De l'imaginaire à la matrice

Travailler plus simplement avec les nombres complexes, en utilisant des matrices réelles

Lorsqu’on fait des mathématiques, on remarque souvent des liens entre 2 domaines de la matière. Dans ce billet nous allons voir un lien étonnant entre les nombre complexes et les matrices. Celui-ci est utile pour des langage qui ne gèrent que des matrices, par exemples.

Prérequis :

  • Connaitre les nombres complexes
  • Connaitre les matrices

Rappel sur les nombres complexes

Soit un nombre complexe z=a+ibz = a +ib, avec (a,b)∈R2(a, b) \in \mathbb{R}^2 et i2=−1i^2 =-1. On dit que aa est la partie réelle de zz et bb la partie imaginaire.

Opérations sur les complexes

Soient y=c+id∈Cy = c +id \in \mathbb{C},

y+z=(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)y×z=(a+ib)×(c+id)=ac+aid+ibc+i2bd=(ac−bd)+i(ad+bc)\begin{aligned} y + z &= (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)\\ y\times z &= (a+ib)\times (c+id) = ac +aid+ ibc + i^2bd = (ac-bd) + i(ad+bc) \end{aligned}

Rappel sur les matrices

Une matrice est un objet mathématique plusieurs nombres ordonnés en lignes et colonnes. Nous nous arrêterons dans ce billet aux matrices M2M_2 possédant 2 lignes et 2 colonnes.

Soient les matrices suivantes :

A=(a1,1a1,2a2,1a2,2),B=(b1,1b1,2b2,1b2,2)A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2}\\ b_{2,1} & b_{2,2} \end{pmatrix}

Opérations sur les matrices

A+B=(a1,1+b1,1a1,2+b1,2a2,1+b2,1a2,2+b2,2)A×B=(a1,1b1,1+a1,2b2,1a1,1b1,2+a1,2b2,2a2,1b1,1+a2,2b2,1a2,1b1,2+a2,2b2,2)\begin{aligned} A + B = & \begin{pmatrix} a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2}\\ a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} \end{pmatrix}\\ A \times B = & \begin{pmatrix} a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,1} & a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2}b_{2,2} \\ a_{2,1}b_{1,1} + a_{2,2}b_{2,1} & a_{2,1}b_{1,2} + a_{2,2}b_{2,2} \end{pmatrix} \end{aligned}

On remarque qu’en général avec les matrices A×B=B×AA\times B \not= B \times A

Transfomer le complexe en matrice

L’astuce présentée ici, est assez simple.

Si on écrit un nombre complexe a+iba +ib tel la matrice (a−bba)\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} on retrouve les bonnes propriétés des complexes.

Ainsi :

(a+ib)+(c+id)⇒(a−bba)+(c−ddc)=(a+c−(b+d)b+da+c)⇐(a+c)+i(b+d)(a+ib)×(c+id)⇒(a−bba)×(c−ddc)=(ac−bd−(ad+bc)bc+ad−bd+ac)⇐(ac−bd)+i(ad+bc)\begin{aligned} (a + ib) + (c + id) & \Rightarrow \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix} & \Leftarrow & (a+c) + i(b+d) \\ (a + ib) \times (c + id) & \Rightarrow \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac-bd & -(ad + bc) \\ bc + ad & -bd + ac \end{pmatrix} & \Leftarrow & (ac-bd) + i(ad +bc) \end{aligned}

On remarquera aussi que le déterminant de la matrice vaut le carré du module du complexe.

On a donc vu qu’un nombre complexe pouvait s’écrire comme une matrice particulère afin d’utiliser des complexes dans des langages qui ne gèrent que des matrices.

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