Δ, δ, d, ∂ : Ribambelle de variation.

Il y aurait pas mal de choses à dire, et je ne vais pas répéter ce que j’ai déjà écrit plusieurs fois sur le forum.

Tout d’abord, $\frac{dx}{dt}$ n’est pas une différentielle c’est une dérivée. Une différentielle, c’est toujours de la forme $df$ avec $f$ une fonction (qui peut être numérique ou vectorielle).

La différentielle $dx$, c’est par exemple la différentielle de la fonction de coordonnée $x$, qui à un point donne sa coordonnée $x$.

La différence entre $\delta$ et $d$ est assez subtile, et à ma connaissance, n’est pas utilisée en maths. Dans le wiki, ils écrivent $\delta W = F \,dL$

Il s’avère qu’en maths, on écrirait simplement $W=F \,dL$, mais $\delta F$ permet de souligner le fait que $W$ est une quantité infinitésimale. En fait, en langage moderne, $\delta W$ est une 1-forme différentielle.

Toutes les différentielles de fonctions sont des $1$-formes différentielles. (La différentielle d’une $1$-forme donne une $2$-forme, etc. mais ça n’est pas la question ici.)

Cependant, on peut poser la question : est-ce qu’une $1$-forme, par exemple le travail, est la différentielle d’une fonction ? C’est donc une question d’intégrabilité.

Et en général la réponse est non. Cependant, c’est vrai localement, c’est ce qu’on appelle le lemme de Poincaré. Ainsi, écrire $\delta W$ et non $dW$ permet de souligner le fait qu’on ne sait pas si $\delta W$ est intégrable ou non.

Les conséquences sont importantes. Parce qu’une $1$-forme intégrable (on dit aussi exacte) , disons par exemple $dF$, va vérifier le théorème de Stokes. Et donc si $c\colon [0,1]\to X$ est un chemin, $\int_c dF = F(c(1))-F(c(0)).$

Mais par exemple, si l’on prend la température d’un système, cette formule est fausse, car la variation de température dépend du chemin $c$, et non seulement des extrémités. Donc, par exemple, $\delta T$ est effectivement une $1$-forme qui n’est pas intégrable. Et donc cela porte du sens d’écrire $\delta T$ et pas $dT$.

Je vais répondre à ce que je connais:

• $dU$ est en effet l’opération mathématique que tu décris. En physique on l’interprète généralement comme le calcul la variation infinitésimale de U dans une certaine direction de l’espace des états de U (çad des variables dont dépend U).

• $\Delta$ c’est une juste une notation pour dire "variation" (on fait une différence quoi). En thermo, on écris généralement $\Delta_{A\rightarrow B}U$ pour dire qu’on calcule la différence entre l’énergie interne d’un système dans l’état A et l’état B. En mécanique quantique on utilise aussi le symbole pour parler de l’écart-type de quelque chose (une notation que je n’aime pas trop dans ce cas là).

• $\delta$ en thermo est là pour représenter une différentielle inexacte. En thermodynamique d’équilibre, on n’oublie que nos transformations se déroulent à une certaine vitesse (car une transformation réversible se passe à vitesse infiniment lente). Quand on écris $dU = dQ + dW$, il n’y a le temps nulle part ! On devrait plutôt écrire: $\dfrac{dU}{dt} = \dfrac{dQ}{dt} + \dfrac{dW}{dt}$ Si tu écris $\dfrac{dQ}{dt}$ et $\dfrac{dW}{dt}$ en fonctions des états du système $X_i(t)$, la "chain rule" fera apparaître des termes dépendant des $\dfrac{dX_i}{dt}$. La notation $\delta W$ est juste là pour rappeler qu’on ne peut pas caluler $dQ$ et $dW$ sans la dépendance en temps en général. Parfois les profs écrivent $t + dt$ ou $t + \delta t$ quand ils veulent dériver des équations différentielles en considérant ce qu’il se passe entre $t$ et $t+dt$. Là c’est juste une notation. $\delta$ peut être aussi utilisé dans le cadre du calcul variationnel ou en mécanique rationnelle pour différencier la dérivée par rapport au temps dans un référentiel fixe ou en rotation.

