intégrabilité

a marqué ce sujet comme résolu.
Auteur du sujet

Salut à tous,

Je suis en plein dans l’étude des intégrales de Riemann. J’ai des trucs que je pigent pas, j’aimerais votre aide. Déjà, comment on fait pour montrer qu’une fonction est intégrable au sens de Riemann, la continuité par morceaux ou simple suffit ? POurquoi ?

Aussi, mon prof m’a dit que le chapitre le plus important de sup est sur les séries de fonctions, et la convergence dominée, et qu’il faut connaître par coeur les hypothèses. Le problème c’est que je m’emmêle trop dans les hypothèses et donc je ne retient rien…

Comment vous faites vous ? (inversion somme, inversion limite, dérivabilité sous…) En plus ça dépend de comment l’intégrale est définit… Sur un compact ou pas… Bref, je suis perdu. Sur un ouvert $]a, b[$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ + convergence uniforme ça marche pourl’inversion limite intégrale ou pas ? Ou on est obligé d’avoir un compact ?

Désolé, pour toutes ces questions.

Je vous remercie mille fois.

+0 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Salut,

Oui, la continuité simple ou par morceaux suffit.

Pour définir l’intégrale de Riemann sur $[a,b]$, on calcule deux valeurs approchées, $u_n$ et $v_n$ telles que $\displaystyle u_n = \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} \min_{[a + i/n, a + (i+1)/n]} f(x)$ et $\displaystyle v_n = \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} \max_{[a + bi/n, a + b(i+1)/n]} f(x)$.

C’est ce qu’on représente graphiquement de la manière suivante :

Par définition, $f$ est Riemann-intégrable si u et v convergent vers la même valeur.

Edit : je me suis trompé dans la démo ci-dessous, en fait les fonctions u et v ne sont pas nécessairement croissante et décroissante. Je laisse la démo en secret mais elle est fausse.

On montre facilement que $u$ est croissante, $v$ décroissante et $u_n < v_n$. Si on montre que $u - v$ converge vers 0, on sait alors que les suites sont adjacentes et convergent donc vers la même valeur.

$u_n - v_n$ s’écrit $\displaystyle \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} \min_{[x_i, x_{i+1}]} f(x) - \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} \max_{[x_i, x_{i+1}]} f(x) = \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} \left(\min_{[x_i, x_{i+1}]} f(x) - \max_{[x_i, x_{i+1}]} f(x)\right)$ (en posant $(x_i)$ les subdivisions de [a,b] : $x_i = a + i\frac{b}{n}$).

Or, pour $f$ continue, $\forall x, \forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall y, |x-y| < \eta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon$.

Donc, pour $\varepsilon$ quelconque, avec le $\eta$ kivabien, $n$ suffisamment grand pour que $x_{i+1} -x_i$ soit inférieur à $\eta$, on a $\displaystyle | \min_{[x_i, x_{i+1}]} f(x) - \max_{[x_i, x_{i+1}]} f(x)| < \varepsilon$.

On remet ça dans l’équation, ce qui donne $|u_n- v_n| < \varepsilon$, d’où la convergence, CQFD.

Pour les fonctions continues par morceaux, c’est un peu le même principe, tu as un nombre fini de discontinuités donc les $\displaystyle | \min_{[x_i, x_{i+1}]} f(x) - \max_{[x_i, x_{i+1}]} f(x)|$ qui ne tendent pas vers 0 sont en nombre fini, et comme on les divise par $n$ ça tend quand même vers 0.

Tu peux lire une autre démonstration (valide, celle-ci !) ici : https://melusine.eu.org/syracuse/immae/mpsi/mathematiques/analyse/02.pdf


Pour la convergence dominée, j’avoue que c’est un peu derrière moi, je laisse d’autres répondre.

Édité par melepe

+1 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Déjà, comment on fait pour montrer qu’une fonction est intégrable au sens de Riemann, la continuité par morceaux ou simple suffit ? POurquoi ?

Ça dépend, vous avez vraiment défini l’intégrale de Riemann ? (ou genre sur les fonctions réglées ou ce genre de choses ?) Je pense que techniquement au programme de prépa, on construit juste l’intégrale des fonctions continues par morceaux (en disant en gros qu’elles sont limites uniformes de fonctions en escalier).

Aussi, mon prof m’a dit que le chapitre le plus important de sup est sur les séries de fonctions, et la convergence dominée, et qu’il faut connaître par coeur les hypothèses. Le problème c’est que je m’emmêle trop dans les hypothèses et donc je ne retient rien…

Comment vous faites vous ? (inversion somme, inversion limite, dérivabilité sous…) En plus ça dépend de comment l’intégrale est définit… Sur un compact ou pas… Bref, je suis perdu. Sur un ouvert $]a, b[$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ + convergence uniforme ça marche pourl’inversion limite intégrale ou pas ? Ou on est obligé d’avoir un compact ?

cryptologue

Déjà, je pense qu’il faut clairement séparer :

(i) Les résultats d’interversion « classiques » (en gros, ceux que vous avez démontré). Je pense qu’un message simple à retenir est que pour ce genre de propriétés « on ne s’intéresse à la convergence uniforme que lorsque l’ensemble de départ est compact ». Y a probablement pas mal de raisons pour ça, mais pour se rassurer on peut se dire que si on veut démontrer une information locale (continuité, dérivabilité, limite, etc.), on peut juste se placer sur un voisinage compact du point qu’on veut étudier1. Par ailleurs la plupart des fonctions de la vraie vie qui convergent uniformément sur tout compact ne convergent pas sur le domaine entier (cf. les séries entières), donc finalement on perd pas trop en se plaçant dans ce cadre restrictif.

