Calcul faux, mais comment est-ce possible ?

Le calcul qui suit donne un résultat faux, à savoir que 3 = 0. !
Je vous demande d’expliquer ce qui ne va pas dans ce calcul.
Un bon élève de seconde devrait pouvoir y arriver.
InaDeepThink est hors concours car je lui ai déjà donné le clé.

Je vous préviens : il s’agit d’un tour de passe-passe.
J’ai fait mon possible pour vous berner.
Vous voyez le calcul, et tout semble correct.
Cependant, le résultat final est visiblement faux.
On peut aussi refaire soi-même le calcul, pour obtenir le même résultat.

Question :

D’où vient cette racine X = 1 ?

Question subsidiaire :

Produire un autre calcul faux qui donne 4 = 0

On y va !

Je pars de l’équation :
(1) X² + X = -1

Je multiplie les deux membres par X :
(2) X³ + X² = -X

Je fais passer le membre de droite à gauche (aucune allusion politique) :
(3) X³ + X² + X = 0
ou encore :
(4) X³ +( X² + X) = 0

Mais comme (1) X² + X = -1, on a :
(5) X³ +( -1) = 0
Soit
(6) X³ = 1

D’où la solution évidente :
(7) X = 1

Et, en remplaçant dans (1) :
(8) 1 + 1= -1 , ou encore
(9) 3 = 0

Salut,

Je ferais ça :

Merci pour ta participation.
Tu e réponds pas à la question que j’ai posée.
Heu, utiliser une dérivée au niveau seconde … on n’en est pas encore là
Si je monte le niveau à la terminale, l’équation (1) a deux racines complexes.
Tu ne peux pas dire que c’est aberrant.
Revenons au niveau seconde …
Un élève de seconde calcule le déterminant b²-4ac, il trouve qu’il est négatif, il en conclut que l’équation n’a pas de racines.
Ce sont des choses qui arrivent, il n’y a rien d’aberrant.
Et alors ?
Les équations ont bien le droit parfois (en seconde) de na pas avoir de racines, il me semble.
Elles en ont toujours en terminale.

Bon, je modifie l’énoncé, pour rester au niveau seconde.

on y va

Je pars de l’équation (qui n’a pas de racines):
(1) X² + X = -1

Je multiplie les deux membres par X :
(2) X³ + X² = -X

Je fais passer le membre de droite à gauche (aucune allusion politique) :
(3) X³ + X² + X = 0
ou encore :
(4) X³ +( X² + X) = 0

Mais comme (1) X² + X = -1, on a :
(5) X³ +( -1) = 0
Soit
(6) X³ = 1

D’où la solution évidente :
(7) X = 1

Et, en remplaçant dans (1) :
(8) 1 + 1= -1 , ou encore
(9) 3 = 0

Question

D’où vient cette valeur X=1 ?

Tu as changé l’énoncé suite au message d’adr1. Tu utilisais explicitement la propriété dont j’ai prouvé la fausseté ! Je proteste avec véhémence.

Tout de même tu utilises un marteau pilon pour écraser une mouche.
Un élève de terminale n’a pas besoin de l’identité d’Euler pour trouver les racines que tu cites.

Je te suggère de bien vouloir considérer la question avec les connaissances d’un élève de seconde.
Je t’assure qu’un BON élève de seconde peut trouver le truc utilisé.
Si quelqu’un trouve le truc, il peut aussi répondre à la question subsidiaire.

La question est :

D’où vient cette racine X=1 ?

Tu ne réponds pas à la question.

Question

D’où vient cette racine X=1 ?

Je suis bien d’accord que le résultat du calcul est faux.
C’est même dans le titre !!!
Si le résultat est faux, c’est parce qu’il y a quelque chose de faux dans le calcul.
Je ne demande PAS de montrer que le calcul est faux.
Encore une fois, la question c’est d’où vient cette racine X=1
Et je réaffirme que c’est à la portée d’un élève de seconde (qui ne connait PAS les nombres complexes).

Bon, je vous dis à demain, la nuit porte conseil.

Ta question est foutrement mal posée quand même. Si on se met dans la peau de quelqu’un qui n’a pas vu les complexes, dès la ligne 3 on ne peut plus rien dire.

Je pars de l’équation (qui n’a pas de racines):

(1) X^2 + X = -1

Je multiplie les deux membres par X :

Comment tu multiplies par un nombre qui n’existe pas ? On veut bien essayer de jouer le jeu, mais le problème est mal posé là.

Un élève de terminale n’a pas besoin de l’identité d’Euler pour trouver les racines que tu cites.

Les racines que je cites sont vues en L1. Un élève de terminale ne peux pas les citer, car il ne sais pas qu’elles existent. Ensuite, on a tous dit, de différente manière, que (1) a deux solutions, que tu en ajoutes une, et que c’est celle-là que tu trouves à la fin. On sait donc d’où elle vient. Qu’est-ce que tu attends de plus ?

Il en rajoute 2 en fait, 0 bien sûr, et comme les solutions sont les racines imaginaires cubiques de l’unité, multiplier par $x$ ajoute aussi la troisième racine cubique par rotation. C’est un cas assez particulier.

Ben, je l’ai déjà écris : pourquoi on trouve X=1.
On ne trouve pas n’importe quoi (pas 2, pas 1/2 …).

Pourquoi on trouve 1.

Tu as trouvé la même explication que moi.
C’est une explication simple, qui est à la portée d’un bon élève de seconde.
Comme j’ai mis du temps à la trouver, je pense que tu es très fort.
J’ai déjà soumis ce calcul à un prof de math en lycée, il ne m’a jamais répondu.

### Et le vainqueur est : Freedom

Je pense que tu peux répondre sans difficultés à la question subsidiaire :

Produire un calcul dont le résultat serait 4=0, en utilisant le même truc.

J’ai déjà soumis ce calcul à un prof de math en lycée, il ne m’a jamais répondu.

Très honnêtement, si tu lui as soumis sous cette forme, pas étonnant. C’est le problème des énoncés faits pour berner : on a montrer de deux manières différentes pourquoi ton calcul ne va pas : d’où vient le 1, et le problème de causalité. D’ailleurs, comme ce n’était pas la réponse que tu attendais, tu as changé l’énoncé ("d’où vient" vers "pourquoi").

Édit : exemple typique de mauvaise énoncé : ton bonus. Si je fais exactement comme toi, j’obtiens $3=0$. Je fais $\times 4/3$, j’obtiens bien $4=0$ en utilisant le même truc. Exactement le même truc, d’ailleurs. Sauf que ce n’est pas du tout ce que tu attends.

C’est une explication simple, qui est à la portée d’un bon élève de seconde.

Un bon élève de seconde poserait la même question que moi, que tu as soigneusement évitée. Comment tu multiplies par $x$ si il n’existe pas ?

EDIT: et en plus, cette explication n’explique rien, elle reformule juste le résultat. Ça n’explique pas vraiment pourquoi multiplier par $x$ et substituer la première équation conduit à une équation dont $1$ est racine (ie pourquoi cette manipulation est équivalente à multiplier par $x-1$).

Je suis d’accord avec les autres sur le fait que ton problème est mal formulé.

Pour moi le réponse la mieux adaptée est la première que j’ai donné (et c’est aussi la première de Gabbro dans l’idée). Si j’ai pu pondre la seconde c’est parce-que je me suis forcé à deviner où tu voulais aller.

@adri1: C’est équivalent dans ce cas, parce-que la manip qu’il fait est : écrire $\sum_{n=0}^N X^n = 0$, multiplier par $X$ et retrouver la somme d’origine dedans. Cette identification tu peux aussi l’écrire comme deux sommes qui se télescopent : $\sum_{n=1}^{N+1}X^n - \sum_{n=0}^{N} = X^N - 1$ et finalement comme la somme multiplié par $X-1$.

Haha ce post avec la formulation ça me fait un peu penser au truc du genre :

Alors qu’en multipliant par $y$ des deux côtés tu obtiens une solution !

On peut être plus général que ça, voir le message plus haut où je l’ai écrit pour une racine quelconque. Étendre ça à un polynôme d’ordre $n$ est ensuite bien sûr trivial.