intégrabilité

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Reprise du dernier message de la page précédente

Oui, en fait je n’avais pas pensé à ce cas "classique" (dans le sens : source de nombreux contre-exemples). Donc, je crois que ce que j’ai fais ne marche que dans le cas ou les $f_n$ sont définies sur des ensembles fixes ne dépendant pas de $n$. C’est à dire qu’elles sont définies par morceaux sur des ensembles dont la mesure ne dépend pas de $n$. A moins qu’il y est un cas que j’ai encore loupé mais je ne crois pas, parce-que le seul moyen d’avoir une fonction qui n’est pas mojarable comme je l’ai fais (avec une fonction intégrable) c’est qu’elle "grandit en hauteur mais dimininue en largeur". On est d’accord ?

edit D’ailleurs une fonction peut n’être nulle part continue mais être intégrable, par exemple l’indicatrice de $ℚ$.

blo yhg

Au sens de Lebesgue peut-être mais pas au sens de Riemann.

Mais je pense que tu devrais plutôt voir un cours sur l’intégrale de Lebesgue, c’est des trucs classiques qui y sont forcément présentés tout ça.

blo yhg

Oui, il faudrait peut-être que je fasse ça. Voilà qui me semble être un bon début.

Édité par InaDeepThink

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Oui, en fait je n’avais pas pensé à ce cas "classique" (dans le sens : source de nombreux contre-exemples). Donc, je crois que ce que j’ai fais ne marche que dans le cas ou les $f_n$ sont définies sur des ensembles fixes ne dépendant pas de $n$. C’est à dire qu’elles sont définies par morceaux sur des ensembles dont la mesure ne dépend pas de $n$. A moins qu’il y est un cas que j’ai encore loupé mais je ne crois pas, parce-que le seul moyen d’avoir une fonction qui n’est pas mojarable comme je l’ai fais (avec une fonction intégrable) c’est qu’elle "grandit en hauteur mais dimininue en largeur". On est d’accord ?

Entre les mojaration et les dimininutions, on s’y perd. :D

À part ça, je ne vois pas trop ce que tu fais. J’ai du mal à comprendre ce que tu veux dire par « elles sont définies par morceaux sur des ensembles dont la mesure ne dépend pas de $n$ ». Les $f_n$ sont toutes définies partout sur un ensemble fixe ne dépendant pas de $n$. On peut les prendre continues par morceaux si c’est ce que tu voulais dire, mais ça ne change rien.

Dans ce que tu dis, il n’y a aucune raison pour que ton $g$ soit intégrable. Oui, en général pour appliquer le théorème de convergence dominée, le plus petit majorant possible est le suprémum de toutes les fonctions de la suite (en valeur absolue). Et justement, il se peut qu’il ne soit pas intégrable.

D’ailleurs, cela donne une preuve que $∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n} = ∞$. En effet, si cette somme était finie, alors on pourrait appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions $𝟙_{[0,1/n]} n$ (ça demande un petit calcul avec un dessin à côté). Ça implique que la suite constante à $1$ converge vers $0$.

edit D’ailleurs une fonction peut n’être nulle part continue mais être intégrable, par exemple l’indicatrice de $ℚ$.

blo yhg

Au sens de Lebesgue peut-être mais pas au sens de Riemann.

Oui. J’ai dit ça parce qu’en général, quand on dit « $f$ est non intégrable », ça veut dire que $∫ |f| = ∞$, et pas que $f$ est non intégrable parce qu’elle n’est pas assez régulière (dans le cas de l’intégrale de Riemann c’est ce que tu dis mais dans le cas de Lebesgue ça arrive encore moins souvent).

Voilà qui me semble être un bon début.

C’est très standard de toute manière, toutes les notes de cours vont dire un peu la même chose. Celles-là m’ont l’air correctes. Mais je n’aime pas la preuve classique du théorème de Carathéodory. Il existe une approche topologique beaucoup plus intuitive qu’on ne trouve presque nulle part (il m’a fallu recoller les morceaux pour l’avoir en entier). C’est dommage que tous les cours se répètent.

Édité par blo yhg

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Entre les mojaration et les dimininutions, on s’y perd. :D

. :p

À part ça, je ne vois pas trop ce que tu fais. J’ai du mal à comprendre ce que tu veux dire par « elles sont définies par morceaux sur des ensembles dont la mesure ne dépend pas de $n$ ». Les $f_n$ sont toutes définies partout sur un ensemble fixe ne dépendant pas de $n$. On peut les prendre continues par morceaux si c’est ce que tu voulais dire, mais ça ne change rien.

Oui excuse moi pour le manque de clarté. Quand je disais définies par morceaux sur des ensembles dont la mesure dépend de $n$, c’est à dire sur des ensembles dont les bornes sont des fonctions de $n$.

