Hello,
Je suis très heureux de voir qu’un nouveau projet de tuto de maths apparaisse.
J’ai commencé à relire le début. Ayant aussi une formation d’histoire des maths, j’espère pouvoir être un peu utile là-dessus.
J’ai tendance à écrire de façon un peu sèche (habitude de validateur…) donc ne prends pas mal si jamais je suis un peu franc/tranché. Ce n’est pas contre toi ou ton texte
Et l’utilisation des mathématiques étaient alors moins abstraites qu’actuellement : le calcul et la géométrie régnait en roi et en reine des mathématiques, et cela resta vrai jusqu’à la Renaissance.
Jette un coup d’oeil aux éléments d’Euclide. C’est très abstrait ! Ce n’était pas écrit de la même façon, mais il y a beaucoup de raisonnements assez fins et abstraits. Même remarque pour les mathématiques arabes.
le calcul et la géométrie régnait en roi et en reine des mathématiques,
C’est une division assez intéressante des maths, mais elle était peut-être plus en termes d’arithmétique/géométrie. Il faudrait peut-être aussi souligner que les mathématiques comme discipline indépendante apparaît assez tardivement dans la pratique : c’était souvent conjoint avec la physique, la musique, l’astronomie. Tout dépend après de l’époque et du lieu …
Le premier permettait de calculer des aires, des volumes, des salaires. Mais on étudia également des équations dites polynômiales,
Je ne suis pas certain de la date d’apparition de "polynomial". Je dirais Descartes, donc relativement tardif.
Il y eut, de manière générale, d’importants travaux mathématiques à Athènes comme les Éléments d’Euclide mais, contrairement à la représentation occidentale classique, ces travaux ne marquent pas le début des mathématiques, comme nous venons de le voir.
En réalité notre connaissance des Elements d’Euclide ne nous parvient que grâce aux arabes bien plus tard (IXe il me semble?). Cela a été retraduit ensuite en latin. Mais on n’a pas connaissance des Elements d’Euclide d’origine, si seulement ils ont vraiment existé (c’est pas dit que ce nom soit effectivement représentatif d’un travail d’Euclide et pas d’une descendance cumulative).
Comme expliqué dans l’introduction, jusqu’au milieu du 19ème siècle, les mathématiques n’étaient pas encore le royaume de la Logique et de l’Abstraction.
C’est un peu dommage pour Descartes … et tous les autres !
Beaucoup de philosophes ont beaucoup réfléchi à la question avant la crise des fondements. Je pense à Descartes, Kant, Newton, etc.
Qu’est-ce qu’un raisonnement ? Essentiellement, on part d’une ou plusieurs hypothèses (qu’on appelle des prémices), et on démontre une conclusion en utilisant des règles de déduction.
Typiquement, ça on le retrouve chez Descartes
Celles qui ne proviennent d’aucun raisonnement, qu’on appelle des axiomes.
Un axiome peut provenir d’un long raisonnement … et même de justifications. Il est assez difficile de caractériser précisément ce que sont les axiomes à travers l’histoire des maths.
Chez Euclide, on parle par ailleurs de postulat, ce qui donne une saveur sémantique différente.
Cela signifie que pour faire des mathématiques, il faut se mettre d’accord sur un certain nombre d’axiomes que l’on considère vrais (sinon, on ne fait pas les mêmes mathématiques 
).
On a le droit de ne pas être d’accords et d’être mathématicien ! On peut d’ailleurs très bien faire des mathématiques avec des axiomes suspects.
Le premier se posa à la fin du 18ème siècle et il fut assez vite résolu. On se rendit compte que l’axiomation d’Euclide n’était pas tout à fait complète : Euclide utilisait des axiomes qu’il n’énonçait pas. Un très grand mathématicien, David Hilbert, complèta cette axiomatisation et résolut donc ce problème.
J’aurais peut-être réservé le terme 'complet' pour les systèmes qui démontrent soit A soit ¬A ?
Nous venons donc de voir que la géométrie subit d’importants bouleversements au milieu du 18ème siècle. Est-ce que le calcul subit aussi des bouleversements ? Spoiler alert : oui !
De mémoire Lobachevsky c’est plutôt 19e et Gauss, Riemann c’est 19e aussi.
En effet, en 1821, un certain Joseph Fourier (un mathématicien français, encore !) publie un ouvrage appelé Théorie analytique de la chaleur qui propose une résolution d’une équation qui provient de la physique appelée l’équation de la chaleur. Je ne développerai en quoi ça consiste mais il faut retenir que ça implique de faire du calcul, et de faire des approximations.
Ses travaux sont révolutionnaires et introduisent des objets appelés par la suite des séries de Fourier. Et au sein de la communauté mathématicienne, cela fait grand bruit, notamment car certains critiquent la rigueur des démonstrations de Joseph Fourier dans son ouvrage.
On comprend pas bien comment ça arrive là dans le texte.
Pour la discussion sur les nombres, peut-être mentionner les nombres complexes ?
Avant le 18ème siècle, cette exigence était essentiellement un point de vue philosophique : les règles de raisonnement étaient communément admises et relevaient du bon sens le plus élémentaire, de même que les nombres, qui était vus comme des objets suffisamment intuitifs jusqu’au moment où on a eu besoin de faire des démonstrations extrêmement précise avec eux.
Oulala non !
Il y a eu une quantité de débats sur l’usage des nombres, notamment au Moyen-Age des fractions (comment dénommer les fractions (dénominateur)).
Ce qui sous-tend cette démarche est ce qui sous-tend généralement toute recherche mathématique ou philosophique : la recherche de la vérité absolue. Rien que ça !
Je ne suis pas sur que ça soit le cas. En philosophie, la discussion est peut-être plus importante que "d’avoir raison". De même en maths, la vérité n’est pas forcément ce que l’on recherche, c’est peut-être plutôt une compréhension que la vérité.
Rappelez-vous qu’en mathématiques, nous n’étudions pas le réel, contrairement à la physique.
Ou peut-être juste un réel plus difficile d’accès que d’autres ? En physique des particules, c’est assez difficile d’accès un CERN
De plus, toutes les questions du type : "que se passe-t-il quand on change les règles de raisonnement ?" ne les intéresse pas : le point de vue essentiellement philosophique qui prédominait au début du 18ème siècle domine encore aujourd’hui.
Tu fais référence à quel point de vue?
A partir de cette crise, la rigueur mathématique s’est considérablement améliorée, mais ce fut au prix d’une formalisation. En effet, c’est à partir de ce moment-là que les mathématiciens se sont mis à utiliser des symboles formels pour écrire leurs théorèmes : d’une part pour les débarasser de toute ambiguïté que peut posséder le langage "naturel", d’autre part pour pouvoir s’assurer que leurs démonstrations étaient justes.
À mon avis il faut faire une distinction assez importante entre formaliser et mettre des symboles. De longues phrases peuvent être formelles sans avoir de symbole mathématique!
De plus, on a vu que le calcul était insuffisant à résoudre tous les problèmes : on a besoin d’objets abstraits pour pouvoir s’intéresser à des équations. Sans eux, démontrer les théorèmes d’Abel ou de Galois auraient été impossibles. Et c’est à partir de ce moment-là que les mathématiciens se sont mis à étudier vraiment des objets abstraits.
Est-ce qu’on étudie si souvent que ça des équations en maths?
Une utilisation massive de symboles formels pour décrire leurs théorèmes, afin de pouvoir s’assurer que tous ce qu’ils font est logique.
Même remarque sur logique≠symbole
La première guerre mondiale. 18,6 millions de mort en quatre ans. Parmi eux, la plupart des mathématiciens potentiels de leur époque. Et dans les années 1920, quand les étudiants retrouvent le banc des facultés, ce n’est pas la génération de leurs parents qui leur fait cours, mais la précédente. De même, cette génération perdue à la guerre n’a pas pu écrire de livres (ou très peu), et le savoir livresque qui est alors disponible pour cette nouvelle génération d’étudiants est un peu vieillissant. D’autant que la crise des fondements est passée par là et a profondément changé le point de vue des mathématiciens sur leur travail.
Il est vrai que Bourbaki a attribué à la guerre ce sentiment. Mais en réalité ce sentiment de ne pas être au contact de "jeunes" mathématiciens à Paris provient de la structure des carrières : les matheux commençaient en province avant d’être nommés à la Sorbonne … donc nécessairement après 15 ans de carrière.
L’oeuvre de Bourbaki n’est pas exempte de critiques parfaitement justifiées, mais j’ai choisi de les passer sous silence, afin de raccourcir ce texte déjà long. D’autant que l’oeuvre du groupe Bourbaki reste une référence dans le domaine mathématique, bien qu’aride à lire.
Pourtant les critiques de Bourbaki sont souvent intéressantes ! Tu peux aussi mettre des liens/références bibli. vers des critiques bien faites si tu en as
Les mathématiciens ont introduit un langage formel pour écrire les énoncés mathématiques de manière non ambiguë. Il vous est proposé dans ce tutoriel une introduction à ce langage, qui est tout de même suffisant pour faire la plupart des mathématiques actuelles.
La non ambiguité est un moteur principal à la symbolisation et formalisation du langage. Il aurait fallu le développer dans le corps du texte !
Ecrire les théorèmes et les démonstrations en langage formel est long, aride et souvent peu compréhensible par d’autres. C’est pourquoi les mathématiciens actuels écrivent en grande partie en langage courant (sauf en quelques rares endroits). Mais cela nécessite de définir précisément de quoi on parle. On a donc besoin de poser des définitions.
Cela devrait faire suite à la distinction formel≠symbole
En tout cas, je trouve ça très agréable à lire. Il faudra corriger aussi l’orthographe/grammaire, mais ce n’est pas pressant pour le moment.
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