La conséquence de ça, c’est que je suis pas sûr de quelles propriétés restent vraies si on se place par exemple sur un intervalle ouvert de la forme $]a,b[$. En tout cas, il y a des questions non triviales d’intégrabilité qui se posent (typiquement, est-ce que ça la propriété d’être Riemann-intégrable passe à la limite uniforme sur un intervalle ouvert borné ? je pense que non mais j’ai pas de contre-exemple).

(ii) Les résultats de type TCD. Il faut plus de travail pour les obtenir, mais globalement il n’y a plus de restriction sur le domaine de départ (typiquement plus d’histoire de compacité), il faut juste que ce soit un espace mesuré (rappel : les hypothèses sont cvs et majoration uniforme par une fonction intégrable).

Après, on va pas se mentir, pour les intégrales à paramètres, y a pas de méthode miracle pour ne pas oublier une hypothèse. ^^


  1. Pour être tout à fait complet, il faut reconnaître que dans la vraie vie des maths, on n’étudie probablement pas que des espace localement compacts (dans lequel tout point admet un système fondamental de voisinages compacts, d’où l’existence du fameux voisinage compact du point étudié), mais pour le programme de prépa, ça nous suffit très bien. 

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Salut :)

Je suis en plein dans l’étude des intégrales de Riemann. J’ai des trucs que je pigent pas, j’aimerais votre aide. Déjà, comment on fait pour montrer qu’une fonction est intégrable au sens de Riemann, la continuité par morceaux ou simple suffit ? POurquoi ?

La construction de l’intégrale de Riemann se fait par une approximation à l’aide de fonctions en escalier. On regarde, si la borne supérieur de l’intégrale des fonctions en escalier inférieur à $f$ coïncide avec la borne inférieur de l’intégrale des fonctions en escalier qui sont supérieur à $f$. Tu peux regarder le message de melepe au-dessus qui explique bien la construction de cette intégrale. Tu remarqueras que cette construction est équivalente à dire :

$f$ est intégrable au sens de Riemann si et seulement si $\forall \epsilon > 0$ il existe deux fonctions en escalier : $\varphi$, $\gamma$ tels que : $\varphi \leq f \leq \gamma$ et tels que :

$$\int_a^b \gamma(x) - \varphi(x) \mathrm{d}x < \epsilon$$

Bon ok, maintenant on a une définition précise de ce qu’est une fonction Riemann intégrable, mais il y a quand même un problème, c’est que cette définition n’est pas du tout maniable. Si on te donne une fonction tu préfère directement dire "elle est intégrable au sens de Riemann" plutôt que de dire : bon je vais chercher des fonctions en escalier bien choisit, je pense qu’on est d’accord là-dessus. Généralement on travaille avec quoi comme type de fonctions ? Et bien des fonctions continues et des fonctions monotones.

Et bien, on peut-prouver qu’une fonction continue et qu’une fonction monotone sur $[a,b]$ sont intégrables au sens de Riemann (tu as sûrement du voir les démonstrations en cours). A partir de là, il est peut-être possible d’étudier un type de fonction et de se demander si de manière général ce type de fonctions est intégrable, mais normalement fonctions monotones et continues sont les deux plus importants.

Ok, bon maintenant on en revient à ta question, comment on montre que $f$ est Riemann intégrable ? Tu as juste trois choses à faire, si elle est continue (ou continue par morceaux) alors oui, si elle est monotone alors oui, si elle ne respecte aucune de ces deux propriétés tu reviens à la définition (càd que tu cherches des fonctions en escalier tels que pour tout $\epsilon > 0$…).

Pareil, pour montrer qu’une fonction n’est pas Riemann intégrable, tu repasse à la définition. Par eemple tu peux montrer que la fonction $f$ définie sur $[0, 1]$ par $f(x) = 1$ si $x$ est rationnelle et $0$ sinon.

Maintenant pour ta deuxième question, comme le dit Lucas-84 il y a une distinction dans le programme lorsqu’on a la convergence uniforme et lorsqu’on ne l’a pas.

Dans le cas ou on à la convergence uniforme les hypothèses devraient te paraître assez intuitives. Lorsqu’on a la convergence uniforme on garde les mêmes propriétés entre $f$ et la suite des $f_n$ (du moins la continuité et l’intégrabilité). Ca se voit assez bien dans la définition, on ne regarde pas chacun des points indépendamment mais "les uns par rapport aux autres" dans le sens ou la définition ne dépend pas d’un point $x$ en particulier. Donc ici si on a les conditions suivantes :

  • $f_n$ converge uniformément vers $f$
  • $I$ est borné (donc pas besoin d’avoir nécessairement un compact)
  • $f_n$ intégrable pour tout $n$

Alors dans ce cas on peut échanger les deux, normalement les hypothèses devraient te paraître assez naturelle si tu as compris tes définitions à part peut-être l’hypothèse que $I$ soit borné. Déjà note que la démonstration de ce résultat utilise la mesure de $I$, donc on comprend qu’il faudrait trouver autre chose dans le cas ou $I$ n’est pas borné.

