Expression mathématique et appartenance à un ensemble

Débutant, et perturbé

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Salut à tous.

D’avance j’invite chacune et chacun d’entre vous à corriger toute assertion qui se révélerait fausse dans mes propos. Nous sommes entre amateurs de mathématiques et je tiens à affirmer la justesse de mes propos et de mes connaissances.

Quand on veut exprimer mathématiquement que « a est un nombre réel », je pense avoir compris qu’il faut écrire :

aRa \in \mathbb R

Littéralement : « a appartient à l’ensemble des nombres réels ».

Je vois ensuite des choses comme « a et b sont deux nombres réels, et là, je vois ça :

(a,b)R²(a,b) \in \mathbb R²

Littéralement, est-il correct de dire « a et b appartiennent à l’ensemble des réels » ? D’un point de vue de programmeur (déformation professionnelle oblige), je comprends « le tuple (a, b) appartient à l’ensemble des 2-tuples de réels » mais je cherche peut-être la m***e en disant ça ?

Et donc, quand je vois des notations comme a,bRa,b \in \mathbb R, que dois-je penser ? Que leur auteur a omis le ²² par négligence ? Que cela signifie tout autre chose ?

Merci à vous,

(Mention spéciale à @adri1 et son tutoriel sur « Comment rédiger des maths sur Zeste de Savoir ? » qui est vraiment très bon.)

Formellement, écrire « a,bRa,b\in\mathbb R » n’est pas parfaitement rigoureux, mais c’est un abus que l’on fait souvent pour alléger les notations. Cela signifie simplement que l’on prend deux nombres réels, que l’on note aa et bb. Je ne vois aucun problème à échanger les phrases (en français) « aa et bb appartiennent à l’ensemble des réels » et « le couple (a,b)(a,b) appartient à l’ensemble R2\R^2 ». L’écriture a,bRa,b\in\mathbb R peut se voir comme un raccourci de aR,bRa\in\mathbb R, b\in\mathbb R.

Lorsque je suis au brouillon, le fait d’écrire (a,b)R2(a,b)\in\mathbb R^2 me fait penser à un point du plan, ou à un couple de nombres qui cohabitent. Alors que si j’écris a,bRa,b\in\mathbb R, j’ai plutôt l’image mentale de deux nombres vivant sur la droite réelle.

Il y a toujours une limite à trouver entre respect du formalisme et lourdeur des notations. Dans ce cas précis, je dirais que c’est au goût de l’auteur(e). Sauf si l’on fait vraiment de la logique ou si l’on s’intéresse aux fondements, le plus souvent cela n’a aucune importance.

Ajout — Il faut aussi avoir en tête que, au-delà du formalisme, les notations ont parfois un sens dans l’imaginaire collectif (enfin, disons, dans l’imaginaire collectif des mathématiciens). Par exemple, l’ensemble R2\mathbb R^2 est un espace vectoriel de dimension deux sur R\mathbb R. Si j’introduis (a,b)R2(a,b)\in\mathbb R^2, j’ai immédiatement envie de dessiner un vecteur. Alors qu’en écrivant a,bRa,b\in\mathbb R, je vois deux scalaires… de sorte que le couple (a,b)(a,b) est à la fois un couple de scalaires et un vecteur de R2\mathbb R^2. Il y a donc des implicites et des conventions d’écritures qui peuvent parfois jouer sur la manière dont on appréhende les objets.

Tout à fait d’accord avec c_pages : les deux notations cohabitent en signifiant la même chose.

Cependant je réagit à l’ajout :

Ajout — Il faut aussi avoir en tête que, au-delà du formalisme, les notations ont parfois un sens dans l’imaginaire collectif (enfin, disons, dans l’imaginaire collectif des mathématiciens). Par exemple, l’ensemble R2\mathbb R^2 est un espace vectoriel de dimension deux sur R\mathbb R. Si j’introduis (a,b)R2(a,b)\in\mathbb R^2, j’ai immédiatement envie de dessiner un vecteur. Alors qu’en écrivant a,bRa,b\in\mathbb R, je vois deux scalaires… de sorte que le couple (a,b)(a,b) est à la fois un couple de scalaires et un vecteur de R2\mathbb R^2. Il y a donc des implicites et des conventions d’écritures qui peuvent parfois jouer sur la manière dont on appréhende les objets.

c_pages

Tu as tout à fait raison, avec R2\mathbf R^2 il faut toujours se méfier : c’est un espace vectoriel avec une base canonique !


Pour ma part, je n’aime pas du tout la notation (a,b)R2(a,b)\in\mathbf R^2, je la trouve inutilement plus lourde à écrire et lire … mais c’est une affaire de goût

avec R2\mathbf R^2 il faut toujours se méfier : c’est un espace vectoriel avec une base canonique !

Holosmos

Donc on ne peut pas considérer R2\mathbf R^2 comme un ensemble ?

Est-ce qu’un espace vectoriel est un ensemble ?

Je peux aller très loin dans les questions qui sembleront totalement stupides, mais si j’en suis rendu à utiliser le forum de Zeste de Savoir, c’est bien parce qu’on se perd facilement sur Wikipédia et qu’on trouve aussi un peu tout et n’importe quoi sur Internet.

Tout ce que tu connais en maths est un ensemble (à moins que tu aies vu des choses très pointues). Les nombres sont des ensembles, les espace, etc. Les espaces vectoriels sont des ensembles…. de vecteurs (d’où leur nom)

Tes questions ne sont pas du tout stupides ! N’hésite pas

Oui, R2\mathbb R^2 est un ensemble. Sauf que malheureusement, c’est aussi le plan euclidien, un espace vectoriel, l’ensemble des couples de nombres, etc. Tous ces objets sont essentiellement les mêmes… Sauf que l’on n’a pas toujours envie de considérer les propriétés vectorielles, ou géométriques, etc. Dans un monde parfait, on pourrait avoir une notation différente selon le point de vue que l’on souhaite avoir, mais on est très vite confrontés à la limite du nombre d’alphabets disponibles. :D

En gros, pour reprendre cet exemple, R2\mathbb R^2 c’est plein de choses :

  • un ensemble sans structur ;
  • un espace vectoriel de dimension 2 ;
  • un espace euclidien ;
  • éventuellement un espace affine (même si on pourrait discuter ce point).

Du point de vue ensembliste, les objets qui vivent dans tous ces R2\mathbb R^2 sont les mêmes. Mais il n’empêche que l’interprétation que l’on en a n’est pas la même. Et donc, autant adopter la notation la plus cohérente avec l’intuition que l’on veut avoir.

En fait, c’est assez subtil parce que c’est toujours difficile de parler des convention de langages… dans un langage !

Pour ma part, je n’aime pas du tout la notation (a,b)R2(a,b)\in\mathbf R^2, je la trouve inutilement plus lourde à écrire et lire … mais c’est une affaire de goût

Holosmos

Je suis d’accord avec ça : cela ne donne aucune information supplémentaire et c’est plus lourd, donc autant s’en passer. Sauf qu’il y a un piège ! Parfois, on peut avoir besoin de noter explicitement le nombre d’objets que l’on introduit. Alors la notation avec les tuples est utile.

Merci à tous pour vos réponses excellentes.

J’ai marqué le sujet en résolu mais cela ne ferme pas la discussion, au contraire. J’ai d’ailleurs été surpris par @Holosmos lorsqu’il a dit que tout ce que je connais en maths est un ensemble.

Est-ce que ça veut dire que, par exemple, 33 est un ensemble qui ne contient que le chiffre 3 ?

Qu’en est-il de l’objet \infty ?

Je pense qu’il va chercher un peu compliquer mais j’ai effectivement déjà vu un truc comme quoi. {}=0\{\} = 0, {{}}={0}=1\{\{\}\} = \{0\} = 1, (l’ensemble de l’ensemble vide), {{},{{}}}={0,1}=2\{\{\}, \{\{\}\}\} = \{0, 1\} = 2 et on continue à compter comme ça.

Voir Construction des entiers naturels sur Wikipédia. Holosmos aura certainement une meilleur réponse à t’apporter, sur à quoi ça sert (qui s’en sert ?), ou si c’est juste un jeu mathématique ? Et comment sont définit certains éléments particuliers.

+0 -0

D’un point de vue de programmeur (déformation professionnelle oblige), je comprends « le tuple (a, b) appartient à l’ensemble des 2-tuples de réels » mais je cherche peut-être la m***e en disant ça ?

En fait c’est aussi le point de vue du mathématicien : 2{2,3,4}2 \in \{2,3,4\} mais {2,3}{2,3,4}\{2,3\} \notin \{2,3,4\}. Pourtant, pour les raisons explicitées au-dessus, on s’autorise parfois des abus de notation (auxquels j’adhère également pour alléger un peu les compositions).

J’ai d’ailleurs été surpris par @Holosmos lorsqu’il a dit que tout ce que je connais en maths est un ensemble.

On peut raisonnablement se refuser à faire ici une théorie complète des ensemble. Tu peux voir un ensemble comme un sac contenant des objets (les éléments). On peut tout à fait construire un ensemble avec un seul élément (il me semble que ça s’appelle un singleton) : {3}\{3\} est un ensemble, mais aussi {{1,2,3}}\{\{1,2,3\}\} (c’est un ensemble qui contient un objet, qui est lui-même un ensemble !).

Qu’en est-il de l’objet \infty ?

Ge0

Je ne suis pas sûr que ta question ait un sens (j’y reviens plus bas). Pour la question de savoir si « tout est ensemble », @Holosmos et @ache ont apporté des éléments de réponses. Mais au quotidien, quand on manipule les objets « élémentaires » des mathématiques (nombres, fonctions, points du plan, etc.), ce n’est pas important que ces objets soient des ensembles. Je ne suis pas dans mon domaine de compétences, mais à ma connaissances, à part les logiciens et les gens qui font de l’informatique théorique, ces préoccupations passent un peu au second plan quand on fait des maths.

Quant à l’objet \infty, je ne suis pas certain d’avoir compris la question. D’abord parce que ce symbole peut recouvrir de multiples significations. C’est typiquement le cas dans les phrases « un ensemble est infini », « une fonction réelle tend vers ++\infty » et « telle fonction positive admet une intégrale infinie ». Formellement, dans tous les cas, on peut revenir aux fondements, et tout réécrire avec constructions d’ensembles. Mais personne n’a envie de faire cela, parce que cela ne sert… à rien. :-°


Pour revenir sur ce que disait Holosmos : « Tout ce que tu connais en maths est un ensemble ». C’est vrai mathématiquement, mais dans la vraie vie, j’aurais plutôt tendance à dire : « Tout ce que tu connais en maths peut s’écrire comme un ensemble ».

Comme le dit ache, il y a par exemple des constructions explicites pour les entiers.

Ce qu’il faut savoir c’est qu’en théorie des ensembles (comme axiomatisée par ZFC) tout est ensemble ce qui permet de décrire les règles logiques de façon uniforme sur toutes les mathématiques en question. C’est une motivation logique très forte et très légitime.

La théorie des ensembles ZFC c’est là où vivent 90–95% des mathématiciens.

Quand on ne fait pas de la logique on n’y pense pas. Tout comme on pense rarement aux axiomes de Peano. Mais dans le contexte classique, ça prévaut et ça permet de faire des mathématiques même si c’est indirectement observable.

Un autre exemple comparable c’est la construction des réels par les coupures de Dedekind. C’est pas utilisable ailleurs que dans la construction, mais la construction est bien sûr nécessaire aux mathématiques des nombres réels (qui, disons le, sont importants)

Edit : un parallèle peut-être plus parlant est le suivant. En informatique tout est codé en bits. Pas besoin de savoir ça pour utiliser word, mais c’est un fait important pour l’existence même de l’ordinateur et des programmes. En maths c’est un peu ça : on a pas toujours besoin de savoir que tout est ensemble, mais c’est le cas

+1 -0

Je ne vois pas pourquoi on considèrerait que la notation a,bRa, b \in \mathbb{R} serait "moins rigoureuse". Elle est tout aussi rigoureuse qu’une autre du moment qu’elle est clairement comprise comme une notation dont on connaît la signification: on peut écrire x1,,xnSx_1, \dots, x_n \in S pour dire que tous les objets x1,,xnx_1, \dots, x_n appartiennent à l’ensemble SS. On pourrait éventuellement dire qu’elle est moins standard, et qu’on préfère n’utilier que des notations standards pour éviter les particularismes locaux, mais en fait elle est tout à fait standard.

Tout ce que tu connais en maths est un ensemble (à moins que tu aies vu des choses très pointues).

Attention, je ne pense pas que ce soit la bonne façon de voire les choses. La question n’est pas de savoir si un objet "est un ensemble" (c’est toujours le cas quand on utilise des fondations ensemblistes comme ZFC, mais pas forcément pertinent et ça peut même donner lieu à des choses qui sont des erreurs conceptuelles en mathématiques usuelles, si on écrit 030 \in 3 par exemple), mais si un objet "peut se voir comme un ensemble" et de quel "point de vue" précisément il est question dans le document qu’on lit, ce qui est généralement évident d’après le contexte.

Par exemple, on définira souvent une structure algébrique (un groupe, espace vectoriel, etc.) comme, techniquement, un n-uplet contenant un ensemble support et aussi quelques opérations sur cet ensemble. Mais on écrit xGx \in G, ou xR2x \in \mathbb{R}^2, on ne pense évidemment pas à GG comme un n-uplet qui "est" un ensemble dans ZFC, mais au fait qu’on peut "voir" le groupe comme son ensemble de support (et donc utiliser le même nom pour les deux objets). Ces "visions" sont généralement cohérentes: on peut "voir" l’espace vectoriel R2\mathbb{R}^2 comme un ensemble, ou bien on peut "voir" l’espace vectoriel R\mathbb{R} comme un ensemble et faire ensuite l’opération ensembliste _2\_ ^ 2, et dans tous les cas on "voit" le même ensemble au final.

+2 -0

Attention, je ne pense pas que ce soit la bonne façon de voire les choses. La question n’est pas de savoir si un objet "est un ensemble"

C’était pourtant bien la question.

mais si un objet "peut se voir comme un ensemble" et de quel "point de vue" précisément il est question dans le document qu’on lit, ce qui est généralement évident d’après le contexte.

Je ne comprends pas ce que tu dis là. Il n’est que très rarement question (i.e. quand on fait des choses plus fines que des ensembles) de savoir si tel machin est un ensemble ou non : parce que c’est toujours le cas !

C’était pourtant bien la question. [..] Je ne comprends pas ce que tu dis là.

Les questions qui ont donné lieu à cette discussion étaient les suivantes:

Donc on ne peut pas considérer R2\mathbb{R}^2 comme un ensemble ?

Est-ce qu’un espace vectoriel est un ensemble ?

Ce à quoi tu as répondu que "tout est ensemble" (sauf exceptions, j’imagine que tu penses aux classes qui sont trop grandes en théorie des ensembles), en plaçant cette affirmation dans le cadre de la théorie des ensembles.

Il me semble qu’il y a une erreur conceptuelle dans cette réponse, que j’ai essayé d’expliquer dans mon message. La réponse aux deux questions de Ge0 est oui, mais pour des raisons différentes que tu mélanges:

  • Oui, on peut considérer un espace vectoriel (ou un groupe, etc.) comme un ensemble, ce que j’appelle "voir comme un ensemble", en "considérant" l’espace vectoriel comme l’ensemble de ses vecteurs, et le groupe comme l’ensemble de ses éléments — les deux cas sont des structures algébriques et on considère leur ensemble support.

  • Oui, quand on utilise des fondations ensemblistes comme ZFC (le choix par défaut sauf pour certains spécialites pointus), tout est un ensemble, tout est défini ou construit comme un ensemble, mais ce n’est pas forcément le même ensemble que celui dont on parle ci-dessus.

Par exemple un groupe GG peut être défini comme un quadruplet (E,(),1,(1))(E, (\cdot), 1, (^{-1})) (un support, une opération, un neutre et une fonction inverse), et un quadruplet est peut-être défini comme des paires imbriquées (E,((),(1,(1)))))(E, ((\cdot), (1, (^{-1}))))), et une paire (p,q)(p, q) est peut-être définie comme l’ensemble {{p},{p,q}}\{\{p\}, \{p,q\}\} (pour quadruplet et paires je ne me souviens plus des détails), et donc oui, le quadruplet (E,(),1,(1))(E, (\cdot), 1, (^{-1})) est un ensemble, mais ce n’est pas l’ensemble EE des éléments du groupe !

Remarque pour Ge0, qui a parlé du "point de vue programmeur" ci-dessus: on peut voir la notion de "voir l’objet tt comme un ensemble" ou "considérer tt comme un ensemble" comme l’usage d’une "coercion implicite" ou "conversion implicite", qui n’est pas écrite dans le document mathématique, elle est implicite, et "convertit" l’objet en un ensemble de la façon naturelle suivant le contexte. On pourra donc lire xtx \in t comme voulant dire, explicitement, xcarrier(t)x \in \mathsf{carrier}(t), pour une fonction carrier\mathsf{carrier} savamment choisie. Des mécanismes de "conversions implicites" statiques propres existent dans certains langages de programmation, Scala et Coq par exemple. (Des versions runtime assez crades sont très courantes, mais pas comparables avec ce qu’on fait en mathématiques.)

+1 -0

C’est parce que tu as introduit une confusion qui ne dépend pas de ZFC ou non. Quand tu parles du groupe G, il est toujours sous-entendu qu’on parle du triplet en question qui est un groupe. Quand on demande si G est un groupe, on oublie la structure de groupe mais ça n’est pas une question de ZFC ou non, mais seulement du sous-entendu que tu produis.

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