D'où vient l'accélération centrifuge ?

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour.

Je cherche l’expression de l’accélération d’une masse ponctuelle A dans un MCU :

a⃗A=ddt(v⃗A)\vec{a}_A = \dfrac{d}{dt}(\vec{v}_A)

Connaissant la vitesse VA et en me basant sur la formule ci-dessus, je ne tiens pas compte de l’accélération centrifuge.
J’ajoute « à la main » cette accélération centrifuge qui vaut Rω²R\omega².

En fait, je ne comprends pas d’où vient physiquement cette accélération centrifuge et comment arriver à son expression.
Cela revient à se poser la question suivante : pourquoi la masse fuit-elle le centre ?
Comment cela se marque-t-il dans les équations mathématiques ?
Wikipédia n’est pas d’une grande aide, je ne comprends pas leurs explications.

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Salut,

C’est pas que la masse fuit le centre, c’est que sans force extérieure nette, la masse irait en ligne droite. Si tu veux la faire aller en cercle, il faut lui appliquer une force centripète (assurée par une corde par exemple, ou bien par l’interaction gravitationnelle si tu prends le cas de deux planètes tournant l’une autour de l’autre).

Dans un référentiel galiléen (donc non tournant), on peut écrire ma⃗=f⃗cm\vec a=\vec f_c avec f⃗c\vec f_c la force centripète. Lorsqu’on passe dans un référentiel tournant, on ne peut plus écrire ∑f=ma⃗\sum f=m\vec a. Il faut prendre en compte l’accélération du repère tournant par rapport au repère galiléen. On va pouvoir écrire dans ce repère ∑f=m(a⃗+a⃗c)\sum f=m(\vec a+\vec a_c) avec a⃗c\vec a_c l’accélération centrifuge. Si on réarrange dans le cas où on a seulement une force centripète, on obtient ma⃗=f⃗c−ma⃗cm\vec a = \vec f_c - m\vec a_c. Le terme −ma⃗c-m\vec a_c, qui est juste un terme de changement de repère, est ce que certains appellent la "force centrifuge" mais qui n’est pas une force au sens physique du terme. Dans le cas d’un MCU, la masse ne bouge pas dans le repère tournant (i.e. a=0a=0), on a donc f⃗c=ma⃗c\vec f_c = m\vec a_c directement.

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Concernant l’expression, j’ai un peu réfléchi à comment présenter ça de façon simple, dis moi si c’est compréhensible.

Prends un repère cartésien galiléen à deux dimensions, avec x^\hat x et y^\hat y les vecteurs unitaires dans les deux directions. Si tu tournes en rond autour du centre de ce repère avec une vitesse de rotation ω\omega et à une distance RR du centre, ta position p⃗\vec p en fonction du temps dans ce repère est

p⃗=R(cos⁡(ωt)x^+sin⁡(ωt)y^)\vec p=R(\cos(\omega t)\hat x+\sin(\omega t)\hat y)

(c’est juste de la trigo, tu peux t’en convaincre facilement avec un petit dessin).

Ton accélération dans ce repère (i.e. l’accélération centripète à appliquer pour que la masse fasse ce mouvement circulaire) est donc

d2p⃗dt2=−Rω2(cos⁡(ωt)x^+sin⁡(ωt)y^)\dfrac{\mathrm d^2\vec p}{\mathrm dt^2}=-R\omega^2(\cos(\omega t)\hat x+\sin(\omega t)\hat y)

Si on se place maintenant dans un repère tournant, on peut remarquer que le vecteur unitaire dans la direction radiale r^\hat r n’est autre que cos⁡(ωt)x^+sin⁡(ωt)y^\cos(\omega t)\hat x+\sin(\omega t)\hat y (là encore, de la trigo).

Dans ce repère, on a p⃗=Rr^\vec p=R\hat r et (d2p⃗dt2)c=−Rω2r^\left(\dfrac{\mathrm d^2\vec p}{\mathrm dt^2}\right)_c=-R\omega^2\hat r. (Le cc en indice de la dérivée seconde indique que le calcul est effectué dans le repère cartésien.) Ça, c’est l’accélération centripète, mais comme vu dans mon précédent message, l’accélération radiale étant nulle pour un MCU, on peut en déduire l’expression de l’accélération centrifuge qui est telle que a⃗c+(d2p⃗dt2)c=0\vec a_c+\left(\dfrac{\mathrm d^2\vec p}{\mathrm dt^2}\right)_c=0, soit

a⃗c=Rω2r^\vec a_c = R\omega^2\hat r

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Bonjour.