Pour retenir cette hypothèse tu devrais te dire la chose suivante : on a d’abord une limite des $f_n$ qui va faire $f$, ensuite une limite de fonctions en escalier va vers $f$ et qui doit coïncider avec cette limite sur les $f_n$, puis en plus on demande de regarder si c’est bien vrai en l’infini. Donc en gros l’idée, c’est que si l’intervalle n’est pas bornée on aura assez "de mesures qui seront imprécises" pour qu’à l’infini, toutes ces imprécisions font que le résultat est faux. C’est pas très rigoureux mais tu peux le comprendre comme ça.

Maintenant pour le théorème de convergence dominée on en avait déjà parler sur ce forum : ici.

Ensuite il reste quoi ? Il y a le théorème d’integration terme à terme. Note que la plupart des conditions sont des conditions d’intégrabilité, pour le coup ça c’est logique dans le sens ou par définition on ne peut pas définir une intégrale sur quelque chose qui n’est pas intégrable. La seule condition qui peut paraître étrange est celle-là : - la série $\sum \left (\int_I \mid u_n \mid \right)$ converge

Pourquoi la valeur absolue. En fait, il faut que de manière générale tu te dises que la semi convergence ne veut rien dire, puisqu’elle dépend de la façon dont on prend les termes. Bon tu me diras, dans ce cas pourquoi on prend pas  : $\sum \mid \int_I u_n \mid$ ? Dis toi juste qu’on perdrait trop d’informations sur $u_n$, dans le sens ou on peut trouver une fonction impair, et en prenant $I$ un intervalle de la forme :$]-r, r[$ on a une intégrale de $0$, tandis que si on fait la somme, comme c’est une série les petites imperfections ne seront pas ignorés pouvant alors donner des résultats différents.

Ensuite pour les intégrales à paramètres en traçant les lignes de niveaux et en se ramenant à des fonctions à une variable un peu comme quand tu fais du calcul différentielle, on peut comprendre un peu de la même manière les conditions qui peuvent paraître étrange.

De manière générale en fait il faut que tu te dises que regarder à l’infini c’est "mettre tout dans le même sac", toutes les imprécisions tu les gardes et tu les sommes, donc les conditions de valeurs absolues permettent de vérifier que tu ne perds pas d’information.

(rappel : les hypothèses sont cvs et majoration uniforme par une fonction intégrable).

majoration uniforme ? :euh:

Édité par InaDeepThink

+0 -0
  • $I$ est borné (donc pas besoin d’avoir nécessairement un compact)

Comment tu montres que $\int f$ est bien définie si $I$ n’est pas fermé ? Contrairement à ce que je disais plus haut, en effet c’est vrai, mais ça me paraît pas trivial (encore moins avec les outils du programme).

majoration uniforme ? :euh:

InaDeepThink

Uniforme en $n$ ;)

Auteur du sujet

merci !!!!!

je vais essayer de bien lire tout ça, et de tout comprendre. Juste j’ai pas compris ça :

En fait, il faut que de manière générale tu te dises que la semi convergence ne veut rien dire, puisqu’elle dépend de la façon dont on prend les termes.

j’ai pas compris.

Je pense que techniquement au programme de prépa, on construit juste l’intégrale des fonctions continues par morceaux (en disant en gros qu’elles sont limites uniformes de fonctions en escalier).

oui c’est ce qu’on a fait. par contre InaDeepThink nous on a pas vu pour les fonctions monotones que c’est vrai. merci sinon !

+0 -0

Comment tu montres que $\int f$ est bien définie si $I$ n’est pas fermé ? Contrairement à ce que je disais plus haut, en effet c’est vrai, mais ça me paraît pas trivial (encore moins avec les outils du programme).

Je ne comprends pas. Si on a la convergence uniforme et le fait que chacun des $f_n$ est intégrable sur $I$ alors c’est bon, non ?

EDIT : @cryptologue regarde le théorème de Riemann sur les séries semi-convergente.

Édité par InaDeepThink

+0 -0

Je pense que techniquement au programme de prépa, on construit juste l’intégrale des fonctions continues par morceaux (en disant en gros qu’elles sont limites uniformes de fonctions en escalier).

oui c’est ce qu’on a fait.

cryptologue

Avec cette construction, une fonction continue par morceaux est automatiquement « Riemann-intégrable » par définition, du coup. ^^

Comment tu montres que $\int f$ est bien définie si $I$ n’est pas fermé ? Contrairement à ce que je disais plus haut, en effet c’est vrai, mais ça me paraît pas trivial (encore moins avec les outils du programme).

Je ne comprends pas. Si on a la convergence uniforme et le fait que chacun des $f_n$ est intégrable sur $I$ alors c’est bon, non ?

InaDeepThink

Si $I$ est un intervalle fermé borné, je suis d’accord que c’est clair (par exemple avec ma construction des fonctions réglées, c’est par définition). Si $I$ n’est pas fermé… on est d’accord que toutes tes intégrables deviennent impropres ? Y a une limite cachée dans la définition de l’intégrale. C’est pas évident que $\int f$ converge (au sens de l’intégrale).

Édité par Lucas-84

À noter qu’il est bien plus facile de construire une théorie de l’intégration en considérant $+\infty$ comme une valeur acceptable

Holosmos

C’est à dire ? Genre dans le sens ou en l’infini ça ne devient plus une intégrale impropre ?

