J’avoue que c’est un peu vague comme ça. Mais est-ce que tu vois au moins à quoi ça ressemble un polynôme à deux indéterminées ? Parce que bon, on fait de la belle théorie polynomiale, mais à la fin ce qui nous intéresse c’est de l’évaluer (morphisme d’évaluation blabla), donc si tu vois la tête d’une fonction à deux variables…
Je sais pas si $(A[X])[Y]$ est vraiment parlant au début (même si c’est vraiment une bonne construction pour faire des preuves). Mais visuellement $A[X,Y]$ c’est des combinaisons linéaires de trucs de la forme $X^kY^l$, donc une définition serait de partir de $A^{(\mathbf{N}^2)}$, les familles à valeurs dans $A$ à support fini (nombre fini d’éléments non nuls) indicées par $\mathbf{N}^2$ ; ensuite on peut définir les opérations usuelles dessus (de manière à ce que multiplier $X^iY^j$ par $X^kY^l$ ça donne bien $X^{i+k} Y^{j+l}$).
En terme de cours, je sais pas si y a vraiment une théorie spécifique aux polynômes à plusieurs indéterminées. Bon dans un cours de prépa ça prend pas beaucoup de place (voir par exemple pages 263/264 de ce poly pour une construction from scratch déjà mentionnée plus haut).
Si tu veux t’entraîner, je vois au moins deux exercices juste "sur la définition" (mais pas triviaux pour autant), dont les preuves sont pas passionnantes, mais permettent de comprendre ce qu’on a le droit de faire ou pas sur ce genre d’objets :
1) Si $K$ est un corps, $P\in K[X_1,\ldots,X_n]$ et $Z_1,\ldots,Z_n$ sont des parties infinies de $K$ telles que $P$ s’annule sur $Z_1\times \ldots\times Z_n$, alors $P=0$.
2) $P\in K[X_1,\ldots,X_n]$ est dit symétrique si pour toute permutation $\sigma\in S_n$, $P(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})=P$. On note $\sigma_k$ le $k$-ème polynôme symétrique élémentaire :
$$\sigma_k(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{1\le i_1<\ldots<i_k\le n}X_{i_1}\ldots X_{i_k}$$
Montrer que pour tout polynôme symétrique $P$, il existe un (unique) polynôme $Q$ tel que :
$$P(X_1,\ldots,X_n)=Q(\sigma_1(X_1,\ldots,X_n),\ldots,\sigma_n(X_1,\ldots,X_n))$$
Bon en vrai en l’écrivant je me rends compte que c’est pas forcément évident à faire, mais ptete que les cas $n=2$ sont déjà intéressants pour te forger ton intuition.