Je cherche l’expression de l’accélération d’une masse ponctuelle A dans un MCU :

a⃗A=ddt(v⃗A)\vec{a}_A = \dfrac{d}{dt}(\vec{v}_A)

Connaissant la vitesse VA et en me basant sur la formule ci-dessus, je ne tiens pas compte de l’accélération centrifuge.
J’ajoute « à la main » cette accélération centrifuge qui vaut Rω²R\omega².

En fait, je ne comprends pas d’où vient physiquement cette accélération centrifuge et comment arriver à son expression.
Cela revient à se poser la question suivante : pourquoi la masse fuit-elle le centre ?
Comment cela se marque-t-il dans les équations mathématiques ?
Wikipédia n’est pas d’une grande aide, je ne comprends pas leurs explications.

Nuage

J’trouve ça vachement compliqué. J’aurais eu tendance à dire :

Dans l’énergie cinétique il y a l’énergie cinétique de rotation et de translation. les deux peuvent voir apparraitre les accélérations respectives

Ec=Ect+EcrE_c = E_{ct} + E_{cr}
Ect=12mv2=12mRatE_{ct} = \dfrac 12 mv^2 = \dfrac 12 mRa_t

via a=v2Ra = \dfrac{v^2}{R}

Ecr=12IΔω2=12mRarE_{cr} = \dfrac 12 I_\Delta\omega^2 = \dfrac 12 mRa_r

via IΔ=mR2I_\Delta = mR^2 et donc :

mRar=IΔω2mRa_r = I_\Delta\omega^2
mRar=mR2ω2mRa_r = mR^2\omega^2
ar=Rω2a_r = R\omega^2

Je ne sais pas si c’est rigoureux, j’passe par les loi de Kepler je crois enfin bref :p J’dis ça juste pour voir ce que t’en penses @Adri1 ?

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Merci pour les réponses !

@adri1 : Dans ton premier message, lorsque tu écris vers la fin f⃗c=ma⃗c\vec f_c = m \vec a_c, pourquoi la force centripète est-elle dans la même direction que l’accélération centrifuge ?

Pour la formalisation, je fais ça sur un bout de papier et je reviens vers le sujet.

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@Blackline : je suis pas sûr de voir ce que tu veux démontrer, là… C’est un peu circulaire (ahah) de se servir de l’expression de l’énergie de rotation et du moment d’inertie pour en déduire l’expression de l’accélération radiale. Techniquement, c’est l’inverse qu’on fait, on voit que dans un repère tournant on a une pseudo-force qui apparaît, et c’est à partir de ça qu’on construit les énergies associées.

@adri1 : Dans ton premier message, lorsque tu écris vers la fin f⃗c=ma⃗c\vec f_c = m \vec a_c, pourquoi la force centripète est-elle dans la même direction que l’accélération centrifuge ?

Nuage

Ça vient juste du fait que je l’ai construite dans le sens opposé au sens classique (qui est celui utilisé dans mon deuxième message). En soit, ça a peu d’importance, ça dépend juste de si tu écris a⃗+a⃗c=1m∑f⃗\vec a+\vec a_c = \dfrac 1m\sum \vec f (premier message, pas usuel) ou si tu écris a⃗=a⃗c+1m∑f\vec a=\vec a_c+\dfrac 1m\sum f (sens classique qui fait "mieux" apparaître le terme d’accélération centrifuge comme une force).

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Merci pour les réponses !

@adri1 : Dans ton premier message, lorsque tu écris vers la fin f⃗c=ma⃗c\vec f_c = m \vec a_c, pourquoi la force centripète est-elle dans la même direction que l’accélération centrifuge ?

Pour la formalisation, je fais ça sur un bout de papier et je reviens vers le sujet.

Nuage

Techniquement, c’est l’inverse qu’on fait, on voit que dans un repère tournant on a une pseudo-force qui apparaît, et c’est à partir de ça qu’on construit les énergies associées.

Adri1

Je vois ce que tu veux dire

En fait, je ne comprends pas d’où vient physiquement cette accélération centrifuge et comment arriver à son expression.

