1) Si $K$ est un corps, $P\in K[X_1,\ldots,X_n]$ et $Z_1,\ldots,Z_n$ sont des parties infinies de $K$ telles que $P$ s’annule sur $Z_1\times \ldots\times Z_n$, alors $P=0$.
2) $P\in K[X_1,\ldots,X_n]$ est dit symétrique si pour toute permutation $\sigma\in S_n$, $P(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})=P$. On note $\sigma_k$ le $k$-ème polynôme symétrique élémentaire :

Montrer que pour tout polynôme symétrique $P$, il existe un (unique) polynôme $Q$ tel que :

Bon en vrai en l’écrivant je me rends compte que c’est pas forcément évident à faire, mais ptete que les cas $n=2$ sont déjà intéressants pour te forger ton intuition.