Calcul faux, mais comment est-ce possible ?

Un bon élève de seconde peut répondre aux questions.

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Auteur du sujet

Le calcul qui suit donne un résultat faux, à savoir que 3 = 0. !
Je vous demande d’expliquer ce qui ne va pas dans ce calcul.
Un bon élève de seconde devrait pouvoir y arriver.
InaDeepThink est hors concours car je lui ai déjà donné le clé.

Je vous préviens : il s’agit d’un tour de passe-passe.
J’ai fait mon possible pour vous berner.
Vous voyez le calcul, et tout semble correct.
Cependant, le résultat final est visiblement faux.
On peut aussi refaire soi-même le calcul, pour obtenir le même résultat.

Question :

D’où vient cette racine X = 1 ?

Question subsidiaire :

Produire un autre calcul faux qui donne 4 = 0

On y va !

Je pars de l’équation :
(1) X2 + X = -1

Je multiplie les deux membres par X :
(2) X3 + X2 = -X

Je fais passer le membre de droite à gauche (aucune allusion politique) :
(3) X3 + X2 + X = 0
ou encore :
(4) X3 +( X2 + X) = 0

Mais comme (1) X2 + X = -1, on a :
(5) X3 +( -1) = 0
Soit
(6) X3 = 1

D’où la solution évidente :
(7) X = 1

Et, en remplaçant dans (1) :
(8) 1 + 1= -1 , ou encore
(9) 3 = 0

Édité par etherpin

Il se faut s’entraider, c’est la loi de la nature. (Jean de La Fontaine, l’âne et le chien)

+0 -0

Salut,

D’où, bien évidement la solution réelle,

Insiste moins là-dessus pour que l’illusion passe mieux… :-°

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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Je ferais ça :

Soit f(x)=x2+x+1f(x) = x^2+x+1, alors f(x)=2x+1f'(x) = 2x+1. On a f=0f'=0 en x=1/2x=-1/2, f(x>1/2)>0f'(x>-1/2)>0, f(x<1/2)<0f'(x<-1/2)<0.

Le minimum de ff est donc atteint en 1/2-1/2 (décroissant jusqu’en 1/2-1/2, croissant ensuite). Or, f(1/2)>0f(-1/2) > 0, donc (1) n’a pas de solution réel.

Partant d’un truc aberrant, tu obtiens un truc aberrant. Donc, tout va bien. :P

Il y a bien des façons de passer à l’acte. Se taire en est une. Attribué à Jean-Bertrand Pontalis

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Auteur du sujet

Je ferais ça :

Soit f(x)=x2+x+1f(x) = x^2+x+1, alors f(x)=2x+1f'(x) = 2x+1. On a f=0f'=0 en x=1/2x=-1/2, f(x>1/2)>0f'(x>-1/2)>0, f(x<1/2)<0f'(x<-1/2)<0.

Le minimum de ff est donc atteint en 1/2-1/2 (décroissant jusqu’en 1/2-1/2, croissant ensuite). Or, f(1/2)>0f(-1/2) > 0, donc (1) n’a pas de solution réel.

Partant d’un truc aberrant, tu obtiens un truc aberrant. Donc, tout va bien. :P

Gabbro

Merci pour ta participation.
Tu e réponds pas à la question que j’ai posée.
Heu, utiliser une dérivée au niveau seconde … on n’en est pas encore là
Si je monte le niveau à la terminale, l’équation (1) a deux racines complexes.
Tu ne peux pas dire que c’est aberrant.
Revenons au niveau seconde …
Un élève de seconde calcule le déterminant b2-4ac, il trouve qu’il est négatif, il en conclut que l’équation n’a pas de racines.
Ce sont des choses qui arrivent, il n’y a rien d’aberrant.
Et alors ?
Les équations ont bien le droit parfois (en seconde) de na pas avoir de racines, il me semble.
Elles en ont toujours en terminale.