Nuage

J’essayais de répondre à "comment arriver à son expression", une méthode rapide pour retrouver l’égalité. Mais je suis d’accord avec toi, ce n’est pas comme ça qu’est défini cette accélération. :)

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Si j’ai bien compris, dans le cas du MCU :

La position, la vitesse et l’accélération a⃗t\vec a_t de la masse sont nulles dans le repère tournant parce que dernier est attaché à la masse.
L’accélération a⃗g\vec a_g de la masse vue du repère galiléen et exprimée à l’aide des vecteurs de la base tournante (r,θ,z)(r, \theta, z) vaut :

a⃗g=−Rω2 r^                   (ω=θ˙)\vec a_g = -R\omega^2\ \hat r \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\omega = \dot \theta)

Si l’on souhaite exprimer maintenant a⃗t\vec a_t à partir de a⃗g\vec a_g, on obtient :

a⃗t=a⃗g+a⃗c=0⃗\vec a_t = \vec a_g + \vec a_c = \vec 0

L’accélération inconnue a⃗c\vec a_c vaut donc :  a⃗c=Rω2 r^\ \vec a_c = R\omega^2\ \hat r
Cette accélération a⃗c\vec a_c, appelée accélération centrifuge, est donc une accélération « virtuelle » qui exprime que la masse ne bouge pas dans le repère tournant.

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Je crois que la méthode de @adri est la plus proche de comment ces accélérations sont définies. Il faut partir du fait que l’on a deux référentiels, l’un galiléen "fixe" R\mathfrak{R}, et l’un en rotation R′\mathfrak{R'}.

Les formules importantes sont : ddt⋅=δδt⋅+ω⃗∧⋅\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cdot=\dfrac{\delta}{\delta t}\cdot + \vec{\omega}\wedge\cdot La première dérivée est la dérivée par rapport référentiel galiléen, la seconde est la dérivée par rapport au référentiel en rotation, et ω⃗\vec{\omega} décrit la rotation du référentiel. On a alors: ddtro⃗=δδtr⃗o′+ω⃗∧r⃗o′+ddtb⃗\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r_{o}}=\dfrac{\delta}{\delta t}\vec{r}_{o'}+\vec{\omega}\wedge\vec{r}_{o'}+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{b} v⃗a=v⃗r+v⃗e\vec{v}_a = \vec{v}_r+\vec{v}_e avec v⃗e=ω⃗∧r⃗o′+ddtb⃗\vec{v}_e=\vec{\omega}\wedge\vec{r}_{o'}+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{b} la vitesse d’entrainement et v⃗=δδtr⃗o′\vec{v}_=\dfrac{\delta}{\delta t}\vec{r}_{o'} la vitesse relative (et b⃗\vec{b} la position de l’origine du repère en rotation).

Il suffit de réappliquer une fois la formule pour avoir l’accélération: d2dt2ro⃗=(δδt⋅+ω⃗∧⋅)(δδtr⃗o′+ω⃗∧r⃗o′+ddtb⃗)\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\vec{r_{o}}=\left(\dfrac{\delta}{\delta t}\cdot+\vec{\omega}\wedge\cdot\right)\left(\dfrac{\delta}{\delta t}\vec{r}_{o'}+\vec{\omega}\wedge\vec{r}_{o'}+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{b}\right) d2dt2ro⃗=δ2δt2r⃗o′+d2dt2b⃗+ω⃗∧(ω⃗∧r⃗o′)+dω⃗dt∧r⃗o′+2ω⃗∧δδtr⃗o′\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\vec{r_{o}}=\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}\vec{r}_{o'}+\dfrac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}\vec{b}+\vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\vec{r}_{o'})+\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\wedge\vec{r}_{o'}+2\vec{\omega}\wedge\dfrac{\delta}{\delta t}\vec{r}_{o'} a⃗a=a⃗r+a⃗e+a⃗c\vec{a}_a=\vec{a}_r+\vec{a}_e+\vec{a}_c Où a⃗r=δ2δt2r⃗o′\vec{a}_r=\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}\vec{r}_{o'} est l’accélération relative, a⃗e=d2dt2b⃗+ω⃗∧(ω⃗∧r⃗o′)+dω⃗dt∧r⃗o′\vec{a}_e=\dfrac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}\vec{b}+\vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\vec{r}_{o'})+\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\wedge\vec{r}_{o'} est l’accélération d’entrainement et a⃗c=2ω⃗∧δδtr⃗o′\vec{a}_c=2\vec{\omega}\wedge\dfrac{\delta}{\delta t}\vec{r}_{o'} est l’accélération de Coriolis.

Voilà Voilà ^^ . Dans ton cas, on a un objet qui est astreint à se mouvoir sur un cerlce par une force, on a donc b⃗=0\vec{b}=0. L’accélération de coriolis et relative valent aussi zéro (l’un entraîne l’autre) et la rotation est à vitesse constante. On a donc a⃗a=ω⃗∧(ω∧r⃗o′)=−ω2r⃗o′\vec{a}_a=\vec{\omega}\wedge(\omega\wedge\vec{r}_{o'})=-\omega^2\vec{r}_{o'}.

Cette accélération n’est que la manifestation que le repère est en rotation (du point de vue du référentiel galliléen. Du point de vue du référentiel en rotation, multiplie par mm et change e membre et tu as l’impression qu’il y a une force en plus.

PS: la full demo:

Il faut partir du fait que l’on a deux référentiels, l’un galiléen "fixe" R\mathfrak{R}, et l’un en rotation R′\mathfrak{R'}. Tu peux définir la postion de l’objet comme: (ro⃗)R=(ro⃗)R′+(r⃗R′)R\left(\vec{r_{o}}\right)_{\mathfrak{R}}=\left(\vec{r_{o}}\right)_{\mathfrak{R'}}+\left(\vec{r}_{\mathfrak{R'}}\right)_{\mathfrak{R}}

Les lois de Newton sont valides dans les référentiels galiléens, il nous faut donc dériver par rapport au temps (ro⃗)R\left(\vec{r_{o}}\right)_{\mathfrak{R}} dans ce référentiel. (ddt(ro⃗)R)R=(ddt(ro⃗)R′)R+(ddt(r⃗R′)R)R\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\vec{r_{o}}\right)_{\mathfrak{R}}\right)_\mathfrak{R}=\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\vec{r_{o}}\right)_{\mathfrak{R'}}\right)_\mathfrak{R}+\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\vec{r}_{\mathfrak{R'}}\right)_{\mathfrak{R}}\right)_\mathfrak{R} Il faut choisir une base dans R\mathfrak{R} pour faire les dérivées dans ce référentiel. On peut écrire (ro⃗)R=∑iXiE^i\left(\vec{r_{o}}\right)_{\mathfrak{R}}=\sum\limits_{i}X_i\hat{E}_i et (ro⃗)R′=∑ixix^i\left(\vec{r_{o}}\right)_{\mathfrak{R'}}=\sum\limits_{i}x_i\hat{x}_i où E^i\hat{E}_i sont les vecteurs de la base dans R\mathfrak{R} et e^i\hat{e}_i sont les vecteurs de la base dans R′\mathfrak{R'}. On a alors:

(ddt(ro⃗)R′)R=∑i(ddtxi)Re^i+xi(ddte^i)R\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\vec{r_{o}}\right)_{\mathfrak{R'}}\right)_\mathfrak{R}=\sum\limits_i\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x_i\right)_\mathfrak{R}\hat{e}_i+x_i\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\hat{e}_i\right)_\mathfrak{R}

La dérivée des coordonnées xix_i par rapport au temps est la même dans le référentiel R\mathfrak{R} et R′\mathfrak{R'}. Il ne reste plus qu’à écrire comment les vecteurs e^i\hat{e}_i, constant dans R′\mathfrak{R'}, varie dans R\mathfrak{R}. Mettons que l’on aie Z^=z^\hat{Z}=\hat{z} l’axe de rotation de R′\mathfrak{R'}, qui tourne à une vitesse angulaire ω\omega. Le lien entre les vecteurs (X^,Y^)(\hat{X}, \hat{Y}) du repère fixe et (x^,y^)(\hat{x}, \hat{y}) du repère en rotation est une matrice de rotation: (x^y^)=(cos⁡(ωt)sin⁡(ωt)−sin⁡(ωt)cos⁡(ωt))(X^Y^)\begin{pmatrix}\hat{x} \\ \hat{y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\omega t) & \sin(\omega t) \\ - \sin(\omega t) & \cos(\omega t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hat{X} \\ \hat{Y}\end{pmatrix} ddt(x^y^)R=ω(−sin⁡(ωt)cos⁡(ωt)−cos⁡(ωt)−sin⁡(ωt))(X^Y^)=ω(y^−x^)\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}\hat{x} \\ \hat{y}\end{pmatrix}_{\mathfrak{R}} = \omega\begin{pmatrix}-\sin(\omega t) & \cos(\omega t) \\ - \cos(\omega t) & -\sin(\omega t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hat{X} \\ \hat{Y}\end{pmatrix}=\omega\begin{pmatrix}\hat{y}\\-\hat{x}\end{pmatrix}

Que l’on peut réécrire (ddte^i)R=ω⃗∧ei^\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\hat{e}_i\right)_{\mathfrak{R}}=\vec{\omega}\wedge\hat{e_i} avec ω⃗=(00ω)\vec{\omega} = \begin{pmatrix}0\\0\\ \omega\end{pmatrix}.

On a donc au final: (ddt(ro⃗)R)R=(ddt(ro⃗)R′)R′+ω⃗∧ro⃗R′+(ddt(r⃗R′)R)R\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\vec{r_{o}}\right)_{\mathfrak{R}}\right)_\mathfrak{R}=\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\vec{r_{o}}\right)_{\mathfrak{R'}}\right)_\mathfrak{R'}+\vec{\omega}\wedge\vec{r_{o}}_\mathfrak{R'}+\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\vec{r}_{\mathfrak{R'}}\right)_{\mathfrak{R}}\right)_\mathfrak{R} Ce que l’on réécrit souvent plus simplement comme: ddtro⃗=δδtr⃗o′+ω⃗∧r⃗o′+ddtb⃗\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r_{o}}=\dfrac{\delta}{\delta t}\vec{r}_{o'}+\vec{\omega}\wedge\vec{r}_{o'}+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{b} v⃗a=v⃗r+v⃗e\vec{v}_a = \vec{v}_r+\vec{v}_e avec v⃗e=ω⃗∧r⃗o′+ddtb⃗\vec{v}_e=\vec{\omega}\wedge\vec{r}_{o'}+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{b} la vitesse d’entrainement et v⃗=δδtr⃗o′\vec{v}_=\dfrac{\delta}{\delta t}\vec{r}_{o'} la vitesse relative.

Il suffit de réappliquer une fois la formule pour avoir l’accélération: d2dt2ro⃗=(δδt⋅+ω⃗∧⋅)(δδtr⃗o′+ω⃗∧r⃗o′+ddtb⃗)\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\vec{r_{o}}=\left(\dfrac{\delta}{\delta t}\cdot+\vec{\omega}\wedge\cdot\right)\left(\dfrac{\delta}{\delta t}\vec{r}_{o'}+\vec{\omega}\wedge\vec{r}_{o'}+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{b}\right) d2dt2ro⃗=δ2δt2r⃗o′+d2dt2b⃗+ω⃗∧(ω⃗∧r⃗o′)+dω⃗dt∧r⃗o′+2ω⃗∧δδtr⃗o′\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\vec{r_{o}}=\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}\vec{r}_{o'}+\dfrac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}\vec{b}+\vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\vec{r}_{o'})+\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\wedge\vec{r}_{o'}+2\vec{\omega}\wedge\dfrac{\delta}{\delta t}\vec{r}_{o'} a⃗a=a⃗r+a⃗e+a⃗c\vec{a}_a=\vec{a}_r+\vec{a}_e+\vec{a}_c

Où a⃗r=δ2δt2r⃗o′\vec{a}_r=\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}\vec{r}_{o'} est l’accélération relative, a⃗e=d2dt2b⃗+ω⃗∧(ω⃗∧r⃗o′)+dω⃗dt∧r⃗o′\vec{a}_e=\dfrac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}\vec{b}+\vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\vec{r}_{o'})+\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\wedge\vec{r}_{o'} est l’accélération d’entrainement et a⃗c=2ω⃗∧δδtr⃗o′\vec{a}_c=2\vec{\omega}\wedge\dfrac{\delta}{\delta t}\vec{r}_{o'} est l’accélération de Coriolis.

EDIT: ah ben c’est passé en résolu pendant que j’écrivais XD.

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