Topologie, espace métrique

Bonjour, en plein révision pour les examens, je m’entraine sur le sujet de l’an dernier sauf qu’il n’y as pas de corrigé donc j’ai du mal à savoir si ce que je fais est correct ou si je suis en plein délire. Je pense regrouper tout l’examen, exercice par exercice dans ce sujet, à commencer par le premier.

On note C le cercle de ${\displaystyle \mathbb R^2}$ d’équation $x^2+y^2=1$ et P la parabole d’équation $y=x^2+1$.

1) L’ensemble ${\displaystyle X=C\cup P}$ est-il compact? complet? connexe? (on justifiera les réponses).

Voilà ma réponse :

2) Quelles sont les composantes connexes de ${\displaystyle \mathbb R^2}$\X ?

Ma réponse : Géométriquement je vois clairement ce à quoi cela correspond mais quand je l’écris j’ai un doute. J’ai donc procédé ainsi :

Merci d’avance,

Je suis tenté de dire que X est l’union de deux convexes donc est convexe et ceci implique connexe.

On est d’accord que $C$ c’est bien le cercle et pas le disque (pareil pour $P$) ? Parce que le cercle, lui, n’est pas convexe.

Maintenant pour la connexité, j’ai une piste mais je n’arrives pas à le montrer rigoureusement.

C’est quoi ta définition de la connexité (et éventuellement les caractérisations que tu connais dans des espace "simples") ?

2) Quelles sont les composantes connexes de ${\displaystyle \mathbb R^2}$\X ?

Ma réponse : Géométriquement je vois clairement ce à quoi cela correspond mais quand je l’écris j’ai un doute. J’ai donc procédé ainsi :

Soit ${\displaystyle x\in \mathbb R^2}$\X, on a ${\displaystyle C_{x}= \{(x,y)\in \mathbb R^2 : x>1 , y<x^2 +1 \} \cup \{(x,y)\in \mathbb R^2 : x<-1 , y<x^2 +1 \} \cup \{(x,y)\in \mathbb R^2 : -1<x<1 , x^2+1<y<x^2 -1 \}}$ .

Je ne suis pas trop d’accord avec tes descriptions ensemblistes, à quoi les conditions sur $x$ sont censées correspondre ?

Attention à ne pas confondre connexe et convexe …

En plus ça n’est que rarement vrai que l’union de deux connexes (ou même convexes) soit connexe (ou convexe).

On est d’accord que C C c’est bien le cercle et pas le disque (pareil pour P P ) ? Parce que le cercle, lui, n’est pas convexe.

Oui pardon je me suis emmêlé les pinceau, le cercle C et la parabole P sont connexes par arcs. Merci à Holosmos pour le rappel du coup j’ai peut-être une idée, si je montre que l’intersection de C et P est vide alors cela impliquerait que l’union n’est pas connexe?

C’est quoi ta définition de la connexité (et éventuellement les caractérisations que tu connais dans des espace "simples") ?

On dit qu’un espace E est connexe s’il ne peut s’écrire comme réunion de deux ouverts disjoints non vides. Enfin j’en ai d’autre mais je vois vraiment pas laquelle utilisé ici …

Je ne suis pas trop d’accord avec tes descriptions ensemblistes, à quoi les conditions sur x x sont censées correspondre ?

j’ai essayer de décrire les parties du graphe qui sont connexes et en dehors des courbes. Pour la compacité et la complétude il n’y a rien de plus a dire ?

Merci à Holosmos pour le rappel du coup j’ai peut-être une idée, si je montre que l’intersection de C et P est vide alors cela impliquerait que l’union n’est pas connexe?

Non : $\mathbf R - \mathbf Q$ et $\mathbf Q$ n’ont pas d’intersection mais leur union est bien connexe.

Attention aussi à ne pas confondre connexité et connexité par arcs, ce n’est pas tout à fait la même chose.

Oui pardon je me suis emmêlé les pinceau, le cercle C et la parabole P sont connexes par arcs. Merci à Holosmos pour le rappel du coup j’ai peut-être une idée, si je montre que l’intersection de C et P est vide alors cela impliquerait que l’union n’est pas connexe?

L’implication "$A\cap B=\emptyset \implies A\cup B\text{ non connexe}$" est fausse en général (déjà ça marche pas avec un ensemble vide et une partie connexe).

On dit qu’un espace E est connexe s’il ne peut s’écrire comme réunion de deux ouverts disjoints non vides. Enfin j’en ai d’autre mais je vois vraiment pas laquelle utilisé ici …

Donc ça c’est la "bonne" vision de la connexité, mais c’est pas forcément la plus intuitive si tu veux partir d’une idée géométrique. Tu es dans $\mathbf{R}^2$, tu as un ensemble qui n’a pas vraiment une tête de contre-exemple topologique pathologique, pourquoi ne pas essayer de regarder plutôt la connexité par arcs ? C’est une propriété qui a souvent l’avantage de passer facilement du dessin à la preuve…

En fait, il y a aussi une preuve rapide à partir de la définition que tu donnes, mais si ton problème est "je vois géométriquement la solution, mais j’arrive pas à le prouver formellement", je te conseille d’y revenir dans un second temps.

j’ai essayer de décrire les parties du graphe qui sont connexes et en dehors des courbes.

Est-ce que tu pourrais décrire en français à quoi tes trois zones sont censées correspondre ?

Non, ça m’a déjà l’air très bien.

Pour ce qui est de la connexité par arcs, comme je l’ai dit, sur le dessin c’est évident, mais à le prouver rigoureusement plus du tout Je dois exhiber un chemin ou alors il suffit de dire qu’il en existe un sans aucune preuve ?

J’ai essayé de faire un dessin ( pas très jolie) pour montrer les 3 zones : http://hpics.li/5174dc7 Je n’ai pas réussis à mettre directement la photo ici alors j’ai utilisé un hébergeur d’image. la zone verte est censée corespondre au second ensemble de ma réponse, la zone noir au premier et la zone rouge au troisième. D’ailleurs en refaisant le dessin pour vous montrer j’ai oublier que le cercle n’était pas plein et donc il y a aussi 2 autres composantes connexes, qui sont dans le cercle.

Pourquoi la zone noire et la zone verte ne sont pas d’une même couleur ?

Parce que quand j’ai essayé de décrire ces deux zones en notation ensembliste j’ai eu un problème d’entrecroisement avec la zone rouge et donc j’ai décider de couper en deux cette zone même si il n’y a pas de cassure réelle.

Si la réunion disjointe dit pas grand chose quant à la connexité, en revanche, la réunion de deux connexes non disjoints permet de dire quelque chose sur la connexité …

Déjà une remarque histoire qu’on parle bien de la même chose : sur ton dessin tu as dessiné $y=x^2$ et pas $y=x^2+1$ (ça change un peu la réponse de la deuxième question, et ça simplifie celle de la première avec la méthode "connexité par arcs").

Pour ce qui est de la connexité par arcs, comme je l’ai dit, sur le dessin c’est évident, mais à le prouver rigoureusement plus du tout Je dois exhiber un chemin ou alors il suffit de dire qu’il en existe un sans aucune preuve ?

Si tu vois pas comment faire, c’est qu’il faut le prouver. Ok donc on veut montrer que $X$ est connexe par arcs. On prend deux points dans $X$, disons $x$ et $y$, et on veut essayer de construire un arc qui les relie. Déjà qu’est-ce qui se passe si $x$ et $y$ sont tous les deux dans $C$, ou tous les deux dans $P$ ? Et si disons $x$ est dans $C$ et $y$ dans $P$, à quoi ressemblerait géométriquement un arc qui les relie ?

Les ensembles que tu as écrits ne correspondent pas à ce que tu décris. La condition $x>1,y<x^2+1$ veut dire "le point est strictement à droite de la droite d’équation $x=1$, et strictement en-dessous de la parabole $P$". En particulier ça veut dire que dans ta zone, tu n’aurais aucun élément d’abscisse inférieur à 1 (et ce n’est pas le cas, regarde ton dessin !). Et par ailleurs ta condition $x^2+1<y<x^2-1$ n’est jamais vérifiée.

Parce que quand j’ai essayé de décrire ces deux zones en notation ensembliste j’ai eu un problème d’entrecroisement avec la zone rouge et donc j’ai décider de couper en deux cette zone même si il n’y a pas de cassure réelle.

En l’occurrence tu n’as pas le choix, la décomposition en composantes connexes est unique. Chaque composante doit être maximale (au sens intuitif). En l’occurrence si tu regardes deux points, l’un en bas à gauche (dans la zone verte) et l’autre en bas à droite (dans la zone noire), tu pourrais les relier par un arc dans $\mathbf{R}^2\setminus X$, donc ils sont dans la même composante connexe par arcs (et donc a fortiori dans la même composante connexe). Du coup les deux zones vertes et noires devraient former une seule et même zone.

Je suis pas trop fan du fait d’utiliser la connexité par arcs de la parabole et du cercle. C’est une propriété vraie, mais pénible à prouver à ce niveau. (et inutile ici)

En revanche, en utilisant ce que je propose :

ça marche très bien.

Un début de preuve serait :

Soit $f:C\cup P \to\{0,1\}$ continue. Si $f$ prend la valeur $0$ sur l’intersection alors ....

Mon objectif pédagogique était de faire deviner la preuve — que je trouve beaucoup plus géométrique et intuitive — à partir de la connexité par arcs (qui fait 2 lignes, c’est quoi la pénibilité pour toi ?), pour ensuite faire remarquer ce qu’on a utilisé substantiellement, et ainsi en arriver à ta propriété. Je trouve un peu dommage que tu veuilles à tout prix le gâcher en donnant directement ta preuve, qui, de mon point de vue, apportera peu de valeur ajoutée.

(qui fait 2 lignes, c’est quoi la pénibilité pour toi ?

Comment tu montres que le cercle est connexe par arcs ? et la parabole ?

A priori @Würtz en était convaincu :

Oui pardon je me suis emmêlé les pinceau, le cercle C et la parabole P sont connexes par arcs.

Et si jamais on veut boucher les trous, pour répondre directement à ta question :

Image d’un connexe par arcs par une fonction continue ?

Ah oui j’avais oublié ce reflex.

Il n’empêche que la simplicité n’est pas la même. Je comprends bien l’envie de vouloir utiliser la connexité par arcs, mais à ce niveau ce n’est pas utile et ça risque de créer la fausse idée que connexité et connexité par arcs s’abordent de la même façon.

Surtout que dans le cas présent, il est très facile de montrer la connexité.

Déjà qu’est-ce qui se passe si $x$ et $y$ sont tous les deux dans $C$, ou tous les deux dans $P$ ? Et si disons $x$ est dans $C$ et $y$ dans $P$, à quoi ressemblerait géométriquement un arc qui les relie ?

C’est surement un peu simplet ce que je m’apprête à dire mais pour le cercle C, je peux poser une fonction f qui à t associe (cos(t),sin(t)) et donc on a que C=f(${\displaystyle \mathbb R}$). Je contourne le problème puisque je n’ai pas ici créer de chemin. Je suppose qu’il faille partir d’une fonction f qui à t associe at+(a-t)b et travailler un peu là dessus pour que ça colle avec notre espace mais l’union me pose problème :/

C’est surement un peu simplet ce que je m’apprête à dire mais pour le cercle C, je peux poser une fonction f qui à t associe (cos(t),sin(t)) et donc on a que C=f(${\displaystyle \mathbb R}$).

Ça montre effectivement que $C$ est connexe par arcs, et ça règle le cas où $x$ et $y$ sont dans $C$ (les arguments manquants sont : $f$ est continue et $\mathbf{R}$ est connexe par arcs). On peut procéder de la même manière si $x$ et $y$ sont dans $P$ (tu saurais l’écrire ?). Par contre, effectivement, on ne peut plus faire comme ça (enfin, théoriquement oui, mais ça serait assez tiré par les cheveux) si on a un point sur le cercle et l’autre sur la parabole.

Si on voulait construire explicitement des chemins comme tu le proposes ici, ça serait effectivement un peu pénible. Là on dit qu’il existe des chemins par des arguments un peu implicites. Mais ils n’en sont pas moins corrects.

Mais du coup tu n’as pas répondu à la dernière question : sur ton dessin, un chemin c’est un truc que tu traces avec un crayon pour relier deux points. Tu as un point $x$ sur la parabole, un point $y$ sur le cercle. Comment est-ce que tu traces un chemin qui les relie ?

Pour la parabole je pense que l’application qui à t associe (t,t^2+1) fonctionne mais pas convaincu à 100%.

Par contre je suis pas sûr d’avoir bien compris cette question. Admettons que je parte d’un point x appartenant au cercle, je suis le cercle jusqu’à arriver à un point d’intersection et ensuite je suis la parabole pour arriver jusqu’au point y appartenant à P. Ah du coup j’ai peut-être une idée, c’est un peu tuer la mouche avec le marteau mais ça peut fonctionner. Je prend l’application qui à t associe (cos(t),sin(t)) puis je le concatène avec l’application qui à u associe (u,u^2+1). Du coup par concaténation j’ai réussis à relier deux points appartenant à X. Tu en penses quoi ??

Ca montrera que $U\cup V$ n’est pas connexe par définition de la connexité.

Est ce que la propriété que tu m’a énoncé fonctionne également pour les connexes par arcs ou alors il faut des hypothèses supplémentaire, si oui lesquelles ?

Du coup avec cette propriété j’aurai juste eu à trouver les points d’intersection ce qui aurait montrer que $U\cap V$ est non vide ?

En tout cas merci beaucoup de ton aide, cette notion devient vraiment plus claire grâce à toi !