Par exemple, dans le contre exemple que tu as donné on a : $f_n(x) = n$ si $x \in [0,1/n]$, $0$ sinon. Ainsi si $f$ est définie par morceaux sur des intervalles dont les bornes dépendent de $n$, car : $[0, 1/n]$ à une taille qui varie en fonction de $n$. A l’inverse la fonction : $f_n(x) = nx$, si $x \in [0, 1]$, $1$ sinon, est définie sur des intervalles fixes. Quelques soit $n$ cette fonction vaudra toujours $nx$ sur $[0, 1]$.

C’est ça ce que je voulais dire par être définie sur des intervalles dépendant de $n$.

Dans ce que tu dis, il n’y a aucune raison pour que ton $g$ soit intégrable. Oui, en général pour appliquer le théorème de convergence dominée, le plus petit majorant possible est le suprémum de toutes les fonctions de la suite (en valeur absolue). Et justement, il se peut qu’il ne soit pas intégrable.

Là en l’occurrence il l’est puisque $g$ est constant. Je prend juste $g$ comme le majorant de tous les $f_n$ qui existe par hypothèse. Dans le deuxième cas c’est pareil (par contre j’avais oublié un $\sup$ donc j’ai édité). Ainsi normalement mes deux fonctions sont bien intégrables.

Donc en fait sauf si tu décèle une erreur, je pense que ce que j’ai fais permet de prouver le théorème suivant :

Soit $f_n$ une suite de fonctions intégrables $I \rightarrow E$ définie sur des sous-ensembles de $I$ dont la mesure ne dépend pas $n$, et tels que : $\int_{I} \mid f_n \mid < M$. Si la suite $f_n$ converge simplement vers $f$ alors on a : $\int_{I} \mid f \mid < M$

Oui. J’ai dit ça parce qu’en général, quand on dit « $f$ est non intégrable », ça veut dire que $∫ |f| = ∞$, et pas que $f$ est non intégrable parce qu’elle n’est pas assez régulière (dans le cas de l’intégrale de Riemann c’est ce que tu dis mais dans le cas de Lebesgue ça arrive encore moins souvent).

Ok.

C’est très standard de toute manière, toutes les notes de cours vont dire un peu la même chose. Celles-là m’ont l’air correctes. Mais je n’aime pas la preuve classique du théorème de Carathéodory. Il existe une approche topologique beaucoup plus intuitive qu’on ne trouve presque nulle part (il m’a fallu recoller les morceaux pour l’avoir en entier). C’est dommage que tous les cours se répètent.

blo yhg

Dans tous les cas je ne vais pas commencer tout de suite. Le théorème Carathéodory je l’avais déjà fais comme exo, et ma démonstration était assez intuitive je trouve. Après peut-être qu’on parle pas du même théorème, moi c’est celui qui dit : Montrer que tout élément de l’enveloppe convexe de $A$ est un barycentre à coefficients positifs de $n+1$ points de $A$.

edit : oublie d’une valeur absolue.

Édité par InaDeepThink

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C’est ça ce que je voulais dire par être définie sur des intervalles dépendant de $n$.

Donc tu veux dire continues par morceaux, au final ?

Là en l’occurrence il l’est puisque $g$ est constant. Je prend juste $g$ comme le majorant de tous les $f_n$ qui existe par hypothèse. Dans le deuxième cas c’est pareil (par contre j’avais oublié un $\sup$ donc j’ai édité). Ainsi normalement mes deux fonctions sont bien intégrables.

Dans la nouvelle deuxième définition, $g$ n’a toujours pas de raison d’être finie. Par quelle hypothèse est-ce que $g$ est fini dans le deuxième cas ?

Donc en fait sauf si tu décèle une erreur, je pense que ce que j’ai fais permet de prouver le théorème suivant :

Soit $f_n$ une suite de fonctions intégrables $I \rightarrow E$ définie sur des sous-ensembles de $I$ dont la mesure ne dépend pas $n$, et tels que : $\int_{I} \mid f_n \mid < M$. Si la suite $f_n$ converge simplement vers $f$ alors on a : $\int_{I} \mid f \mid < M$

Mais de toute manière, dans ce que tu dis, la conclusion est que $∫ |f_n|$ converge vers $∫ |f|$, n’est-ce pas ? Pourtant, ça c’est faux.

Tu avais dit dans ton message présentant ton raisonnement :

il nous faut donc prouver que si l’intégrale des $∣f_n∣$ est majorée par une constante $M$ alors il existe une fonction intégrable $g$ qui domine les $∣f_n∣,∀n$.

Mais c’est faux, ça, donc tu ne vas pas pouvoir le prouver. Même avec des hypothèses sur la régularité des $f_n$, ça reste faux, ce n’est pas le problème.


On ne parle pas du même théorème de Carathéodory (je parle de celui « d’extension de mesure »), mais tu verras quand tu liras. Voir ici. L’approche topologique dont je parle est donnée dans cette réponse.

Édité par blo yhg

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