Démonstration que ∑n=0∞102n=10/11∑n=0∞10n :
Si tu définies ∑n=0∞f(n) comme étant limk→∞∑n=0kf(n), et que a∑n=0∞f(n)=∑n=0∞af(n) alors cette égalité est triviale et peu intéressante puisque les deux sommes divergent vers +∞. Pas la peine de faire une "démonstration" pour ça. Tu peux aussi mettre n’importe quel facteur strictement positif à la place de 1110.
10101010101...
Cette écriture n’a aucun sens, si tu écris une infinité de chiffres à gauche de la virgule, tu ne peux pas écrire le chiffre le plus à gauche… Une écriture comme ...10101 aurait déjà plus de sens, et tu n’as pas l’ambiguïté de savoir si le chiffre le plus à droite est un 0 ou un 1.
9999999…
Même chose, cette écriture n’a pas beaucoup de sens.
0,10101010…=0,10101010…/0,999999...=10101010101…/9999999…=10/99
C’est une façon ultra-bizarre d’écrire un truc trivial :
(100−1)×0.101010...=10⟺0.1010...=9910
Et par ailleurs, 0,10101010…/0,999999...=10101010101…/9999999…, tu sors ça d’où? Ça n’a pas de sens.
∑n=0∞102n/∑n=0∞9∗10n=10/99
Donc
∑n=0∞102n=10/11∑n=0∞10n.
Ces étapes n’ont aucun intérêt, la première égalité n’a même pas de sens (un ratio de limites n’est pas une limite de ratios, et en plus la limite de ratios diverge). Comme dit au début, à partir du moment où tu t’autorises à écrire que deux limites qui divergent vers +∞ sont égales, t’as déjà fini le boulot. Par contre, tu ne peux pas manipuler cette égalité comme une égalité entre deux réels, elle est plus faible (justement parce que ∞ est absorbant vis-à-vis des sommes et des multiplications par des réels).