Avec cette construction, une fonction continue par morceaux est automatiquement « Riemann-intégrable » par définition, du coup. ^^

Mais il y a d’autres constructions des fonctions Riemann-intégrable ?

Si $I$ est un intervalle fermé borné, je suis d’accord que c’est clair (par exemple avec ma construction des fonctions réglées, c’est par définition). Si $I$ n’est pas fermé… on est d’accord que toutes tes intégrables deviennent impropres ? Y a une limite cachée dans la définition de l’intégrale. C’est pas évident que $\int f$ converge (au sens de l’intégrale).

Lucas-84

Oui, ok. En fait si on a une limite finiE en $a$ et en $b$, c’est bon parce-qu’on peut se ramener à un compact. Après dans le cas ou on a pas une limite finiE je pense on doit pouvoir réussir non ? En utilisant des théorèmes d’inversions de limites (puisqu’à droite de l’intégrale on a une convergnce uniforme) on doit peut-être pouvoir se débrouiller mais je n’ai pas cherché donc je ne m’avance pas trop non plus.

EDIT : en fait il semblerait que c’est effectivement plus galère. je ne trouve pas sur internet de démonstration dans le cas "ouvert", que dans le cas fermé. Si quelqu’un a trouvé quelque chose je suis preneur. :)

EDIT2 : peut-être Théorème de Bepo-Levi

Édité par InaDeepThink

+0 -0

Je ne comprends pas pourquoi au programme de MP on ne voit pas le cas ou on est sur un intervalle borné et qu’on a la convergence uniforme, parce-qu’en soit la convergence dominée en prépa on a aussi pas du tout les outils pour prouver le théorème.

D’ailleurs dans le cas de la convergence dominée je me demande à quoi sert le fait que $g$ soit intégrable dans l’hypothèse de domination, puisque les $f_n$ sont supposés continues par morceaux donc je ne vois pas ou on peut avoir un cas ou le fait que $g$ soit intégrable garde "sous-contrôle" les $f_n$. Encore je comprends bien pourquoi on a cette hypothèse, mais je ne vois pas ce que rajoute le fait que $g$ soit intégrable.

En plus de ça j’en profite pour poser deux petites questions.

  • Avec l’intégrale de Riemann on peut intégrer sur des espaces non-euclidiens ?

  • Quand on a une série semi-convergente et non absolument convergente, la valeur de la série dépend de l’ordre dans lequel on prend les termes, un résultat connu dit d’ailleurs qu’on permuter les termes pour faire converger la série vers ce que l’on veut (Holosmos et Vayel en parle à la fin de leur tuto sur les séries si je ne me trompe pas). Pour moi c’est que la définition qu’on a de limite est très mal adaptée pour les séries. Une limite ne se soucie que du "terme qui vient" et non des termes après dans la suite. Je me demandais si il y avait une autre définition de limite dans le cas des séries qui prend en compte la globalité des termes dans le sens ou une permutation d’une série semi-convergente laissera inchangée sa valeur en $+\infty$.

Merci.

Édité par InaDeepThink

+0 -0

Je ne sais pas si ça apporte vraiment quelque chose ces histoires de Riemann-intégrabilité. En tout cas moi ça m’embrouille… sans doute parce que je n’ai jamais travaillé avec aussi. À part éventuellement pour l’intégration numérique, je ne vois pas (et encore, si on fait ça pour l’intégration numérique, ça n’est pas une raison pour remplacer la définition théorique de Lebesgue).

Même sur un intervalle ouvert, la limite uniforme d’une suite de fonctions Riemann-intégrables est Riemann-intégrable, puisqu’apparemment, l’intégrabilité au sens de Riemann est la même chose qu’être borné et avoir un ensemble de points de discontinuités de mesure nulle. Lorsqu’on prend une suite de fonctions Riemann-intégrables, l’union des ensembles de discontinuité reste de mesure nulle, et aux points où aucune fonction n’est discontinue, la continuité passe à la limite uniforme. On reste donc Riemann-intégrable.

Mais après, il faut prendre en compte que l’on a une intégrale impropre, donc peut-être pas des fonctions absolument intégrable (mais là ce n’est plus du Riemann versus Lebesgue). Du coup on considère la suite de fonctions $h_n : ℝ_{>0} → ℝ$ définies au voisinage de $0$ par $h_n(𝜀) = ∫_{a+𝜀}^{b-𝜀} f_n(x) dx$. Alors les $h_n$ convergent uniformément vers $h(𝜀) = \int_{a+𝜀}^{b-𝜀} f(x) dx$ avec $f$ la fonction limite uniforme des $f_n$. Et avec ça, on voit que $h(𝜀)$ converge vers $\lim_{n→∞} h_n(0)$ lorsque $𝜀$ tend vers $0$, donc l’intégrale impropre commute aussi avec la limite si la convergence est uniforme (et que les bornes sont finies).

D’ailleurs dans le cas de la convergence dominée je me demande à quoi sert le fait que $g$ soit intégrable dans l’hypothèse de domination, puisque les $f_n$ sont supposés continues par morceaux donc je ne vois pas ou on peut avoir un cas ou le fait que $g$ soit intégrable garde "sous-contrôle" les $f_n$. Encore je comprends bien pourquoi on a cette hypothèse, mais je ne vois pas ce que rajoute le fait que $g$ soit intégrable.

