Peut-on écrire une dérivée partielle pour une fonction d'une variable ?

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Auteur du sujet

Salut à tous,

J’ai toujours pensé que les dérivées partielles étaient exclusivement réservées aux fonctions de plusieurs variables, mais il semblerait que je me trompe :

Dans le cas où la fonction ne dépend que d’une seule variable, la dérivée et la dérivée partielle sont identiques :

f=dfdx=fxf' = \dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx} = \dfrac{\partial f}{\partial x}

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e_partielle

Cependant, je reste assez critique face à Wikipédia et je voulais avoir votre avis sur la question.

Pour moi, si fC1(R,R)f \in C^1(\mathbb R, \mathbb R), alors fx\dfrac{\partial f}{\partial x} n’a pas de sens mathématique, au sens strict (car les dérivées partielles ne sont pas définies sur les fonctions à une variable).

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Ça m’est déjà arrivé, en science, d’écrire ça. Ou ce genre d’égalité. Surtout quand on a une fonction genre : f(x,y,z)f(x,y,z) puis dans le premier exo on dit : On fais la manipulation iso-y (dy=0\mathrm dy = 0) et iso-z (\mathrm dz = 0).

Du coups on écrit :

df=fxdx+fydy=0+fzdz=0=fxdx\mathrm df = \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm dx + \underbrace{\frac{\partial f}{\partial y} \mathrm dy }_{=0}+ \underbrace{\frac{\partial f}{\partial z} \mathrm dz }_{=0} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \mathrm dx

Ce qui nous donne :

df=fxdx\mathrm df = \dfrac{\partial f}{\partial x}\mathrm dx
dfdx=fx\dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx} = \dfrac{\partial f}{\partial x}

Édité par Blackline

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

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Salut,

car les dérivées partielles ne sont pas définies sur les fonctions à une variable

Bah si, et dans ce cas particulier la définition coincide avec celle de dérivée totale. Donc il n’y a pas de raison valable pour s’interdire d’écrire des dérivées partielles sur des fonctions à une variable.

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Auteur du sujet

Merci pour les réponses !

Pour moi, écrire dfdx\dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx} ne donne pas la même information sur ff que d’écrire fx\dfrac{\partial f}{\partial x}.
Dans la première notation, on sait que ff est une fonction d’une variable, alors que dans la deuxième, ff possède au moins une variable.

En écrivant des dérivées partielles sur des fonctions à une variable, je pense qu’on perd en précision dans les notations.


@Blackline

Je suis un peu difficile, mais comment justifies-tu mathématiquement le passage de la première à la deuxième ligne ?

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avec la simple idée que dy = 0 . C’est le cas particulier où l’on se place pour que l’égalité soit valide. Après moi j’suis pas rigoureux j’suis du genre a dire "je divise par dx avec dy=0, du coups j’ai df/dx ma differentielle pépouze"

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Auteur du sujet

Je te comprends ^^

Tout le monde en pratique se permet de 'diviser' par dx, mais on n’apprend jamais à l’école pourquoi on peut se permettre cet abus. ça me laisse un peu dans l’incompréhension, j’ai l’impression de faire des trucs sans savoir pourquoi ça fonctionne…

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On est effectivement moins explicite, mais c’est pas un drame. Tout dépend du contexte, parfois on ne veut pas se restreindre à des fonctions strictement à plusieurs variables sans se manger une notation particulière pour les fonctions à une variable.

@Blackline: ton exemple n’est pas très satisfaisant, si la fonction ff est à plusieurs variables mais qu’on étudie ce qui se passe selon une seule direction, on devrait définir une nouvelle fonction à une variable. La différentielle totale de ff va pas changer, c’est la fonction elle même qui n’est plus la même…

EDIT : diviser par dx n’est pas un abus, en fait. Si on ne le montre pas à l’école, c’est parce que ça demande des notions de géometrie différentielle.

Édité par adri1

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Pour moi, écrire dfdx\dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx} ne donne pas la même information sur ff que d’écrire fx\dfrac{\partial f}{\partial x}.
Dans la première notation, on sait que ff est une fonction d’une variable, alors que dans la deuxième, ff possède au moins une variable.

En écrivant des dérivées partielles sur des fonctions à une variable, je pense qu’on perd en précision dans les notations.

Ludwig

AMA, quand tu écris fx\frac{\partial f}{\partial x} ou dfdx\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}, tu es quand même sensé avoir défini avant ce qu’est ff, ce n’est pas à cette équation de te dire la nature de ff.

Édité par Freedom

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Auteur du sujet

On est effectivement moins explicite, mais c’est pas un drame. Tout dépend du contexte, parfois on ne veut pas se restreindre à des fonctions strictement à plusieurs variables sans se manger une notation particulière pour les fonctions à une variable.

Tu m’as convaincu ! ^^

EDIT : diviser par dx n’est pas un abus, en fait. Si on ne le montre pas à l’école, c’est parce que ça demande des notions de géometrie différentielle.

Ah d’accord…

Et pour étancher ma soif de connaissance, l’opérateur division est-il proprement défini pour des dx ?
J’ai des bases en algèbre linéaire si ça peut m’aider à comprendre…

@Freedom

C’est vrai, mais peut-être est-ce moins propre dans les notations ?

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définir une nouvelle fonction à une variable.

On devrait faire :

f(x,y,z)dy=0,dz=0f(x)f(x,y,z) \xrightarrow{\mathrm dy\;=\;0,\;\mathrm dz\;=\;0} f(x)

??

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

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@adri1: Tu définis comment la division de deux formes différentielles ?

@Ludwig: Je ne vois pas pourquoi, si tu considères les deux notations que tu as donné et leur définition, elles s’appliquent à une fonction ff d’une seule variable. Notations non ambiguës, objets bien définis, notations usuelles, je ne vois rien qui rend cette notation moins propre.

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Auteur du sujet

@Ludwig: Je ne vois pas pourquoi, si tu considères les deux notations que tu as donné et leur définition, elles s’appliquent à une fonction ff d’une seule variable. Notations non ambiguës, objets bien définis, notations usuelles, je ne vois rien qui rend cette notation moins propre.

C’est vrai, je me complique un peu trop la vie ! :-°

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@adri1: Tu définis comment la division de deux formes différentielles ?

Freedom

Tu peux pas dans le cas général parce qu’on comprend bien que deux formes différentielles sont pas forcément multiples l’une de l’autre. Par contre, dans le cas où du\mathrm du et dv\mathrm dv sont "colinéaires" dans l’espace tangent, il est facile de définir le quotient entre les deux comme étant leur coefficient de proportionnalité. Avec les fonctions à une variable, ça marche bien tout le temps évidemment puisque l’espace tangent n’a qu’une dimension.

définir une nouvelle fonction à une variable.

On devrait faire :

f(x,y,z)dy=0,dz=0f(x)f(x,y,z) \xrightarrow{\mathrm dy\;=\;0,\;\mathrm dz\;=\;0} f(x)

??

Blackline

Je comprends pas du tout ce que ta notation est censée vouloir dire. La différentielle que tu as écris à yy et zz constant n’est pas la différentielle de ff, c’est la différentielle de xf(x,y0,z0)x\mapsto f(x,y_0,z_0).

Édité par adri1

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Ah oui totalement, pardon, j’voulais dire un truc comme ça plutôt :

df(x,y,z)dy=0,dz=0df(x)\mathrm df(x,y,z) \xrightarrow{\mathrm dy\;=\;0,\;\mathrm dz\;=\;0} \mathrm df(x)

??

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

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Ta notation avec une flèche est assez étrange… Et puis, la fonction en question, c’est plus ff du coup, c’en est une autre. Je sais bien qu’en physique et en chimie, on se prend pas trop la tête et on écrit de la même façon des fonctions différentes (ce qui marche bien quand on sait ce qu’on fait), mais si on commence à vouloir regarder un peu ce qui passe d’un point de vue mathématique, on est obligé d’être un peu plus rigoureux dans les notations.

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J’ai un peu de mal à voir où tu veux aller @Blackline ?

Tu veux écrire df(x,y,z)fx(x,y,z)dx\mathrm{d}f(x,y,z) \approx \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) \mathrm{d}x ? Dans ce cas les conditions de validité doivent s’écrire, fy(x,y,z), fz(x,y,z)fx(x,y,z)\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z),~\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) \ll \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z), éventuellement localement, (x,y,z)V(x,y,z) \in \mathcal{V}.

PS: Mathématiquement, il faut sûrement considérer une norme et les dx||\mathrm{d}x||, pour juger la validité.

@adri1: En passant par la "colinéarité" je suis d’accord, mais je ne crois pas avoir déjà vu l’utilisation de df=αdx\mathrm{d}f=\alpha \mathrm{d}x pour tirer la conclusion dfdx=α\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \alpha, tu as une référence où c’est fait explicitement de cette manière ?

Édité par Freedom

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@adri1: Tu définis comment la division de deux formes différentielles ?

La façon pratique définir la division est de faire la chose suivante :

dydx=dy(/x)\frac{dy}{dx} = dy(\partial/\partial x)

ce qui fait sens en géométrie différentielle puisque les 1-formes sont des formes sur les vecteurs tangents (dont /x\partial/\partial x) fait partie.


Je rajouterai que la manipulation classique :

fx=fyyx\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}

est un simple changement de variable, et donc est légitime si, et seulement si y(x)y(x) est de dérivée non nulle.

Édité par Holosmos

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Auteur du sujet

@Holosmos :

Depuis ta définition, pourrais-je écrire ce qui suit ?


Soit VV, l’ensemble des 1-formes différentielles.

Soit //, l’opérateur de division dans VV qu’on cherche à définir.

Définition de // :

/:V×VV:(dx,dy)dy/dx=dy(x)/ : V \times V \rightarrow V : (\mathrm dx, \mathrm dy) \rightarrow \mathrm dy / \mathrm dx = \mathrm dy (\dfrac{\partial}{\partial x})


Après j’écris des trucs que je ne comprends pas à 100%, je tente ma chance ! :-°

Édité par anonyme

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@adri1: Tu définis comment la division de deux formes différentielles ?

La façon pratique définir la division est de faire la chose suivante :

dydx=dy(/x)\frac{dy}{dx} = dy(\partial/\partial x)

ce qui fait sens en géométrie différentielle puisque les 1-formes sont des formes sur les vecteurs tangents (dont /x\partial/\partial x) fait partie.

Holosmos

Ah, il me semblait bien que tu avais déjà mentionné un truc plus propre que mon histoire de colinéarité. Tu as un bon bouquin à conseiller sur le sujet ?

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