Au final, ce qui compte c’est le sens que l’on donne aux notations qui peut parfois un peu varier selon les auteurs.

Je n’ai pas dis qu’elle était fausse.

Quand on note $dF$, on sous-entend généralement que l’intégrale sur un chemin dans l’espace d’état (T,P,V,N) de ce "truc" peut s’écrire comme $F_f-F_i$, à l’inverse de si on avait noté $\delta F$. Ce qui ne peut être fait avec $Q$ et $W$ et c’est pourquoi on utilise cette notation de "différentielle inexacte". Ce qui veut bien dire que, pour connaître les quantités $Q$ et $W$ échangée au cours des transformations; il faut en connaître le chemin. Néanmoins, on pourrait parfaitement écrire une quantité $dQ=\dfrac{dQ}{dt}dt$. Le choix $d$ vs $\delta$ et un rappel à l’écrit qu’on peut choisir de ne pas faire.

Si on écrit à l’inverse $\dfrac{dU}{dt}=\dfrac{dQ}{dt}+\dfrac{dW}{dt}$, il suffit juste de "résoudre l’équation", d' "intégrer temperellement" cette équation pour obtenir $U$, $Q$ et $W$. Ici on regardera comment varie $U$, $Q$, et $W$ entre $t_i$ et $t_f$, plutôt qu’entre ($T_A$, $P_A$, …) et ($T_B$, $P_B$, …), mais la notion de temps ici nous permet de savoir par quel chemin on est passé. Ainsi si on connaît le taux de flux de chaleur, la quantité de chaleur $dQ$ échangée en un temps $dt$ est bien définie. Et le concept de différentielle inexacte me semble alors superflus. La notation avec des dérivées temporelles à l’avantage de rappeler que les transformations se déroulent en un certain temps, à une certaine vitesse.

Non. Ce que je veux dire c’est que les différentielles sont parfaitement définie si on écrit $dF=\dfrac{dF}{dt}dt$. Il n’y a aucune raison de l’appeler "inexacte", c’est juste une différentielle (si on connait $\dfrac{dF}{dt}$).

En thermodynamique d’equillibre, on parle de différentielle inexacte car on essaie de dire $\int_{A\rightarrow B} dF = \Delta_{A\rightarrow B} F$, où $A\rightarrow B$ est un chemin entre les états $A$ et $B$ du système. Il n’est pas toujours possible que cette intégrale soit indépendante du chemin ($Q$ et $W$). Donc on appelle ces différentielles "inexacte" pour ce rappeler de cela.

Si on souhaite passer à la variation de $U$ on va devoir étudier un système dynamique ?

Ca dépend ce que l’on fait. En thermodynamique d’équillibre, les transformations sont infiniement lentes (et toutes les propriétés sont uniforme dans le système, on a donc pas de sources d’irréversibilité) de sorte que l’on peut écrire: $dU = TdS - PdV$ il suffit alors de connaître les dépendences de $(P,T)$ en $(S,V)$ pour intégrer et trouver la variation de $U$.

Dans un cas général où les transformations ne sont pas infiniment lentes et où les propriétés ne sont pas uniformes, on écrit (après quelques hypothèses et développement): $\dfrac{dU}{dt}=\dfrac{dQ}{dt}+\dfrac{dW}{dt}$ $\Leftrightarrow\rho \dfrac{du}{dt}=\vec{\vec{\sigma}}\colon\vec{\vec{D}} +\rho r - \vec{\nabla}\cdot\vec{q}$ où $\rho$ est la masse volumique, $u$ l’énergie interne par unité de masse $\vec{\vec{\sigma}}$ le tenseur de contraintes, $\vec{\vec{D}}$ le tenseur de taux de déformation ("strain"), $r$ la génération volumique de chaleur, $\vec{q}$ les flux de chaleur.

Cette équation est cohérente avec la thermodynamique d’équillibre car une partie du terme $\vec{\vec{\sigma}}\colon\vec{\vec{D}}$ est proportionnelle à $-pdV$ (en gros).