Isoler un inconnu dans une équation

VBPix84, mardi 21 janvier 2020 à 20h24

Bonsoir à tous !

Je commence à suivre le cours de C sur ce site et j’aimerais le mettre en pratique par une application qui pourrait m’être utile au travail ! Sauf qu’il y a un problème de math et je n’arrive pas à trouver la solution qui pourant est toute simple j’en suis sûr, je pense que vous pourrez m’être utile (au vue des titres des autres posts sur ce forum )

Il me faut isoler "D1" sur la formule suivante : $VLEP=((D1*E1)/F1+(D2*E2)/F2)/8$

VLEP : Valeur Limite d’Exposition Professionnelle,
Dx : Durée d’exposition,
Ex : Niveau d’exposition,
Fx : Facteur de protection du masque porté.

Et l’information supplémentaire potentiellement utile : D1+D2 = 8.

Dans mon cas, il n’y a que 2 "blocs", mais il pourrait très bien y en avoir 3 ou 4 (D3 * E3 / F3…).

Je cherche donc une formule permettant de calculer la Durée du premier bloc en fonction de toutes les autres variables (qui seront définies sur mon appli).

Merci par avance car là, je craque !

Vincent

21/01/20 à 20h24

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Karnaj, mardi 21 janvier 2020 à 20h47

Salut,

Faisons quelques les étapes. On commence par tout multiplier par 8.

\text{VLEP} = \frac{1}{8} \times \left( \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{D_2 E_2}{F_2} \right) \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{D_2 E_2}{F_2}.

Là, on a déjà bien avancé, on sosutrait le second « bloc » de chaque côté.

\text{VLEP} = \frac{1}{8} \times \left( \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{D_2 E_2}{F_2} \right) \iff 8 \text{VLEP} - \frac{D_2 E_2}{F_2} = \frac{D_1 E_1}{F_1}.

Et pour terminer on multiplie chaque côté par $\frac{F_1}{E_1}$ (on va supposer que $E_1$ est non nul).

\text{VLEP} = \frac{1}{8} \times \left( \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{D_2 E_2}{F_2} \right) \iff \frac{F_1}{E_1} \left(8 \text{VLEP} - \frac{D_2 E_2}{F_2}\right) = D_1.

21/01/20 à 20h47

Assez des salamis, je passe au jambon — Je fais un carnage si ce car nage car je nage, moi, Karnaj ! — Le comble pour un professeur de mathématique ? Mourir dans l’exercice de ses fonctions.

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adri1, mardi 21 janvier 2020 à 20h52

Salut,

Ou sinon, avec

Et l’information supplémentaire potentiellement utile : D1+D2 = 8

on en déduit que $D_1=8-D_2$ …

21/01/20 à 20h52

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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VBPix84, mardi 21 janvier 2020 à 21h11

Merci pour vos messages !

Merci Karnaj pour l’explication ! Pour une raison que j’ignore, j’avais soustrait F1/E1 de la dernière (Genre, t’es positif, tu passes de l’autre coté, t’es négatif…).

D’ailleurs en reprenant ce que j’avais fait, j’avais bien inversé F1/E1 mais j’avais fais le "moins"… J’y étais presque ! Mes souvenirs de collèges !

Merci à tous !

(@adri1 : Si c’était si simple… :D)

21/01/20 à 21h11

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Aabu, mardi 21 janvier 2020 à 21h27

Note que tu as un système d’équations : si tu ne connais pas D2, tu peux le déduire de D1, et inversement.

21/01/20 à 21h27

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adri1, mardi 21 janvier 2020 à 21h54

(@adri1 : Si c’était si simple… :D)

VBPix84

J’ai du mal à voir comment ça peut ne pas l’être. Si tu connais pas $D_2$ , comment tu peux utiliser la solution fournie par @Karnaj ? C’est un coup classique de se prendre la tête avec une équation "compliqué" alors qu’on en a une plus simple à portée de main…

21/01/20 à 21h54

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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VBPix84, mardi 21 janvier 2020 à 22h12

En fait, j’obtiens D₂ en fonction de D₁, qui lui même est lié aux autres variables.

On déduit D₂ de D₁ mais l’inverse n’est pas possible : C’est le premier bloc qui définira une partie du second.

C’est la deuxième problématique de mon projet

21/01/20 à 22h12

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ache, mercredi 22 janvier 2020 à 04h39

En fait, j’obtiens D₂ en fonction de D₁, qui lui même est lié aux autres variables.

VBPix84

Non, en isolant D₁. Tu obtiens D₁ en fonction de D₂.

Si tu veux D₂, en fonction de D₁ il faut que tu isoles D₂.

Bref, si tu ne connais ni D₁, ni D₂, alors il va falloir que tu utilises les 2 équations. Tu as un système d’équations (2 équations indépendantes) à 2 variables (D₁ et D₂).

Tu as donc potentiellement une unique solution (ou aucune).

Pour cela, il faut que tu remplaces D₂ dans l’équation de @Karnaj par $D_{2} = 8 - D_1$ .

Si tu as une nouvelle inconnue, alors il va falloir une nouvelle équation (une nouvelle contrainte) pour pouvoir trouver une unique solution. Par exemple $D_3 = 3*D_1$ ou $D_3 = D1 + D_2 = 8$ ou encore $D_3 = D_1 + D_2/2$ .

Sans cette nouvelle contrainte, tu obtiendras un enseble de solutions. Ce qui est très bien aussi comme solution.

22/01/20 à 04h39

ache.one 🦹 👾 🦊

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VBPix84, mercredi 22 janvier 2020 à 08h42

Salut !

Ma phrase était sorti de son contexte, vous allez comprendre si je rentre plus dans le détail. Et comme cela va surement arrivé au vu de ce qui se profile…

La seule et unique formule de base est celle-ci :

\text{VLEP} = \frac{1}{8} \times \left( \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{D_2 E_2}{F_2} + ... + \frac{D_n E_n}{F_n} \right)

Ensuite, il faut vérifier que l’exposition n’est pas supérieure à 10 (= VLEP) tout en garantissant $D_1 + D_2 + ... + D_n \le 8$ . Où $D_1 + D_2 + ... + D_{n-1} \le 6$ , pour bien compliquer les choses, mais c’est une autre histoire.

Mon objectif : Informer de la durée maximale pour $D_1$ pour respecter la condition $VLEP \le 10$ et $D_1 max = 6$ .

Il me faut donc faire plusieurs tests, mais avec la formule suivante :

\text{VLEP} = \frac{1}{8} \times \left( \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{D_2 E_2}{F_2} \right)

Si les calculs mènent à $D_1 > 6$ , $D_1 = 6$ et donc $D_2 = 2$ . Mais quand $D_1$ sera inférieur à 6, $D_2$ évoluera. C’est pour cette raison que je disais $D_2 = f(D_1)$ , tout en considérant que les deux sont fortement liés puisque chacun évoluant fera évoluer l’autre.

Je pensais faire par étape mais je me dis que je peux trouver une formule pour n’avoir qu’une fonction… Banco ! Allons-y dans cette réflexion car de toute façon, j’en aurai besoin plus tard…

Je m’en vais réflechir à ceci ! Je reviendrais avec mes recherches (bon, si vous avez des pistes je suis preneur également ).

N’hésitez pas, étant dans le domaine je comprends ce que j’écris mais c’est peut-être pas clair…

Bonne journée ! Vincent

22/01/20 à 08h42

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Moté, mercredi 22 janvier 2020 à 10h31

Salut,

Du coup tu ne connais pas non plus les autres D ? Parce que ça veut potentiellement dire que tu as plein d’inconnues, et donc pas assez d’équations pour résoudre ton système.

22/01/20 à 10h31

Avant je m’appelais Phigger - La vie, c’est comme les mirabelles - Si vous ne deviez lire qu’un seul de mes articles - PetitMote.fr

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VBPix84, mercredi 22 janvier 2020 à 10h52
Modifié

J’ai deux options à programmer !

Cas 1 : Je connais tout sauf les durées D1 et D2 (et il n’y a qu’elles). Toutes les autres informations sont connues quand je lance le calcul.

Cas 2 : Je connais tout, même les durées, et je calcule la VLEP.

22/01/20 à 10h52
Modifié

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Aabu, mercredi 22 janvier 2020 à 10h56

Masqué par Aabu — Obsolète

22/01/20 à 10h56

ache, mercredi 22 janvier 2020 à 13h01
Modifié

Je vais partir du travail de @Karnaj.

$\text{VLEP} = \frac{1}{8} \times \left( \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{D_2 E_2}{F_2} \right) \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{D_2 E_2}{F_2}.$

Karnaj

On va commencer par le plus simple. (Toujours ! )

Cas 2

On pause :

I: \text{VLEP} = \frac{1}{8} \times \left( \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{D_2 E_2}{F_2} \right)

On a bien VLEP en fonction des autres variables. Problème résolu.

Cas 1:

Si on a tout sauf D₁ et D₂, alors on a tout !

Premièrement, on sait que $D_2 = 8 - D_1$ donc on ne s’occupe plus de ça, D₂ c’est réglé.

On part de :

I \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{(D_2) E_2}{F_2}.