Bon, je modifie l’énoncé, pour rester au niveau seconde.

on y va

Je pars de l’équation (qui n’a pas de racines):
(1) X2 + X = -1

Je multiplie les deux membres par X :
(2) X3 + X2 = -X

Je fais passer le membre de droite à gauche (aucune allusion politique) :
(3) X3 + X2 + X = 0
ou encore :
(4) X3 +( X2 + X) = 0

Mais comme (1) X2 + X = -1, on a :
(5) X3 +( -1) = 0
Soit
(6) X3 = 1

D’où la solution évidente :
(7) X = 1

Et, en remplaçant dans (1) :
(8) 1 + 1= -1 , ou encore
(9) 3 = 0

Question

D’où vient cette valeur X=1 ?

Édité par etherpin

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Tu as changé l’énoncé suite au message d’adr1. Tu utilisais explicitement la propriété dont j’ai prouvé la fausseté ! Je proteste avec véhémence. :colere2:

La vrai réponse passe à priori par l’identité d’Euler. Les solutions de (4) sont exp2iπ=1\exp^{2i\pi}=1, exp2iπ/3\exp^{2i\pi/3} et expiπ/3\exp^{i\pi/3}. On cherche deux solutions seulement, le troisième vient du fait que tu multiplies par xx. Lorsque tu passes de (4) à (5) tu te débarrasses de deux solutions, sauf que c’est celles que tu cherches. Ne reste que la solution (réelle) que tu as ajoutée. C’est pas hyper formel, mais l’idée est là. :-°

Par contre, c’est niveau L1, pas terminale, et encore moins seconde.

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Auteur du sujet

Tu as changé l’énoncé suite au message d’adr1. Tu utilisais explicitement la propriété dont j’ai prouvé la fausseté ! Je proteste avec véhémence. :colere2:

La vrai réponse passe à priori par l’identité d’Euler. Les solutions de (4) sont exp2iπ=1\exp^{2i\pi}=1, exp2iπ/3\exp^{2i\pi/3} et expiπ/3\exp^{i\pi/3}. On cherche deux solutions seulement, le troisième vient du fait que tu multiplies par xx. Lorsque tu passes de (4) à (5) tu te débarrasses de deux solutions, sauf que c’est celles que tu cherches. Ne reste que la solution (réelle) que tu as ajoutée. C’est pas hyper formel, mais l’idée est là. :-°

Par contre, c’est niveau L1, pas terminale, et encore moins seconde.

Gabbro

Tout de même tu utilises un marteau pilon pour écraser une mouche.
Un élève de terminale n’a pas besoin de l’identité d’Euler pour trouver les racines que tu cites.

Je te suggère de bien vouloir considérer la question avec les connaissances d’un élève de seconde.
Je t’assure qu’un BON élève de seconde peut trouver le truc utilisé.
Si quelqu’un trouve le truc, il peut aussi répondre à la question subsidiaire.

La question est :

D’où vient cette racine X=1 ?

Ton passage de (4) à (5) est une implication, si xx est une solution de (1) alors il est solution de (6), mais rien n’implique que l’inverse.

Freedom
Je n’ai jamais cherché une solution de (1).
J’ai même écrit, pour rassurer Gabbro, qu’il n’y en avait pas.
Non, je fais un calcul, et ce calcul me donne une valeur de X. Ensuite, j’utilise cette valeur dans l’équation de départ.
Je ne vois pas ce qu’il y a de mal dans cette procédure.

Tu ne réponds pas à la question.

Question

D’où vient cette racine X=1 ?

Édité par etherpin

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Je ne comprends pas ta question, le raisonnement mène à avoir plus de solution à la fin qu’au début. La solution en plus est x=1x=1 parce-que tu arrives à x3=1x^3=1 (donc les trois racines de l’unité), mais l’erreur dans le raisonnement est bien de considérer que les solutions de (6) sont solutions de (1), ce qui est faux.

Je n’ai jamais cherché une solution de (1). J’ai même écrit, pour rassurer Gabbro, qu’il n’y en avait pas. Non, je fais un calcul, et ce calcul me donne une valeur de X. Ensuite, j’utilise cette valeur dans l’équation de départ. Je ne vois pas ce qu’il y a de mal dans cette procédure.

Ton passage de (4) à (5) suppose que ton xx est solution de (1). Et ton passage (7) à (8) aussi. Le premier ne pose pose pas de problème en soit, par contre le second n’est pas valide.

Utiliser le terme "remplacer" c’est assez similaire à "utiliser tel xx solution de". Pour un exemple trivial c’est comme si je te dis : "Considère l’équation x+y=zx + y = z, remplace par x=1x=1, y=2y=2 et z=4z=4, j’obtiens 3=43=4, pourquoi ?" La réponse, parce-que x=1x=1, y=2y=2 et z=4z=4 n’est pas solution de cette équation.

Édité par Freedom

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Auteur du sujet

Je ne comprends pas ta question, le raisonnement mène à avoir plus de solution à la fin qu’au début. La solution en plus en x=1x=1 parce-que tu arrives à x3=1x^3=1 (donc les trois racines de l’unité), mais l’erreur dans le raisonnement est bien de considérer que les solutions de (6) sont solutions de (1), ce qui est faux.

Freedom

Je suis bien d’accord que le résultat du calcul est faux.
C’est même dans le titre !!!
Si le résultat est faux, c’est parce qu’il y a quelque chose de faux dans le calcul.
Je ne demande PAS de montrer que le calcul est faux.
Encore une fois, la question c’est d’où vient cette racine X=1
Et je réaffirme que c’est à la portée d’un élève de seconde (qui ne connait PAS les nombres complexes).

Bon, je vous dis à demain, la nuit porte conseil.

Édité par etherpin

Il se faut s’entraider, c’est la loi de la nature. (Jean de La Fontaine, l’âne et le chien)

+0 -2

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

J’ai bien vu que tu sais que le calcul est faux, mais tu demandes, dans le titre, comment est-ce possible. Et je pense avoir répondu à cette question. J’attendrais ta solution pour voir où tu veux en venir :) .

Je vais essayer une autre approche : le x=1x=1 vient du fait que le raisonnement est équivalent à multiplier explicitement (1) (sous la forme =0\cdots=0) par x1x-1, ce qui redonne l’équation (6). Or cette multiplication ajoute explicitement la solution x=1x=1.

Édité par Freedom

+2 -0

Ta question est foutrement mal posée quand même. Si on se met dans la peau de quelqu’un qui n’a pas vu les complexes, dès la ligne 3 on ne peut plus rien dire.

Je pars de l’équation (qui n’a pas de racines):

(1) X^2 + X = -1

Je multiplie les deux membres par X :

Comment tu multiplies par un nombre qui n’existe pas ? On veut bien essayer de jouer le jeu, mais le problème est mal posé là.

Ensuite, pour ce qui est de la racine 11, je ne suis pas sûr de voir ce que tu attends, mais elle apparaît trivialement à cause de la substitution après avoir augmenté l’ordre du polynôme. Avec exactement la même procédure (multiplier par xx puis substituer), on peut obtenir une racine y0y\neq 0 supplémentaire en partant de x2+yx=y2x^2 + yx = -y^2 (sans racine réelle).

EDIT : présentation

Édité par adri1

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Un élève de terminale n’a pas besoin de l’identité d’Euler pour trouver les racines que tu cites.

Les racines que je cites sont vues en L1. Un élève de terminale ne peux pas les citer, car il ne sais pas qu’elles existent. Ensuite, on a tous dit, de différente manière, que (1) a deux solutions, que tu en ajoutes une, et que c’est celle-là que tu trouves à la fin. On sait donc d’où elle vient. Qu’est-ce que tu attends de plus ?

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+0 -0

Ensuite, on a tous dit, de différente manière, que (1) a deux solutions, que tu en ajoutes une, et que c’est celle-là que tu trouves à la fin.

Gabbro

Il en rajoute 2 en fait, 0 bien sûr, et comme les solutions sont les racines imaginaires cubiques de l’unité, multiplier par xx ajoute aussi la troisième racine cubique par rotation. C’est un cas assez particulier.

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Auteur du sujet

Un élève de terminale n’a pas besoin de l’identité d’Euler pour trouver les racines que tu cites.

Les racines que je cites sont vues en L1. Un élève de terminale ne peux pas les citer, car il ne sais pas qu’elles existent. Ensuite, on a tous dit, de différente manière, que (1) a deux solutions, que tu en ajoutes une, et que c’est celle-là que tu trouves à la fin. On sait donc d’où elle vient. Qu’est-ce que tu attends de plus ?

Gabbro

Ben, je l’ai déjà écris : pourquoi on trouve X=1.
On ne trouve pas n’importe quoi (pas 2, pas 1/2 …).

Pourquoi on trouve 1.

Édité par etherpin

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+0 -0
Auteur du sujet

J’ai bien vu que tu sais que le calcul est faux, mais tu demandes, dans le titre, comment est-ce possible. Et je pense avoir répondu à cette question. J’attendrais ta solution pour voir où tu veux en venir :) .

Je vais essayer une autre approche : le x=1x=1 vient du fait que le raisonnement est équivalent à multiplier explicitement (1) (sous la forme =0\cdots=0) par x1x-1, ce qui redonne l’équation (6). Or cette multiplication ajoute explicitement la solution x=1x=1.

Freedom

:magicien: Tu as trouvé la même explication que moi.
:honte: C’est une explication simple, qui est à la portée d’un bon élève de seconde.
:) Comme j’ai mis du temps à la trouver, je pense que tu es très fort.
:zorro: J’ai déjà soumis ce calcul à un prof de math en lycée, il ne m’a jamais répondu.

### Et le vainqueur est : Freedom

Je pense que tu peux répondre sans difficultés à la question subsidiaire :

Produire un calcul dont le résultat serait 4=0, en utilisant le même truc.

Édité par etherpin

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+0 -2

J’ai déjà soumis ce calcul à un prof de math en lycée, il ne m’a jamais répondu.

Très honnêtement, si tu lui as soumis sous cette forme, pas étonnant. C’est le problème des énoncés faits pour berner : on a montrer de deux manières différentes pourquoi ton calcul ne va pas : d’où vient le 1, et le problème de causalité. D’ailleurs, comme ce n’était pas la réponse que tu attendais, tu as changé l’énoncé ("d’où vient" vers "pourquoi").

Édit : exemple typique de mauvaise énoncé : ton bonus. Si je fais exactement comme toi, j’obtiens 3=03=0. Je fais ×4/3\times 4/3, j’obtiens bien 4=04=0 en utilisant le même truc. Exactement le même truc, d’ailleurs. Sauf que ce n’est pas du tout ce que tu attends. :-°

Édité par Gabbro

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+2 -0

C’est une explication simple, qui est à la portée d’un bon élève de seconde.

Un bon élève de seconde poserait la même question que moi, que tu as soigneusement évitée. Comment tu multiplies par xx si il n’existe pas ?

EDIT: et en plus, cette explication n’explique rien, elle reformule juste le résultat. Ça n’explique pas vraiment pourquoi multiplier par xx et substituer la première équation conduit à une équation dont 11 est racine (ie pourquoi cette manipulation est équivalente à multiplier par x1x-1).

Édité par adri1

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Je suis d’accord avec les autres sur le fait que ton problème est mal formulé.

Pour moi le réponse la mieux adaptée est la première que j’ai donné (et c’est aussi la première de Gabbro dans l’idée). Si j’ai pu pondre la seconde c’est parce-que je me suis forcé à deviner où tu voulais aller.

@adri1: C’est équivalent dans ce cas, parce-que la manip qu’il fait est : écrire n=0NXn=0\sum_{n=0}^N X^n = 0, multiplier par XX et retrouver la somme d’origine dedans. Cette identification tu peux aussi l’écrire comme deux sommes qui se télescopent : n=1N+1Xnn=0N=XN1\sum_{n=1}^{N+1}X^n - \sum_{n=0}^{N} = X^N - 1 et finalement comme la somme multiplié par X1X-1.

Édité par Freedom

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@adri1: C’est équivalent dans ce cas, parce-que la manip qu’il fait est : écrire n=0NXn=0\sum_{n=0}^N X^n = 0, multiplier par XX et retrouver la somme d’origine dedans. Cette identification tu peux aussi l’écrire comme deux sommes qui se télescopent : n=1N+1Xnn=0N=XN1\sum_{n=1}^{N+1}X^n - \sum_{n=0}^{N} = X^N - 1 et finalement comme la somme multiplié par X1X-1.

Freedom

On peut être plus général que ça, voir le message plus haut où je l’ai écrit pour une racine quelconque. Étendre ça à un polynôme d’ordre nn est ensuite bien sûr trivial.

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