Dans le théorème de convergence dominée que je connais, les $f_n$ ne sont pas supposées continues par morceaux. Même si c’était le cas, il faudrait supposer $g$ intégrable, je ne vois pas ce que ça apporte. Prends comme contre-exemple la suite des indicatrices de $[n,n+1]$, ou si tu veux rester sur un domaine borné, prends $1_{[0,1/n]} n$ (mais je crois que toi-même avais donné ce contre-exemple sur un autre topic).

Mais c’est pas super clair ce que tu dis, en particulier ta dernière phrase : tu comprends bien qu’on a quelle hypothèse ? Si on ne demande pas à $g$ d’être intégrable au final ça ne donne aucune contrainte.

  • Avec l’intégrale de Riemann on peut intégrer sur des espaces non-euclidiens ?

Pas directement en tout cas. Mais pourquoi veux-tu faire ça ?

Pour moi c’est que la définition qu’on a de limite est très mal adaptée pour les séries. Une limite ne se soucie que du "terme qui vient" et non des termes après dans la suite. Je me demandais si il y avait une autre définition de limite dans le cas des séries qui prend en compte la globalité des termes dans le sens ou une permutation d’une série semi-convergente laissera inchangée sa valeur en $+\infty$.

On peut faire ce que tu cherches, Lucas-84 en avait parlé à un moment. Tu peux voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_sommable Mais apparemment c’est moins utilisé que la sommabilité absolue (c’est la même chose quand les séries sont à valeurs dans $ℝ$), qui est la même chose que l’intégrabilité au sens de Lebesgue de la série vue en tant que fonction de $ℕ$ vers $ℝ$.

Édité par blo yhg

+2 -0

Je ne sais pas si ça apporte vraiment quelque chose ces histoires de Riemann-intégrabilité. En tout cas moi ça m’embrouille… sans doute parce que je n’ai jamais travaillé avec aussi. À part éventuellement pour l’intégration numérique, je ne vois pas (et encore, si on fait ça pour l’intégration numérique, ça n’est pas une raison pour remplacer la définition théorique de Lebesgue).

Oui, je pense que pour ceux qui ont vu la théorie de la mesure et l’intégrale de Lebesgue (comment ça se prononce ce nom d’ailleurs :p ? ) ça doit les embrouiller.

Même sur un intervalle ouvert, la limite uniforme d’une suite de fonctions Riemann-intégrables est Riemann-intégrable, puisqu’apparemment, l’intégrabilité au sens de Riemann est la même chose qu’être borné et avoir un ensemble de points de discontinuités de mesure nulle. Lorsqu’on prend une suite de fonctions Riemann-intégrables, l’union des ensembles de discontinuité reste de mesure nulle, et aux points où aucune fonction n’est discontinue, la continuité passe à la limite uniforme. On reste donc Riemann-intégrable.

Ok, c’est la ou je pense qu’Holosmos voulait dire qu’il est plus facile de construire l’intégrale en acceptant $\infty$ comme valeur. Dans le sens ou on pourrait enlever l’hypothèse "borné" ?

Je ne connais pas la théorie de la mesure, mais je sais que c’est cette caractérisation de "Riemann intégrabilité" qu’on utilise pour prouver l’intégrabilité de certaines fonctions compliquées. Comme par exemple celle- (elle est Riemann intégrable mais ni monotone, ni continue par morceaux).

Mais après, il faut prendre en compte que l’on a une intégrale impropre, donc peut-être pas des fonctions absolument intégrable (mais là ce n’est plus du Riemann versus Lebesgue). Du coup on considère la suite de fonctions $h_n : ℝ_{>0} → ℝ$ définies au voisinage de $0$ par $h_n(𝜀) = ∫_{a+𝜀}^{b-𝜀} f_n(x) dx$. Alors les $h_n$ convergent uniformément vers $h(𝜀) = \int_{a+𝜀}^{b-𝜀} f(x) dx$ avec $f$ la fonction limite uniforme des $f_n$. Et avec ça, on voit que $h(𝜀)$ converge vers $\lim_{n→∞} h_n(0)$ lorsque $𝜀$ tend vers $0$, donc l’intégrale impropre commute aussi avec la limite si la convergence est uniforme (et que les bornes sont finies).

Dans le théorème de convergence dominée que je connais, les $f_n$ ne sont pas supposées continues par morceaux.

Effectivement, mais le cas général n’est pas au programme de L2/MP, c’est pour ça que je parlais de ce cas-là.

Même si c’était le cas, il faudrait supposer $g$ intégrable, je ne vois pas ce que ça apporte. Prends comme contre-exemple la suite des indicatrices de $[n,n+1]$, ou si tu veux rester sur un domaine borné, prends $1_{[0,1/n]} n$ (mais je crois que toi-même avais donné ce contre-exemple sur un autre topic). Mais c’est pas super clair ce que tu dis, en particulier ta dernière phrase : tu comprends bien qu’on a quelle hypothèse ? Si on ne demande pas à $g$ d’être intégrable au final ça ne donne aucune contrainte.

Oui, je me suis mal exprimé. En fait, si $f$ est intégrable, je ne vois pas l’utilité de rajouter l’hypothèse $g$ intégrable, c’est ça ce que j’avais en tête mais comme la convergence simple ne préserve pas l’intégrabilité je comprends mieux pourquoi on demande à $g$ d’être intégrable. Normalement dans le cas ou est $f$ est intégrable, on a pas besoin d’avoir l’hypothèse $g$ intégrable, on est d’accord ?

  • Avec l’intégrale de Riemann on peut intégrer sur des espaces non-euclidiens ?

Pas directement en tout cas. Mais pourquoi veux-tu faire ça ?

Juste je me pose des questions :) parce-que dans la construction qu’on voit de l’intégrable de Riemann, on ne se place que dans des fonctions : $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, donc je me demandais ce que ça faisais dans des espaces non-euclidiens.

On peut faire ce que tu cherches, Lucas-84 en avait parlé à un moment. Tu peux voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_sommable Mais apparemment c’est moins utilisé que la sommabilité absolue (c’est la même chose quand les séries sont à valeurs dans $ℝ$), qui est la même chose que l’intégrabilité au sens de Lebesgue de la série vue en tant que fonction de $ℕ$ vers $ℝ$.

blo yhg

Ok, merci pour le lien je vais regarder ça.

+0 -0

Lebesgue (comment ça se prononce ce nom d’ailleurs :p ? )

Comme "le bègue". ^^

Ok, c’est la ou je pense qu’Holosmos voulait dire qu’il est plus facile de construire l’intégrale en acceptant $\infty$ comme valeur. Dans le sens ou on pourrait enlever l’hypothèse "borné" ?

Je ne sais pas ce que Holosmos a voulu dire mais peut-être qu’il voulait parler de l’intégrale positive (à valeurs dans $[0,+\infty]$ ; on ne peut pas avoir une intégrale à valeurs dans $[-∞,+∞]$ car on ne peut pas donner une valeur à $∞-∞$ de manière cohérente). Dans la construction de l’intégrale de Lebesgue que je préfère, on commence par construire l’intégrale positive, et ça permet ensuite de définir l’intégrale vectorielle (de Bochner, pour les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel (de Banach), ça comprend $ℝ$ et donc l’intégrale signée). Mais le passage de l’intégrale positive à l’intégrale vectorielle est plus facile que la construction de l’intégrale positive (c’est moins technique, ça se fait de manière plus abstraite).

Je ne connais pas la théorie de la mesure, mais je sais que c’est cette caractérisation de "Riemann intégrabilité" qu’on utilise pour prouver l’intégrabilité de certaines fonctions compliquées. Comme par exemple celle- (elle est Riemann intégrable mais ni monotone, ni continue par morceaux).

Je ne connais pas bien l’intégrale de Riemann mais je vois ça un peu comme une théorie à cheval entre une définition "pure" de l’intégrale et l’intégration numérique. Je me demande bien qui irait intégrer numériquement la fonction de Thomae (qui est égale presque partout à la fonction nulle)… Ça doit donner de toute manière des résultats très bizarres car un ordinateur ne manipule que des rationnels.

Oui, je me suis mal exprimé. En fait, si $f$ est intégrable, je ne vois pas l’utilité de rajouter l’hypothèse $g$ intégrable, c’est ça ce que j’avais en tête mais comme la convergence simple ne préserve pas l’intégrabilité je comprends mieux pourquoi on demande à $g$ d’être intégrable. Normalement dans le cas ou est $f$ est intégrable, on a pas besoin d’avoir l’hypothèse $g$ intégrable, on est d’accord ?

Si si, justement. Les contre-exemples vérifient ça en général ($f$ intégrable). Si $∫ |f_n|$ est borné, alors $∫ |f|$ est aussi bornée par la même valeur (exercice). Donc en gros ça ne va pas trop arriver que $∫ |f| = ∞$ dans un cas intéressant, ça voudrait dire que $∫ |f_n|$ tend vers l’infini (bon, il se peut que $∫ f_n$ tend quand même vers quelque chose mais ça va être un peu bizarre quand même).

Juste je me pose des questions :) parce-que dans la construction qu’on voit de l’intégrable de Riemann, on ne se place que dans des fonctions : $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, donc je me demandais ce que ça faisais dans des espaces non-euclidiens.

On pose des mesures dessus et on fait de l’intégrale de Lebesgue. Mais je crois avoir déjà croisé un truc qui parlait d’intégrale de Riemann sur la sphère…

+1 -0

Je ne sais pas si ça apporte vraiment quelque chose ces histoires de Riemann-intégrabilité. En tout cas moi ça m’embrouille… sans doute parce que je n’ai jamais travaillé avec aussi. À part éventuellement pour l’intégration numérique, je ne vois pas (et encore, si on fait ça pour l’intégration numérique, ça n’est pas une raison pour remplacer la définition théorique de Lebesgue).

La seule raison de faire ça, c’est parce que c’est plus simple à définir. Je pense pas qu’on parle trop de Riemann-intégrabilité aujourd’hui, en dehors du programme de prépa… Après j’y connais rien mais les intégrales comme KH sont plus proches de Riemann que de Lebesgue et sont intéressantes (donc faire de la Riemann-intégrabilité est peut-être une étape intermédiaire).

On peut faire ce que tu cherches, Lucas-84 en avait parlé à un moment. Tu peux voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_sommable Mais apparemment c’est moins utilisé que la sommabilité absolue (c’est la même chose quand les séries sont à valeurs dans $ℝ$), qui est la même chose que l’intégrabilité au sens de Lebesgue de la série vue en tant que fonction de $ℕ$ vers $ℝ$.

blo yhg

Ok, merci pour le lien je vais regarder ça.

InaDeepThink

Les familles sommables c’est au programme de prépa, btw (uniquement à valeurs dans des evn de dimension finie, donc équivalent à l’absolue sommabilité).

Édité par Lucas-84

Lebesgue (comment ça se prononce ce nom d’ailleurs :p ? )

Comme "le bègue". ^^

Ok merci :p

Si si, justement. Les contre-exemples vérifient ça en général ($f$ intégrable). Si $∫ |f_n|$ est borné, alors $∫ |f|$ est aussi bornée par la même valeur (exercice). Donc en gros ça ne va pas trop arriver que $∫ |f| = ∞$ dans un cas intéressant, ça voudrait dire que $∫ |f_n|$ tend vers l’infini (bon, il se peut que $∫ f_n$ tend quand même vers quelque chose mais ça va être un peu bizarre quand même).

Pour ton exercice, soit je n’ai pas compris soit c’est faux. Si $\int_I \mid f_n \mid$ est majorée pour un certain $n$ (peut-être que tu voulais dire pour tout $n$ ? ), il suffit de prendre : $I = [1, \infty[$, et $f_n = 1/x - (1/x)^n$, pour $n = 1$, l’intégrale est nulle donc elle est majorée mais l’intégrale de $f$ tend vers l’infini.

En fait je viens de comprendre pourquoi je ne comprenais pas la condition, c’est que je ne sais pas pourquoi j’avais en tête : non-intégrable = admet un trop gros nombre de points de discontinuité (mais j’avais pas l’hypothèse : donc peut "exploser" vers l’infinie en un point). Parce-qu’en fait, si on a une fonction non-intégrable qui est borné, bah au pire on prend son sup et dans ce cas là on a bien l’hypothèse de domination, donc ce que je disais étais con.

On pose des mesures dessus et on fait de l’intégrale de Lebesgue. Mais je crois avoir déjà croisé un truc qui parlait d’intégrale de Riemann sur la sphère…

blo yhg

:soleil:

La seule raison de faire ça, c’est parce que c’est plus simple à définir. Je pense pas qu’on parle trop de Riemann-intégrabilité aujourd’hui, en dehors du programme de prépa… Après j’y connais rien mais les intégrales comme KH sont plus proches de Riemann que de Lebesgue et sont intéressantes (donc faire de la Riemann-intégrabilité est peut-être une étape intermédiaire).

J’ai aussi l’impression qu’en prépa on ne voit que le cas des fonctions continues par morceaux, dans le sens ou on voit ce qu’est la définition de Riemann-intégrabilité mais tous les théorèmes qu’on voit ne sont jamais dans le cas "intégrable", mais "continue par morceaux". Je ne sais pas trop pourquoi… mais en tout cas les hypothèses c’est toujours ça.

Les familles sommables c’est au programme de prépa, btw (uniquement à valeurs dans des evn de dimension finie, donc équivalent à l’absolue sommabilité).

Lucas-84

Je n’avais pas vu que c’était sur les familles sommables. Mais en fait ce qui est marrant, c’est que j’ai vu ce chapitre mais dans mon cours il ne le présente pas du tout comme une façon de palier les problèmes de convergence lorsqu’on réordonne donc c’est bête mais je n’avais pas du compris que ça servait à ça, heureusement que je m’en rend compte maintenant… (merci blo yhg)

+0 -0

Pour ton exercice, soit je n’ai pas compris soit c’est faux. Si $\int_I \mid f_n \mid$ est majorée pour un certain $n$ (peut-être que tu voulais dire pour tout $n$ ? ), il suffit de prendre : $I = [1, \infty[$, et $f_n = 1/x - (1/x)^n$, pour $n = 1$, l’intégrale est nulle donc elle est majorée mais l’intégrale de $f$ tend vers l’infini.

Oui oui, je voulais dire qu’il existe une constante $M<∞$ telle que $∫ |f_n| < M$ pour tout $n∈ℕ$. Si c’est le cas, alors $∫ |f| < M$. C’est une application du lemme de Fatou.

En fait je viens de comprendre pourquoi je ne comprenais pas la condition, c’est que je ne sais pas pourquoi j’avais en tête : non-intégrable = admet un trop gros nombre de points de discontinuité (mais j’avais pas l’hypothèse : donc peut "exploser" vers l’infinie en un point). Parce-qu’en fait, si on a une fonction non-intégrable qui est borné, bah au pire on prend son sup et dans ce cas là on a bien l’hypothèse de domination, donc ce que je disais étais con.

Tu pensais plutôt à la non-mesurabilité, qui comprend la non-intégrabilité mais est beaucoup plus pathologique (ça demande l’axiome du choix pour construire une fonction non mesurable). edit D’ailleurs une fonction peut n’être nulle part continue mais être intégrable, par exemple l’indicatrice de $ℚ$.

Édité par blo yhg

+1 -0

Oui oui, je voulais dire qu’il existe une constante $M<∞$ telle que $∫ |f_n| < M$ pour tout $n∈ℕ$. Si c’est le cas, alors $∫ |f| < M$. C’est une application du lemme de Fatou.

Bon, je vais tout faire au sens de Riemann car je ne connais pas Lebesgue.

Déjà, on commence par montrer que $f$ est intégrable, pour cela on va utiliser le théorème de convergence dominée. Remarquons déjà, qu’on a la convergence simple : $\mid f_n \mid \rightarrow \mid f \mid$, il nous faut donc prouver que si l’intégrale des $ \mid f_n \mid$ est majorée par une constante $M$ alors il existe une fonction intégrable $g$ qui domine les $\mid f_n \mid, \forall n$.

Ici, c’est un peu "tricky". Puisque les $\mid f_n \mid$ sont intégrables sur $I$, on en déduit deux choses :

  • si les $ \mid f_n \mid$ sont bornées, alors elles admettent un nombre de points de discontinuité de mesure nulle, et dans ce cas là on peut prendre directement : $g = \sup_{n \in \mathbb{N}} \sup_I \mid f_n \mid $, et on a bien l’hypothèse de domination par une fonction intégrable.

  • maintenant si il existe au moins un $n$ tels que la fonction : $\mid f_n \mid$ n’est pas bornée, alors il faut discuter plusieurs cas. Puisque : $\mid f_n \mid$ est positif, alors $f_n$ ne peut pas valoir l’infini sur un ouvert sinon son intégrale ne serait pas majorée. (On remarque d’ailleurs que l’infini est une limite, on ne peut donc pas définir une fonction $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ qui vaut l’infini en un point $x$ et qui ne soit pas continue sur une boule ouverte cenré en $x$, je me trompe ? Par contre, on peut définir des fonctions valant l’infini en un point en se plaçant sur $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$, l’infini n’est alors plus considéré comme une limite mais comme un point de l’espace). Bref, si elle n’est pas majorée, elle ne l’est pas sur un nombre de points de mesure nulle que l’on note $A$, remarquons que sur $I-A$, les $f_n$ sont majorées. On peut donc définir la fonction de domination $g$ de la manière suivante :

$$ g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \infty & \mbox{si } x \in A \\ \sup_{n \in \mathbb{N}} \sup_{I-A} \mid f_n \mid & \mbox{sinon.} \end{array} \right. $$

Normalement, $g$ est bien définie puisque dans le cas ou $A$ est non vide on doit obligatoirement avoir les $f_n$ qui prennent leur image dans un ensemble de la forme : $E \cup \{\infty \}$, puisque sur aucun ouverts elles ne valent : $\infty$ et qu’elles sont intégrables. Puisque $f$ à ses valeurs dans l’espace d’arrivée, on en déduit que l’espace d’arrivée est obligatoirement de la forme : $E \cup \{\infty \}$.

Pour que cela soit plus clair voilà une suite de fonction $f_n$ qui pourrait produire ce résultat :

$$ f_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2^n & \mbox{si } x = 0 \\ 0 & \mbox{sinon.} \end{array} \right. $$

Cette suite converge vers $f = \infty$ si $x = 0$ et vers $f = 0$ sinon. On en déduit que l’espace d’arrivée est : $\mathbb{R} \cup \{\infty \}$.

Ainsi, on a trouvé une fonction qui domine les $f_n$, donc on peut appliquer le théorème de convergence dominée. On a alors :

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_I \mid f_n(x) \mid \mathrm{d}x = \int_I \mid f(x) \mid \mathrm{d}x$$

Or la limite passe bien aux inégalités d’ou le résultat.

EDIT : oublie d’une valeur absolue et d’un $\sup$.

Édité par InaDeepThink

+0 -0

J’ai pas tout compris mais je te suggère d’appliquer ton raisonnement au contre-exemple suivant de la convergence de $∫ f_n$ vers $∫ f$ sans l’hypothèse de domination : prendre $f_n = n 𝟙_{[0,1/n]}$. Normalement il foire car ta conclusion est fausse (tu obtiens une égalité).

Mais je pense que tu devrais plutôt voir un cours sur l’intégrale de Lebesgue, c’est des trucs classiques qui y sont forcément présentés tout ça.

Édité par blo yhg

+1 -0

Oui, en fait je n’avais pas pensé à ce cas "classique" (dans le sens : source de nombreux contre-exemples). Donc, je crois que ce que j’ai fais ne marche que dans le cas ou les $f_n$ sont définies sur des ensembles fixes ne dépendant pas de $n$. C’est à dire qu’elles sont définies par morceaux sur des ensembles dont la mesure ne dépend pas de $n$. A moins qu’il y est un cas que j’ai encore loupé mais je ne crois pas, parce-que le seul moyen d’avoir une fonction qui n’est pas mojarable comme je l’ai fais (avec une fonction intégrable) c’est qu’elle "grandit en hauteur mais dimininue en largeur". On est d’accord ?

edit D’ailleurs une fonction peut n’être nulle part continue mais être intégrable, par exemple l’indicatrice de $ℚ$.

blo yhg

Au sens de Lebesgue peut-être mais pas au sens de Riemann.

Mais je pense que tu devrais plutôt voir un cours sur l’intégrale de Lebesgue, c’est des trucs classiques qui y sont forcément présentés tout ça.

blo yhg

Oui, il faudrait peut-être que je fasse ça. Voilà qui me semble être un bon début.

Édité par InaDeepThink

+0 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte