Un zeste de trigonométrie

a marqué ce sujet comme résolu.

J’ai pris le temps de lire un peu les documents que j’ai liés dans mon précédent message.

Cet article est léger mais donne quand même quelques éléments. Il met en valeur quelques difficultés et confusion qu’ont habituellement les apprenant, et propose d’enseigner à partir de projections orthogonales (plutôt que de polygones) et de construire progressivement le cercle trigonométrique comme un moyen de synthétiser les concepts. La bibliographie donne quelques pistes d’autres docs à regarder.

Ce rapport est essentiellement rattachés aux programmes scolaires, qui imposent essentiellement de commencer par les triangles rectangles, et qui comportent quelques autres étrangetés. On voit beaucoup l’idée de triangles semblables revenir, ce qui correspond à l’idée importante que le cosinus est bien propre à un angle et pas à un triangle.

La thèse est intéressante. Notamment dans la première partie, elle parle de l’articulation de la trigonométrie dans le triangle rectangle et de celle du cercle, et de l’aspect fonction et des différentes recherches à ce sujet. La morale de l’histoire, c’est que pour les élèves, relier les différentes notions n’est pas évident (angles, la longueur de l’arc de cercle, les mesures d’angles, etc).


@Holosmos : Rester simple, rester orienté pratique, fournir les méthodes et la capacité de s’en servir dans toutes les situations. Les aspects plus formels ne sont pas primordiaux. C’est ça que tu dis ?

+2 -0

J’ai réfléchi de nouveau au contenu à l’aune de ce que j’ai lu l’autre jour et des applications principales. J’ai l’impression que la projection orthogonale et reconnaître les relations entre longueur dans toutes les configurations pratique est important pour pas avoir de difficultés techniques notamment en physique. Et le triangle rectangle et le cercle trigo sont finalement des moyens de mieux retenir plus que de reconnaître les situations.

En conséquence, je pense qu’il est plus sage de se concentrer sur le cœur géométrique des notions, afin d’avoir quelque chose de plus raisonnable et donc d’aboutir, quitte à faire des extensions au tuto dans le futur.

En particulier, les fonctions trigonométriques c’est un peu plus compliqué à amener proprement, et je pense qu’on peut s’en dispenser (au moins dans une première itération du projet).

Contenu

Ce qu’on aborde sûr

  • angle et projections, projections orthogonale ;
  • relations de proportionnalités et leur noms (i.e. cosinus d’un angle, sinus d’un angle) ;
  • triangle rectangle comme synthèse de ça et sohcahtoa ;
  • extension "naturelle" vers les angles obtus (distances algébriques) ;
  • cercle trigo comme synthèse de ça ;
  • mesure en degré vs. mesure en radian ;
  • calculer des valeur des cosinus, sinus, tangente (fonctions) ;
  • calculer des angles à partir de valeurs de cosinus, sinus, tangentes (fonctions réciproques notamment).

Ce qu’on n’aborde pas ou alors dans des extensions :

  • périodicité, bornes, limites, parité des fonctions ;
  • les formules de trigo ;
  • les angles remarquables (rarement utile pour la pratique) ;
  • tout ce qui est dérivation, intégration, séries de Fourier (trop de prérequis) ;
  • la résolution propre d’équations (une seule solution suffit en général).

Vous en pensez quoi ?

+1 -0

Salut,

Pour moi, on a déjà assez maturé pour clore la phase 1, ou du moins sa première itération. Rien n’interdit de revenir dessus après. Il est donc temps d’entamer la phase 2, consacrée à l’ébauche de la progression et à la réflexion sur comment publier (ou du moins valider) progressivement.

Le contenu donne déjà quelques indices, mais je pense qu’il est sage de réfléchir plus en détail pour que la progression et l’introduction des notions soit bien calibrée.


Petit résumé de là où on en est à l’issue de cette phase 1.

Cibles et prérequis

J’ai envie de m’adresser :

  • aux hobbyistes qui ont un projet et se découvrent des lacunes pour s’en sortir ;
  • à des gens qui étudient la physique ou l’électronique hors-cursus et aurait besoin d’acquérir des compétences en trigo que leur support suppose acquises.

Ces personnes ont pour objectif :

  • d’être autonomes sur des problèmes pas forcément standardisés ;
  • de savoir utiliser les outils dans toutes les situations courantes ;
  • développer un peu leur intuition géométrique pour savoir quand les outils peuvent servir.

Ce que ces gens savent déjà :

  • géométrie élémentaire : triangle, angle (mesuré en degrés), point, segment, droite, cercle, etc. * arithmétique élémentaire (fractions par exemple).

Les parties plus avancées du tuto pourrait requérir des prérequis supplémentaires.

Contenu

Pour cette cible et ses besoins, il faut orienter vraiment le tuto sur la pratique.

Ce qu’on aborde :

  • angle et projections, projections orthogonale ;
  • relations de proportionnalités et leurs noms (i.e. cosinus d’un angle, sinus d’un angle) ;
  • triangle rectangle comme synthèse de ça et sohcahtoa ;
  • extension "naturelle" vers les angles obtus (distances algébriques) ;
  • cercle trigo comme synthèse de ça ;
  • mesure en degré vs. mesure en radian ;
  • calculer des valeurs des cosinus, sinus, tangente (fonctions) ;
  • calculer des angles à partir de valeurs de cosinus, sinus, tangentes (fonctions réciproques notamment).

Ce qu’on aborde dans de possibles extensions :

  • les formules de trigo ;
  • les angles remarquables ;
  • présentation des fonctions trigonométriques
  • périodicité, bornes, limites, parité des fonctions ;
  • la résolution propre d’équations.

Ce qu’on aborde pas :

  • tout ce qui est dérivation, intégration, séries de Fourier.
+2 -0

J’ai travaillé un peu sur la progression.

Pour commencer, j’ai envie de faire progressivement acquérir la compréhension des liens entre angles et distances. Le triangle rectangle est la synthèse de ces liens. J’ai l’espoir en faisant comme ça de favoriser la vision des angles et des distances avec le triangle comme synthèse, et d’éviter des écueils mentionnés dans la littérature où les apprenants n’arrivent pas à utiliser les notions dès que le triangle rectangle n’est plus assez explicite ou alors croire que le notions parlent de triangles alors qu’on parle d’angles.

  • Comprendre les relations entre distances dans un angle aigu
    • rappeler brièvement ce qu’est un angle
    • prendre un point sur un côté et projeter créer des longueurs en relation avec cet angle
    • viser le point le plus proche : projection particulière (orthogonale)
    • la distance entre le point et son projeté est une mesure d’écartement de l’angle à une distance du sommet
    • pour différents points et leurs projetés, on a des relations de proportionnalité (c’est Thalès en gros) entre les différents côté
    • on particularise certaines que l’on nomme
    • on introduit la notion de cosinus d’un angle géométrique (i.e. pas lié à la mesure, mais à la figure). Notation du type « cos Â ».
    • Mise en application : on peut calculer des cosinus/sinus/tangente avec des distances ou des distances avec des cosinus/sinus/tangente.
    • Avec le projeté orthogonal, on fabrique en fait des triangles rectangles.
    • Définition du cosinus, sinus, tangente d’un angle (géométrique toujours) en fonction des côté du triangle rectangle, socahtoa.

Une fois qu’on a fait l’angle aigu, on a déjà des bonnes bases. Le passage au delà (<180°) se fait par généralisation en ne voyant plus des longueurs, mais des distances algébriques, ce qui permet de recycler les formules tout en ayant une notion cohérente. Normalement la cible sait déjà ce qu’est nue distance algébrique intuitivement, mais réexpliquer sera probablement pas superflu.

  • Extension des notions aux angles obtus
    • dans un angle obtus < 180°, le projeté est "en dehors" de l’angle
    • si on prend juste la longueur, on va trouver le même rapport
    • on peut distinguer les deux rapports avec le signe (distance algébrique)
    • en ouvrant encore plus l’angle (> 180°), on voit un besoin similaire avec le côté opposé

À partir de là, je n’ai pas les idées claires. Il faut encore parler d’orientation pour relier l’angle extérieur à l’angle intérieur. Parler d’angles orientés. Bref, il faut réfléchir encore un peu pour amener tout ce qu’il faut et synthétiser avec le cercle trigo.

Hello,

Je viens de relire le sujet mais une question me pèse encore : y a-t-il une raison particulière d’enseigner la trigonométrie plutôt qu’autre chose ? J’ai le sentiment qu’il y aurait bien une raison précise, mais elle me paraît implicite.

Est-ce parce que l’expérience nous montre que ce sont les lacunes en trigonométrie qui s’avèrent handicapantes pour la pratique des « sciences et l’ingénierie » par des « hobbyistes qui ont un projet et se découvrent des lacunes pour s’en sortir » ? Pourquoi la trigonométrie et pas l’arithmétique par exemple ?

La trigonométrie est indispensable pour comprendre et utiliser la plupart des autres outils nécessaire en ingénierie (notamment en mécanique et électronique). C’est vraiment un outil fondamental. Quand on est autodidacte, ce n’est pas rare d’avoir des limites en maths assez basses, et c’est pas forcément facile hors cursus.

Et c’est le premier choix que j’ai fait de parler de trigo, mais il y a d’autres sujets qu’on pourrait attaquer. :)

Je ne sais pas si parler d’angle comme parts de pizza c’est plus facile. Je trouve ça convient de partir de la notion intuitive d’angle comme « coin », où on dessine dessiner le petit arc de cercle pour le définir et l’orienter. Ça permet de toujours être clair sur quel chemin on prend.

J’ai retravaillé sur la progression. Je pensais pouvoir m’en sortir sans parler de mesure et d’angles orientés dans un premier temps, mais je pense que c’est une mauvaise idée. Pour utiliser la calculatrice (ce qui est essentiel), il faut connaître la mesure. Les angles orientés sont selon moi essentiels, sinon, on force à "désapprendre" le fait que tous les angles d’ouverture identiques ont les mêmes cosinus etc. (ce qui n’est pas vrai).

En conséquence, j’ai rajouté une introduction pour parler des angles, de leur mesure et de leur orientation.

Ce qui est ci-dessous couvre déjà le scope du tuto a priori.


  • Les angles et leur mesure

    • rappeler brièvement ce qu’est un angle
    • orientation (c’est la petite flèche), qui particularise les deux côtés
    • notion d’opposé d’un angle (le même mais dans l’autre sens)
    • Mesure en degré (on prend un cercle, on coupe en 360 morceaux), qui a donc un signe
    • Mesure en radians (longueur de l’arc de cercle, orienté toujours)
    • Formules pour passer de l’un à l’autre
  • Comprendre les relations entre distances dans un angle aigu positif

    • prendre un point sur un côté et projeter créer des longueurs en relation avec cet angle
    • viser le point le plus proche : projection particulière (orthogonale)
    • la distance entre le point et son projeté est une mesure d’écartement de l’angle à une distance du sommet
    • pour différents points et leurs projetés, on a des relations de proportionnalité (c’est Thalès en gros) entre les différents côtés
    • on particularise certaines relations de proportionnalité que l’on nomme
    • on introduit la notion de cosinus d’un angle géométrique (i.e. pas lié à la mesure, mais à la figure). Notation du type « cos Â ».
    • Mise en application : on peut calculer des cosinus/sinus/tangente avec des distances ou des distances avec des cosinus/sinus/tangente.
    • application calculatrice pour bien montrer qu’il faut faire attention à ce qu’on fait avec les unités
    • Avec le projeté orthogonal, on fabrique en fait des triangles rectangles.
    • Définition du cosinus, sinus, tangente d’un angle (géométrique toujours) en fonction des côté du triangle rectangle, socahtoa.
  • Extension aux angles aigus 'négatifs’ et aux angles obtus (y compris négatifs)

    • dans un angle obtus < 180°, le projeté est "en dehors" de l’angle
    • si on prend juste la longueur, on va trouver le même rapport
    • on peut distinguer les deux rapports avec le signe (distance algébrique)
    • en ouvrant encore plus l’angle (> 180°), on voit un besoin similaire avec le côté opposé (ou alors avec un angle aigu négatif)
    • formules généralisées pour cosinus, sinus, tangente
    • application "calculatrice" avec l’importance des signes
    • présentation du cercle trigo "de rayon R"
  • Calculs inverses

    • jusqu’ici ça a toujours été angle vers cosinus, sinus, et tangente
    • on peut faire l’inverse
    • importance du fait qu’un seul inverse (par exemple celui du cosinus) ne suffit pas
    • l’information supplémentaire vient de la connaissance de l’angle (obtu, orientation, etc.) …
    • … ou alors du sinus ou tangente
    • pratique calculatrice

Je me demande si la notion d’orientation est vraiment nécessaire à introduire aussi tôt. Si on s’y intéresse d’un point de vue pratique, la majeure partie peut se faire sans orientation (je pense à des calculs d’aire ou de longueurs).

Je pense que ça peut être intégré dans un deuxième temps, au moment de l’illustration des projections. le sens physique peut d’ailleurs servir d’intégration à celle-ci.

Qu’en penses-tu ?

J’ai réfléchis pas mal au fait d’introduire ça après, mais ça crée des difficultés.

Ce qui me gène le plus, c’est que dès l’instant où tu parles de projections en relation avec un angle, tu as déjà particularisé un côté de ton angle, et que donc il est finalement orienté. Par exemple, le signe du sinus dépend du signe, même pour un angle aigu.

Dans la pratique (en physique par exemple), tu as beaucoup de difficultés des gens qui apprennent pour justement des histoires d’orientation : qui est projeté sur qui, qui est devant/derrière, à gauche/à droite, comment on arrange les signes connaissant l’angle géométrique, etc.

Je pense que ça peut être intégré dans un deuxième temps, au moment de l’illustration des projections. le sens physique peut d’ailleurs servir d’intégration à celle-ci.

C’est quoi le sens physique d’un angle orienté pour toi ?

Salut,

J’ai laissé décanter pendant un moment. Avec un peu de recul, je pense que la progression est satisfaisante dans l’ensemble, donc je pars là-dessus.

Le déroulement se traduit assez naturellement en parties. Vu que la structure sera relativement stable, il serait envisageable de faire la pré-validation (i.e. valider sans publier) partie par partie, ce qui sera plus digeste. Les trois premières parties font un bloc qu’il n’est pas pertinent de couper pour la publication. Par contre, la partie "calculs inverses" pourrait être publiée un peu après les 3 autres.

J’ai élaboré un plan grossier, ci-dessous.

Partie 1 : Les angles et leur mesure

Angles et angles orientés

Mesure d’un angle

Degrés
Des degrés au radians

Partie 2 : Relations entre distances dans un angle aigu positif

Projections orthogonales

Relations de proportionnalités et cosinus, sinus, tangente

Application

Triangle rectangle trigonométrique

Partie 3 : Relations entre distances dans un angle quelconque

Généralisation à tous les angles

Formules généralisées

Application

Cercle trigonométrique

Partie 4 : Calculs inverses

Ceci qui marque pour moi la fin de la phase 2, dont l’objectif était de définir la structure globale et des blocs pour rédiger/valider/publier. :)


J’entame donc la phase 3, qui consiste en la rédaction, et pré-validation de la première partie. J’ai déjà réalisé un tout premier jet, disponible ici : https://md.roflcopter.fr/XzVxPBOCTI23yf_rlJVcng?both et ouvert à tous. N’hésitez pas à écrire ou proposer des choses pour cette première partie !

J’ai aussi mis à jour le premier message de ce sujet, avec les phases envisagées pour la rédaction, vu que j’ai les idées plus claires.

+4 -0

Bonjour,

J’ai rédigé un premier jet pour la première section de la partie 1 : Angle et angle orienté. C’est prêt à être relu par vos yeux perçants !

Aabu

:euh: Désolé, j’ai massacré involontairement une partie de ton texte, et je ne sais pas comment le rétablir. Je ne sais pas non plus comment indiquer l’attribution de l’image de rapporteur. :(

+0 -0

Bonjour,

J’ai rédigé un premier jet pour la première section de la partie 1 : Angle et angle orienté. C’est prêt à être relu par vos yeux perçants !

Aabu

J’ai lu la première section, n’incluant donc pas Partie 2 : Relations entre distances dans un angle aigu positif.

Mon seul commentaire portera sur le rythme. Je le trouve adapté à la cible définie. Il n’y a pas de longues cérémonies, on sent donc que ça s’adresse à un public qui a déjà (ou a déjà eu) les bases. Ça va plutôt vite mais ça reste précis et ça permet de rafraîchir les notions qu’on pourrait avoir . On comprend qu’il s’agit là d’une notion de base essentielle mais qu’on n’a pas non plus besoin d’y passer 50 pages en se perdants dans des détails mathématiques de puriste.

J’attends de lire la suite avec impatience pour formuler un retour plus complet (d’autant plus que je pense être parfaitement dans la cible de par mon niveau en mathématiques/trigo qui semble correspondre) ;)

+0 -0

Je rejoins sgble. Un petit point pour pinailler:

Un angle est l’espace entre deux côtés qui se rejoignent en un sommet. Le sommet est un point, et les côtés sont des demi-droites qui partent de ce sommet.

Les côtés peuvent être des demi-droites ou des segments de droite, non ? Si on suit strictement cette définition, un triangle ne possède pas d’angles.

Je rejoins sgble. Un petit point pour pinailler:

Un angle est l’espace entre deux côtés qui se rejoignent en un sommet. Le sommet est un point, et les côtés sont des demi-droites qui partent de ce sommet.

… Si on suit strictement cette définition, un triangle ne possède pas d’angles.

Migwel

Je crois qu’un triangle, comme son nom l’indique, a 3 (tri) côtés. du coup, avec la définition, un triangle a 3 angles . Enfin, c’est mon point de vue …

+0 -0
Connectez-vous pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore membre ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte