Peut-on écrire une dérivée partielle pour une fonction d'une variable ?

Salut à tous,

J’ai toujours pensé que les dérivées partielles étaient exclusivement réservées aux fonctions de plusieurs variables, mais il semblerait que je me trompe :

Cependant, je reste assez critique face à Wikipédia et je voulais avoir votre avis sur la question.

Pour moi, si $f \in C^1(\mathbb R, \mathbb R)$, alors $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ n’a pas de sens mathématique, au sens strict (car les dérivées partielles ne sont pas définies sur les fonctions à une variable).

Ça m’est déjà arrivé, en science, d’écrire ça. Ou ce genre d’égalité. Surtout quand on a une fonction genre : $f(x,y,z)$ puis dans le premier exo on dit : On fais la manipulation iso-y ($\mathrm dy = 0$) et iso-z (\mathrm dz = 0).

Du coups on écrit :

Ce qui nous donne :

Merci pour les réponses !

Pour moi, écrire $\dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx}$ ne donne pas la même information sur $f$ $$ que d’écrire $\dfrac{\partial f}{\partial x}$.
Dans la première notation, on sait que $f$ $$ est une fonction d’une variable, alors que dans la deuxième, $f$ $$ possède au moins une variable.

En écrivant des dérivées partielles sur des fonctions à une variable, je pense qu’on perd en précision dans les notations.

@Blackline

Je suis un peu difficile, mais comment justifies-tu mathématiquement le passage de la première à la deuxième ligne ?

Je te comprends

Tout le monde en pratique se permet de 'diviser' par dx, mais on n’apprend jamais à l’école pourquoi on peut se permettre cet abus. ça me laisse un peu dans l’incompréhension, j’ai l’impression de faire des trucs sans savoir pourquoi ça fonctionne…

On est effectivement moins explicite, mais c’est pas un drame. Tout dépend du contexte, parfois on ne veut pas se restreindre à des fonctions strictement à plusieurs variables sans se manger une notation particulière pour les fonctions à une variable.

Tu m’as convaincu !

EDIT : diviser par dx n’est pas un abus, en fait. Si on ne le montre pas à l’école, c’est parce que ça demande des notions de géometrie différentielle.

Ah d’accord…

Et pour étancher ma soif de connaissance, l’opérateur division est-il proprement défini pour des dx ?
J’ai des bases en algèbre linéaire si ça peut m’aider à comprendre…

@Freedom

C’est vrai, mais peut-être est-ce moins propre dans les notations ?

définir une nouvelle fonction à une variable.

On devrait faire :

??

@adri1: Tu définis comment la division de deux formes différentielles ?

@Ludwig: Je ne vois pas pourquoi, si tu considères les deux notations que tu as donné et leur définition, elles s’appliquent à une fonction $f$ d’une seule variable. Notations non ambiguës, objets bien définis, notations usuelles, je ne vois rien qui rend cette notation moins propre.

@Ludwig: Je ne vois pas pourquoi, si tu considères les deux notations que tu as donné et leur définition, elles s’appliquent à une fonction $f$ d’une seule variable. Notations non ambiguës, objets bien définis, notations usuelles, je ne vois rien qui rend cette notation moins propre.

C’est vrai, je me complique un peu trop la vie !

Ah oui totalement, pardon, j’voulais dire un truc comme ça plutôt :

??

Ta notation avec une flèche est assez étrange… Et puis, la fonction en question, c’est plus $f$ du coup, c’en est une autre. Je sais bien qu’en physique et en chimie, on se prend pas trop la tête et on écrit de la même façon des fonctions différentes (ce qui marche bien quand on sait ce qu’on fait), mais si on commence à vouloir regarder un peu ce qui passe d’un point de vue mathématique, on est obligé d’être un peu plus rigoureux dans les notations.

J’ai un peu de mal à voir où tu veux aller @Blackline ?

Tu veux écrire $\mathrm{d}f(x,y,z) \approx \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) \mathrm{d}x$ ? Dans ce cas les conditions de validité doivent s’écrire, $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z),~\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) \ll \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)$, éventuellement localement, $(x,y,z) \in \mathcal{V}$.

PS: Mathématiquement, il faut sûrement considérer une norme et les $||\mathrm{d}x||$, pour juger la validité.

@adri1: En passant par la "colinéarité" je suis d’accord, mais je ne crois pas avoir déjà vu l’utilisation de $\mathrm{d}f=\alpha \mathrm{d}x$ pour tirer la conclusion $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \alpha$, tu as une référence où c’est fait explicitement de cette manière ?

@adri1: Tu définis comment la division de deux formes différentielles ?

La façon pratique définir la division est de faire la chose suivante :

$\frac{dy}{dx} = dy(\partial/\partial x)$

ce qui fait sens en géométrie différentielle puisque les 1-formes sont des formes sur les vecteurs tangents (dont $\partial/\partial x$) fait partie.

Je rajouterai que la manipulation classique :

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}$

est un simple changement de variable, et donc est légitime si, et seulement si $y(x)$ est de dérivée non nulle.

@Holosmos :

Depuis ta définition, pourrais-je écrire ce qui suit ?

Soit $V$, l’ensemble des 1-formes différentielles.

Soit $/$, l’opérateur de division dans $V$ qu’on cherche à définir.

Définition de $/$ :

$/ : V \times V \rightarrow V : (\mathrm dx, \mathrm dy) \rightarrow \mathrm dy / \mathrm dx = \mathrm dy (\dfrac{\partial}{\partial x})$

Après j’écris des trucs que je ne comprends pas à 100%, je tente ma chance !

Ah, il me semblait bien que tu avais déjà mentionné un truc plus propre que mon histoire de colinéarité. Tu as un bon bouquin à conseiller sur le sujet ?

Généralement les bouquins de matheux de geo diff font le taff. Spivak a un passage dans son premier volume où il compare les notions naives avec les formalisées