On sait que $D_2 = 8 - D_1$ donc on remplace :

I \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{(D_1 - 8) E_2}{F_2}.

On décompose :

I \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{D_1 E_2}{F_2} - \frac{8 E_2}{F_2}.

On réarrange :

I \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 (F_2 E_1 + F_1 E_2)}{F_2} - \frac{8 E_2}{F_2}.

On tente d’isoler D₁ en plassant de l’autre coté ce qui ne relève pas de D₁ et qui se ressemble en plus.

I \iff 8 \text{VLEP} + \frac{8 E_2}{F_2} = \frac{D_1 (F_2 E_1 + F_1 E_2)}{F_2}.

I \iff 8 (\text{VLEP} + \frac{E_2}{F_2}) = \frac{D_1 (F_2 E_1 + F_1 E_2)}{F_2}.

On multiplie des deux cotés par F₂.

I \iff 8 (\text{VLEP} \times F_2 + E_2) = D_1 (F_2 E_1 + F_1 E_2).

On y est presque, encore une petite manip’.

I \iff D_1 = \frac{8 (\text{VLEP} \times F_2 + E_2)}{(F_2 E_1 + F_1 E_2)}.

Tadda ! On y est. 🥳

Dans le cas 1 tu ne connaissais ni D₁ ni D₂. On a réussu à les isoler tous les deux. Tu as donc ta solution.

Si j’ai fais une faute n’hésitez pas à me le dire¹. @VBPix84, n’hésite pas si tu as des questions où que tu ne comprends pas une étape.

Merci internet !. Merci Karnaj !
↩

22/01/20 à 13h01
Modifié

ache.one 🦹 👾 🦊

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Karnaj, mercredi 22 janvier 2020 à 13h05

Il y a un petit problème à ton étape « on réarrange » @ache, les deux fractions que tu additionnes n’ont pas le même dénominateur. Je te laisse corriger.

22/01/20 à 13h05

Assez des salamis, je passe au jambon — Je fais un carnage si ce car nage car je nage, moi, Karnaj ! — Le comble pour un professeur de mathématique ? Mourir dans l’exercice de ses fonctions.

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ache, mercredi 22 janvier 2020 à 13h08

Au bien vu merci !
Je corrige

22/01/20 à 13h08

ache.one 🦹 👾 🦊

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VBPix84, mercredi 22 janvier 2020 à 14h23
Modifié

Merci pour vos réponses !

J’ai 2 soucis par rapport à la demonstration de @ache.

Le premier, simple : $D_2 = 8 - D_1$ , pourquoi inverser à l’étape 2 ?

La seconde, si on garde cette égalité, je n’arrive pas à comprendre la disparition du $F_1$ entre décomposer et réarranger.

Si j’expose mes calculs, voici ce que cela donne :

I \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{(8 - D_1) E_2}{F_2}.

I \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 E_1}{F_1} + \frac{8 E_2}{F_2} - \frac{D_1 E_2}{F_2}

Je réarrange pour mettre du même coté ceux avec D1

I \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 E_1}{F_1} - \frac{D_1 E_2}{F_2} + \frac{8 E_2}{F_2}

Ici, je veux combiner les 2 premières fraction, je multiplie par $F_2$ la première, par $F_1$ la seconde :

I \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 E_1 F_2}{F_1 F_2} - \frac{D_1 E_2 F_1}{F_1 F_2} + \frac{8 E_2}{F_2}

Et donc :

I \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 E_1 F_2 - D_1 E_2 F_1}{F_1 F_2} + \frac{8 E_2}{F_2}

Puis $D_1$ en facteur :

I \iff 8 \text{VLEP} = \frac{D_1 ( E_1 F_2 - E_2 F_1)}{F_1 F_2} + \frac{8 E_2}{F_2}

On isole ceux sans $D_1$ d’un coté et on en profite pour factoriser(?) le "8" :

I \iff 8 (\text{VLEP} - \frac{E_2}{F_2}) = \frac{D_1 ( E_1 F_2 - E_2 F_1)}{F_1 F_2}

On multiplie les deux coté par " $F_1 F_2$ " :

I \iff 8 (F_1 F_2 \text{VLEP} - E_2 F_1) = D_1 (E_1 F_2 - E_2 F_1)

Puis on isole $D_1$  :

I \iff D_1 = \frac{8 (F_1 F_2 \text{VLEP} - E_2 F_1)}{E_1 F_2 - E_2 F_1}

Voilà où j’en suis rendu ? Qu’en pensez-vous ?

Cdlt, Vincent

(Edit : Problème de signe sur les 3 dernières étapes et je ne trouve toujours pas l’erreur, la formule ne fonctionne pas - le dénominateur est négatif, ce qui n’est pas possible).